Billards mathématiques

Les mathématiciens jouent au billard ainsi :

- La boule ne s'arrête jamais de rebondir. Elle décrit une "trajectoire" (ou "orbite").

- Les billards sont de formes variées, pas forcément rectangulaire.

- Il n'y a qu'une seul boule et pas de trou !

Ce sont des systèmes dynamiques simples : la seule règle est la loi de réflexion de Descartes (angle incident par rapport à la normale = angle sortant). Mais la dynamique peut être très riche. Ainsi ces "billards mathématiques" forment une branche de la recherche à part entière.

NB : je relate ici quelques éléments d'un travail fait avec Thierry Barbot pour la fête de la science en 2014.

Quelques exemples de problématiques :

1. Existence de caustiques.

Ergodicité : les trajectoires sont-elles denses dans le billard ou omettent-elles certaines zones ?

Ces zones sont alors délimitées par ce qu'on appelle des "caustiques".

- Dans un billard circulaire, il est très simple de prouver qu'une trajectoire qui ne passe pas par le centre reste enfermée dans une couronne. La caustique est donc ici un cercle : animation ici .

- Dans un billard elliptique, il y a deux sortes de caustiques :

• Soit la trajectoire ne passe pas entre les deux foyers, et alors elle n'y passe jamais, et on trouve pour caustique une ellipse ayant les mêmes foyer que le billard (cas semblable au billard circulaire). : animation ici (caustique en vert ci-dessous)

• Soit la trajectoire passe entre les deux foyers, et alors elle y repasse toujours et la caustique est une hyperbole ayant les mêmes foyer que le billard. : animation ici .

- Dans un billard rectangulaire : pas de caustique. Si on omet les trajectoires périodique, la trajectoire est dense.

et l'animation ici .

2. Existe-t-il des trajectoires périodiques ?

Variante : existe-t-il des trajectoires périodiques de toute période ?

Quelques exemples d'orbites périodiques réalisées avec Géogébra :

Dans un cercle :

Dans un carré :

Dans une ellipse :

Dans un triangle :

- L'existence d'une trajectoire périodique à trois rebonds dans un triangle dont tous les angles sont inférieurs à 90° a été prouvée. C'est le théorème de Fagnano (1692-1766). Il s'agit de la trajectoire reliant les pieds du hauteur du triangle.

- Pour un triangle dont les angles font moins de 100°, Richard Evan Schwartz (1966-...) a prouvé l'existence d'au moins une trajectoire périodique (mais il ne dit pas en combien de rebonds).

- Dans le cas d'un triangle avec un angle supérieur à 100°, on ne sait même pas encore dire à l'heure actuelle s'il existe une trajectoire périodique!

Mais comment prouve-t-on tout ceci ?

Pour les billards polygonaux, bien souvent "on déplie le billard" : voir un exemple avec le billard rectangulaire ici (par Romain Bondil)

3. Billards "chaotiques".

Si on boule un peu la boule ou l'angle de tir, obtient-on une trajectoire semblable ?

Pour les billards rectangulaires, on peut conjecture que c'est le cas.

Voir par exemple le billard du stade de Bunimovich.

Pour d'autres billards, la question se révèle bien plus complexe

Voir le travail de vulgarisation remarquable d'Etienne Ghys et al à ce sujet : http://www.chaos-math.org/fr

Quelques liens pour aller plus loin avec Images des Maths :

http://images.math.cnrs.fr/Quand-les-matheux-jouent-au.html

http://images.math.cnrs.fr/Systemes-dynamiques-et-billards.html

http://images.math.cnrs.fr/Billard-polygonal-et-trajectoires.html

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