NB : svp ne me demandez pas par email si je peux vous envoyer des annales. Les seules que je donne sont celles figurant sur ce site. Les autres je les garde pour mes étudiants. Merci.
Annales corrigées ENS Lyon second concours :
Il est fondamental de CHERCHER de façon assez poussée avant de regarder les indications ou la correction. Sinon, vous risquez de ne pas vous rendre compte de la difficulté... A priori tous les sujets depuis 2003 sont en ligne ici (cliquez)
- Corrigé 2015 (exercice 1) Probabilités lancé de dés. Le sujet ici.
- Corrigé 2012-I.A et I.B, I.C. (partie II. à venir). Exponentielles de matrices et approximation (1er exercice) -
Fonctions mid-convexes (2ème exercice). Le sujet ici.
- Corrigé 2010 Théorème MinMax de Courant-Fischer, racine carrée d'une matrice positive (1er exercice).
Polynôme de meilleure approximation (2ème exercice).(rajouter "de degré inférieur à n" dans la définition de P_n du 2ème exercice)
- Indications 2009, et corrigé du 1er exercice. : Rayon spectral, exponentielle de matrices. Formule de Baker-Campbell-
Hausdorff (1er exercice). Points de discontinuité d'une fonction croissante (2ème exercice) Le sujet ici
Préparer l'oral de l'ENS Lyon 2nd concours
Les annales d'oral sont difficiles à trouver. Me demander celles de notre prépa : roch.cassanas[-a-]univ-avignon.fr
Pour se préparer, voici quelques annales de l'X et ENS de CPGE :
- Annales X-ENS "accessibles" en L1-S1, et
- Annales X-ENS "accessibles" en L1-S2 (analyse).
- Annales X-ENS "accessibles" en L1-S2 (algèbre). (encore à étoffer...)
Ces exercices sont en général assez difficiles. A l'oral, l'examinateur peut aider à donner des pistes ou à corriger le tir.
N'hésitez donc pas à me demander des indications à roch.cassanas[-a-]univ-avignon.fr
Quelques devoirs de préparation à l'écrit :
Les sujets abordés sont ultra-classiques... mais pas forcément tous faciles. D'où une préparation indispensable !
ECHAUFFEMENT : VRAI-FAUX (niveau L1-L2) et le corrigé_1 corrigé_2.
ALGÈBRE LINÉAIRE :
- Cyclicité et commutant (épreuve commune INT 1989, faire le 1er problème)
- Exercices de théorie spectrale .
- Autres exercices de théorie spectrale (matrices nilpotentes, densité algébrique, utilisations des polynômes de Lagrange).
- Notion de polynôme minimal d'une matrice ou d'un endomorphisme.
- Un critère de diagonalisabilité à connaître (celui du polynôme annulateur scindé à racines simples).
- Exponentielles de matrices : voir les sujets ENS 2nd concours 2009 et 2012 ci-dessus.
- Décomposition de Dunford (faire d'abord les exponentielles de matrices).
- Décomposition polaire et calculs de distances (distance à GL_n(R) etc ... d'après agrégation interne 2018 + un exo sur Fourier)
- Racine carrée, décomposition polaire et applications (distance à On(R), sous-groupes compact maximaux de GLn(R)).
POLYNÔMES :
- Polynômes de Lagrange et Tchebychev : étude basique.
- Polynômes de Lagrange et Tchebychev : ou pourquoi les meilleurs points d'interpolation sont les racines de Tchebychev.
- Interpolation de Fejér-Hermite (ENS 2nd concours 2007) : le remède pour une approximation uniforme.
- Polynômes de Laguerre (JP Barani)
NB : les polynômes de Tchebychev, Legendre, Hermite, Laguerre, sont tous des "polynômes orthogonaux", ie des familles de polynômes obtenus par orthonormalisation de Gram-Schmidt de la famille (X^n) pour un certain produit scalaire.
TOPOLOGIE :
- Autour du point fixe de PICARD .
ANALYSE :
- Séries entières théorème de convergence radiale et théorèmes Taubérien .(Césaro, critère de Cauchy...).
Voir aussi le sujet ENS 2nd concours 2014.
- Etude qualitative des ED d'ordre 2 . (Vers Sturm-Liouville...) C'est l'occasion de revoir les théorèmes de Rolle, TAF, TVI ...
Des indications ici .
- Séries de Fourier : Ecole Polytechnique P' 1989 .Césaro et théorème de Fejer.