Histoire des maths

ch 1 : Sommations

- Le mathématicien de la semaine : ISAAC NEWTON (1643-1727).

Voir la bio sur ce fichier pdf : NEWTON.

Isaac Newton est un des plus grand génie de tous les temps !!

Références : [HS], [W] et [C].

                                 ci contre : Newton par Marcel Gotlib (1934-2016) 

ch2 : Fonctions usuelles. Historique de la naissance des fonctions exponentielle et logarithme sur ce fichier pdf : EXP et LN.

Acteurs principaux : Archimède, Oresme, NEPER, Leibniz, Jean Bernoulli et Euler.

Bonus track : fonction hyperboliques et le fils de Riccati...

Références : [HS], [W]  + web divers. 

(ci-contre John Napier, alias Jean Neper francisé...) 

ch3. Logique, ensembles et applications.

-Le mathématicien de la semaine : Georg CANTOR (1845-1918).C'est un des pères fondateurs de la théorie des ensembles (avec Zermelo, Fraenkel entre autres). Il s'interesse aux ensembles infinis, et systématise l'utilisation des bijections, ce qui lui permet de "classifier les infinis". Ses nouveaux concepts sont révolutionnaires, et parfois incompris par certains mathématiciens comme Kronecker,  Poincaré, Klein ou Weyl qui critiquent ouvertement ses travaux. Ceci affectera durement Cantor, qui souffre par ailleurs de problèmes psychologiques avec de grave dépressions à partir de 1899 (séjours en hôpital psychiatrique). Par la suite, les travaux sur la théorie des ensembles deviennent plus rigoureux et Hilbert dira de Cantor : "Nul ne doit nous exclure du paradis que Cantor a créé".Son cheminement vers la théorie des ensembles est en gros le suivant : il s'intéresse d'abord aux séries de Fourier (Prépa 2), avec Heine. Pour généraliser un théorème sur l'unicité d'un développement en séries trigonométriques, il est amené à envisager des points d'accumulations (notion due à Weierstrass)et introduit la notion d'ensemble dérivé. Ces recherches exigent une construction rigoureuse des nombres réels (il adoptera le point de vue des "classes d'équivalence de suites de Cauchy" (d'autres constructions sont données à l'époque par Weierstrass (agrégats) ou Dedekind (coupures). Une collaboration fructueuse avec Dedekind l'amène naturellement à la théorie des ensembles. Ils prouvent d'abord que l'ensemble des rationnels est dénombrable. Puis Cantor montre que R et R^n sont en bijection. Il n'ose pas y croire et écrit à Dedekind "Je le vois mais je ne le crois pas"... Enfin il est amené a introduire des notions très riches qui formeront les débuts de la topologie : ouverts, fermés, ensembles parfaits... ou encore les relations d'ordre.

Dans notre cours : pas de surjection d'un ensemble sur l'ensemble de ses parties (cf TD). Et donc pas d'ensemble de tous les ensembles.

En topologie (Prepa 2, agrégation) : ensemble triadique de Cantor. C'est un compact parfait d'intérieur vide non dénombrable...

Références : [HS], [W] et [C].

Suite la bio sur ce fichier pdf : CANTOR.

ch4.Nombres complexes.

Le mathématicien de la semaine : Leonhard EULER (1707-1783).Issu d'une famille pauvre et d'une père pasteur, Euler suit des cours particulier avec Jean Bernoulli, qui repère vite son talent pour les mathématiques. Il part rapidement en Russie, à St Petersbourg et devient chef du département de mathématiques et de géographie. Il acquiert une réputation incontestable quand il résoud le problème de Bâle à 28 ans...

Voir la bio sur ce fichier pdf : EULER.

Euler est un des plus grand mathématiciens de tous les temps.

ch7 : Ensembles ordonnés et réels.

-Le mathématicien de la semaine : Richard DEDEKIND (1831-1915).

ch 8 : LES SUITES.

- Le mathématicien de la semaine : Karl WEIERSTRASS (1815-1897).(siècle de V. Hugo). Mathématicien Allemand. Nous l’avons rencontré dans le cours sur les suites (théorème Bolzano-Weierstrass), et on le rencontrera encore ultérieurement. Il est a l’origine de la rigueur dans l’analyse. C’est en particulier lui qui introduit la notation « Pour tout epsilon positif… » qui permettra de donner les définitions rigoureuses de convergence des suites, mais aussi de limite et de continuité d’une fonction. C’est encore lui qui a introduit la notion de convergence uniforme (voir théorème d’ « approximation uniforme de Weierstrass » en Prépa 2), et on lui doit aussi un exemple de fonction continue partout, mais nulle part dérivable (« fonction de Weierstrass » , véritable « monstre » mathématique…). Il a contribué à bien d’autres domaines de l’analyse, notamment la construction des nombres réels, l’étude des rationnels, ou encore les fonctions analytiques ( « séries entières » en Prépa 2) et elliptiques…

Une biographie

ch 9 : ARITHMETIQUE.

- Le mathématicien de la semaine : Karl Friedrich GAUSS (1777-1855) (plutôt le siècle de Victor Hugo…). Mathématicien allemand mais aussi physicien et astronome. Véritable génie, surnommé « le prince des mathématiciens », et considéré comme l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps. Il est d’une nature assez austère et n’apprécie guère l’enseignement. Cependant, certains de ses élèves resteront à la postérité, comme Eisenstein, Dedekind ou Riemann. Ses recherches portent sur bien des domaines, dont l’arithmétique (il introduit la notion de congruence) et la géométrie différentielle (courbes et surfaces). Nous l’avons rencontré dans le lemme de Gauss, en arithmétique, mais on le retrouvera pour le théorème de d’Alembert-Gauss (qui dit que tout polynôme complexe admet au moins une racine). On le retrouve aussi dans de nombreux exercices, comme pour les entiers de Gauss (nombres complexes aux parties réelles et imaginaires entières).

ch 10 : Ensembles finis et dénombrements.

-Le mathématicien de la semaine : Giuseppe PEANO (1858-1932).

ch 11 : Polynômes.

- Le mathématicien de la semaine : Jean le Rond D’ALEMBERT (1717-1783).

Mathématicien et encyclopédiste ! Orphelin de naissance. Après des études de droit et de médecine, il se tourne vers les mathématiques, et envoie des papiers à l’académie des sciences. Ses travaux concernent les nombres complexes, l’analyse et la théorie des probabilités. Habitué des salons, à partir de 1745 il se consacre davantage à la philosophie. Ami de Voltaire, il est le cofondateur l’Encyclopédie avec Diderot (siècle des lumières !). Il est aussi théoricien de la musique. Nous le rencontrons dans le chapitre sur les suites : « petit » théorème de D’Alembert, qui reviendra en 2ème année pour les séries et le critère de d’Alembert. Puis dans le chapitre sur les polynômes, pour le théorème de d’Alembert-Gauss, ou théorème fondamental de l’algèbre. Notons que sa preuve de ce théorème, incomplète, fut définitivement acquise plus tard grâce à Gauss. Il résout aussi l’équation des cordes vibrantes (équation aux dérivées partielles aussi appelée équation des ondes).

ch12. Limites

- Le mathématicien de la semaine : Henri POINCARÉ (1854-1912) .La notion de limite d’une fonction d’une variable réelle est très ancienne et commence à se formaliser avec Cauchy, même s’il faut attendre Weierstrass pour une définition rigoureuse à base d’epsilon et de delta (voir chapitre « suites »). La notion de limite est un concept central au cœur du domaine de la topologie. Les prémisses de cette théorie se trouvent déjà chez Riemann, puis chez Cantor qui définit la notion de « point d’accumulation » et d’ « ensemble fermé » pour ses recherches sur les réels. Plus tard, H. Poincaré développera cette branche des mathématiques qu’il appelle « analysis situs ». Il s’agit d’étudier des objets, non en les mesurant mais « en étudiant leurs rapports de position et d’inclusion » (selon Riemann). Les étudiants auront le loisir de se frotter à ces concepts fructueux en 2ème année, puis en L3 de façon plus poussée. Notons que H. Poincaré est réputé comme étant un des derniers savants à pouvoir maîtriser toutes les branches des mathématiques et de la physique de son époque. En ce qui concerne la topologie, la notion d’espace métrique est introduite en 1906 par Maurice Fréchet (1878-1973), qui développe aussi les concepts fondamentaux de compacité (voir encore LM prépa 2ème année). Puis, la théorie générale des espaces topologiques est développée vers 1914 par Felix Haussdorff (1898-1972). La notion de limite trouve son aspect le plus développé grâce à la théorie des filtres imaginée en 1937 par Henri Cartan (1904-2008… 104 ans !). Un filtre sur un ensemble E est un ensemble non vide de parties de E, qui ne contient pas le vide, et qui est stable par sur-ensemble et par intersection finie. Exemple : filtre des voisinages d’un réel donné.

ch13 : CONTINUITE

- Le mathématicien de la semaine : Johann Peter Gustav Lejeune DIRICHLET. (1805-1859)

Nous rencontrons dans le cours de première année ce mathématicien allemand, qui a laissé son nom à la fonction indicatrice de l’ensemble des rationnels, fonction qui, rappelons-le, n’a de limite en aucun réel. Nous l’avions déjà croisé dans le « principe des tiroirs » de Dirichlet dans le chapitre sur les ensembles finis (« histoire des k+1 chaussettes dans les k tiroirs… »). Dirichlet intervient souvent dans le programme des classes préparatoires et de la licence : en 2ème année, on le retrouvera avec le noyau de Dirichlet des séries de Fourier, ou bien dans les théorèmes de convergence de ces mêmes séries. Pour qui veut bien creuser le programme sur les séries et se frotter aux séries semi-convergentes, il entendra parler du théorème d’Abel-Dirichlet. En L3 ou M1 dans le cours de fonctions holomorphes, on aborde déjà des problèmes avec condition de Dirichlet au bord, sans parler de toutes les EDP du même nom. Mais Dirichlet intervient aussi en arithmétique… Dans sa jeunesse, il fut précepteur à Paris, et noua des contacts avec Joseph Fourier (d’où ces recherches sur les séries trigonométriques). Il succéda a Gauss sur la chaire de Göttingen en 1855. Dirichlet est un personnage humble et humaniste, mais il est réputé piètre pédagogue, contrairement à son maitre et ami Karl Jacobi. Notons que son nom lui viendrait du fait que son grand-père habitait dans la ville de Richelet, en Belgique, ce qui donna « Le jeune de Richelet »…

ch14 : DÉRIVABILITÉ

- Le mathématicien de la semaine : Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646-1716)

Mathématicien allemand, il est considéré avec Newton comme le père fondateur du calcul différentiel, et donc en dimension 1 de la théorie de la dérivation. C’est d’ailleurs le sujet d’une grande querelle avec Newton qui l’accuse de plagiat. La théorie de Leibniz, inspirée des « petits triangles » de Pascal est fondée sur le concept peu clair des infiniment petits (x+dx). Mais déjà, il fait le lien entre l’équation d’une courbe et sa tangente, et affirme que la différentiation est l’opération inverse de la quadrature (comprendre intégration …). Sa théorie est certes encore peu rigoureuse, mais il est à l’origine de nombreuses notations comme le dy/dx, le signe somme d’intégrale… Il est en contact à l’époque avec Huygens, Spinoza, et les frères Bernoulli qui poursuivront son œuvre. Dans le cours, on le rencontre principalement pour la formule de Leibniz, donnant la dérivée n-ième d’un produit de fonctions.

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ch15 : ESPACES VECTORIELS

- Le mathématicien de la semaine : Hermann Günther GRASSMANN (1809-1877). Nous le rencontrons dans le cours sur les espaces vectoriels de dimension finie, avec la fameuse égalité de Grassmann sur la dimension de la somme. On parle aussi de lui pour définir la grassmanniennne de dimension k, ie. l’ensemble des sev de dimension k d’un ev donné (plutôt en exercice !). Mathématicien allemand, il pause les notions fondamentales de l’algèbre linéaire en 1844 dans son ouvrage : Die Ausdehnungslehre. Il introduit les notions de combinaison linéaire, indépendance de vecteurs, bases et dimension. Il est aussi à l’origine de l’algèbre extérieure en géométrie (études ultérieures). Ses publications n’ont pas, à l’époque, la reconnaissance qu’elles méritent, et Grassmann finit par abandonner les mathématiques pour la linguistique ! C’est G. Péano qui reprendra en 1888 ses travaux pour les populariser, en introduisant également le concept plus général d’espace vectoriel et d’application linéaire. Il est déjà conscient que certains ev peuvent être de dimension infinie, comme celui des polynômes.

ch16 : INTÉGRATION

- Le mathématicien de la semaine : Bernard RIEMANN (1826-1866).Mathématicien allemand, il est élève de Jacobi et Dirichlet. Il effectue une thèse à Göttingen sous la direction de Gauss ! Professeur à Göttingen en 1857, il succède à Dirichlet. Il traverse une grave dépression. Hypocondriaque, il est soigné par son ami Dedekind. Il meurt de la tuberculose lors d’un voyage en Italie à l’âge de 39 ans. Ses premiers travaux concernent les fonctions de la variables complexe, pour lesquelles il introduit la notion de surface de Riemann. Précurseur de la géométrie différentielle, il étend les résultats de Gauss dans des espaces à n dimensions, qui mèneront à la géométrie non euclidienne et la théorie de la relativité. Afin d’étudier les séries trigonométriques, il étend la notion d’intégrale à des fonctions plus générales que les fonctions continues (voir cours, intégrale de Riemann). En 1859, il énonce sa fameuse conjecture sur les zéros de la fonction zéta, qui représente toujours un problème irrésolu, et constitue le 8ème problème de Hilbert, ainsi qu’un des problèmes à 1 millions de dollars de l’Institut Clay.

Dans le cours, nous le rencontrons dans la construction de l’intégrale de Riemann, des sommes de Riemann. Puis, le critère de Riemann pour la convergence de séries et d’intégrales impropres, le lemme de Riemann-Lebesgue, la fonction zeta de Riemann …etc

ch17 : Espaces vectoriels de dimension finie

Le mathématicien de la semaine : Etienne Ghys (1954-…)

Pour un mathématicien en rapport avec notre chapitre, voir Grassmann. Pour un concept plus général de dimension, Etienne Ghys est un chercheur en mathématiques de l’ENS Lyon. Il a fait un film sur le concept de dimension en général.

Sa page personnelle : http://www.umpa.ens-lyon.fr/~ghys/

Le film « Dimensions » : http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

Le mathématicien de la semaine : Camille JORDAN (1838-1922). Reçu premier à l’X avec une note de 19,8/20. Mathématicien prolifique et pédagogue, il est aussi ingénieur de Mines, enseignant à l’école Polytechnique et au collège de France. Ses recherches portent sur la théorie des groupes (Galois), celle de l’intégration (séries de Fourier), les courbes, et l’algèbre linéaire. Nous le rencontrons dans le cadre des fonctions convexes (inégalité de Jordan). En 2ème année, on entendra parler de lui pour la réduction des matrices (réduction de Jordan) et pour les séries de Fourier (convergence pour des fonctions à variations bornées… en exercice !). Il utilise un langage mathématique moderne et forme et fascine toute une génération de mathématiciens.

ch 18-19 : Formules de Taylor et développements limités.

- Le mathématicien de la semaine : Brook TAYLOR (1685-1731).

Mathématicien anglais issu d’un milieu aisé et élève de John Machin. EN 1715 il énonce la formule qui porte son nom… mais sans se soucier de la convergence ou du reste, qu’il remplace par des points de suspension. Il applique cette formule pour la recherche de solutions d’équations du type f(x)=0. Il faut attendre Lagrange en 1772 pour que cette formule prenne son véritable essor. Il est passionné par les arts, et c’est un des derniers mathématiciens à travailler sur la perspective. En musique, il s’intéresse au problème des cordes vibrantes qui le conduit à l’étude d’équations différentielles du second ordre. En 1718 il arrête les sciences et se consacre aux arts. Peu chanceux dans sa vie familiale, il perd ses deux premières femmes en couches, ce qui déteint sur sa santé.

ch 20 et 21 : Matrices.

- Le mathématicien de la semaine : Arthur CAYLEY (1821-1895).

Mathématicien anglais particulièrement productif. Ses recherches portent sur l’algèbre linéaire, les fonctions elliptiques, la théorie des invariants, ou encore la géométrie, les groupes… Souvent considéré comme l’inventeur des matrices en 1841, définissant somme, produit, transposée, matrices symétriques et antisymétriques, l’inverse, les cofacteurs. Parallèlement à Grassmann, il développe la théorie des espaces vectoriels. Nous le rencontrons dans le cours via le théorème de Cayley-Hamilton. Par ailleurs, Cayley possède d’autres vertus non scientifiques telles la gentillesse, une mémoire hors norme, et des qualités artistiques et sportives développées.

ch 22 : Déterminants.

- Le mathématicien de la semaine : Carl Gustav Jakob JACOBI (1804-1851).

Mathématicien allemand. Entre a l’université à 17 ans et obtient son doctorat à 21 ans. Répété très bon pédagogue, il a une grande influence sur ses élèves. Il étudie les fonctions elliptiques, les ED et les EDP, le problème des 3 corps. En algèbre, on lui doit des travaux sur les formes quadratiques, et surtout une théorie moderne des déterminants. Il donne son nom au Jacobien (théorie de l’intégration à plusieurs variables). Il est connu pour la célèbre phrase : « La véritable finalité de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain ».

Plus exactement, dans une lettre a Legendre, il écrit en 1830 :

« M. Fourier avait l’opinion que le but principal des mathématiques était l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels ; mais un philosophe comme lui aurait dû savoir que le but unique de la science, c’est l’honneur de l’esprit humain, et que sous ce titre, une question de nombres vaut autant qu’une question du système du monde. »

ch 23 et 24 : Décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. Calculs de primitives.

ch 25 : Fonctions convexes

ch 26 : Probabilités sur un univers fini

ch 27 : Variables aléaoires sur un univers fini

ch 30 : Espaces euclidiens.

- Le mathématicien de la semaine : Frigyes RIESZ (1880-1956).

Mathématicien hongrois, il est un des fondateurs de l’analyse fonctionnelle. Il prolonge l’œuvre de Hilbert. Il étudie le premier les espaces L^p, et les notions de convergence faible et forte dans ces espaces (voir L3). Il généralise ses résultats, préfigurant la notion d’espace vectoriel normé (voir L2). Dans le cours de L1, nous le rencontrons pour le théorème de représentation de Riesz (en dimension finie !), qui est une version faible d’un théorème plus général sur les espaces de Hilbert (voir L3). En 2ème année, on le retrouve avec son théorème de compacité qui caractérise les espaces vectoriels de dimension finie par la compacité de leur boule unité fermée.