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EN CONSTRUCTION !!
Je vais tâcher de trouver au moins une application concrète par chapitre.
ch1. Sommations.
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ch2. Fonctions usuelles.
La chainette : la courbe de la fonctions cosinus hyperbolique "ch" est aussi appelée la "chaînette". En effet si vous pendez une chaine entre deux points à la même hauteur, on peut montrer que la chaine prend la forme du graphe de "ch". Demandez une preuve à votre prof de physique ! On utilise par exemple cette propriété pour calculer les longueurs de fil électrique nécessaires entre les pylônes EDF, ou pour celle des câbles dans les téléphériques. en savoir +
Surface minimale et bulles de savons. Une bulle de savon coincée entre deux cercles prend naturellement une forme de caténoïde. C'est une surface obtenue en faisant tourner la courbe de "ch" comme un cylindre de révolution. en savoir +
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ch3. Nombres complexes.
Choux et fougères fractals : une des caractéristiques des fractales est de retrouver sur la même figure une copie d'elle-même obtenue au moyen d'une similitude...
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ch4. Equations différentielles.
En physique : principe fondamental de la dynamique, circuits RLC, ressort, thermodynamique... (etc etc !!) fnt intervenir des équations différentielles linéaires.
En chimie : vitesse de réaction en cinétique chimique on utilise aussi des EDL. Applications en pharmacocinétique pour étudier la vitesse de propagation du médicament dans l'organisme.
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ch5. Géométrie plane.
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ch6. Courbes paramétrées.
La cardioïde dans le café/bol. On la voit tous les jours !
Cycloïde : c'est le mouvement de la valve d'une rue de vélo lorsque le vélo roule en ligne droite.Michael Minovitch, mathématicien américain (1935-...), grâce à sa contribution au problème des 3 corps, a permis d'envoyer des sondes spatiales au delà de la planète Mars. Cela semblait impossible avant ses travaux. Il a démontré qu'il était possible d'utiliser l'assistance gravitationnelle d'une planète pour modifier de manière particulièrement efficace la vitesse et l'orientation d'un astronef. Cette technique allait permettre de lancer des sondes interplanétaires vers des planètes inaccessibles avec les lanceurs existants et de réduire la masse de carburant et donc le cout pour atteindre les autres planètes. En particulier les sondes Voyageur 1 et 2. La sonde semble "rebondi" sur les planètes.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Michael_Minovitch
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ch7. Coniques.
- Mouvement des planètes. Depuis Kepler on sait que ce sont des ellipses autpur du soleil et non des cercles.
- Arènes chez les romains (Arles, Nîmes, Rome...) : elles ont aussi la forme d'une ellipse ! Probablement dessinée avec la méthode de l'ellipse du jardinier. - Optique géométrique. Les lentilles ont des formes de coniques. Les rayons lumineux se réfléchissent dessus selon les lois de Descartes, qui se fondent sur les propriétés des tangentes vues en cours. - Parabole hertzienne, et télescope (de type "cassegrain") : même idée ! Lois de Descartes : vers 1625. Télescope de Laurent Cassegrain : vers 1672. Il utilise une parabole et une branche d'hyperbole de même foyer. - Billards mathématiques : même idée !! Ils servent entre autre à la modélisation du mouvements d'une particule en milieu confiné (gaz de Lorentz etc...). en savoir + , ++ - Météorologie et localisation d'un signal : pour localiser un éclair, on utilise les deux foyers d'une ellipse, et on mesure le décalage de temps entre ces deux récepteurs...- Voutes elliptiques et propriétés acoustiques. Grâce aux propriétés des tangentes, en se plaçant en chaque foyer sous une voute elliptique, on peut écouter des chuchotements à distance. Qui saura expliquer pourquoi ? en savoir + Ca marche aussi dans le metro en savoir + ===================================================================================================
ch8. Géométrie dans l'espace.
- Navigation sur le globe selon les géodésiques et coordonnées sphériques. Pour aller de Paris à New-York, on prend pas une ligne droite sur la carte, mais on prend une courbe qui part vers le nord ouest...
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ch9. Logique, ensembles, applications.
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ch10. Entiers naturels et ensembles finis.
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ch11. Ensembles ordonnés et réels.
Calculer les décimales de Pi est un moyen classique de tester la rapidité d'un ordinateur.
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ch12. Suites.
- Les suites adjacentes permettent de donner des approximations précises de nombres réels (pensez à votre calculatrice !).
- En biologie pour modéliser l'évolution d'une espèce, on étudie une suite récurrente appelée suite logistique (modèle de Verhulst).
Cette suite modélise l'effectif de la population (en temps discret). Ce modèle s'avère aussi efficace en démographie et en médecine. Très simple à définir, elle présente cependant des phénomènes chaotiques bien plus complexes que des suites récurrentes du type "escaliers" ou "enroulements" selon les valeurs de mu.
- Les fractales de Mandelbrot et les ensembles de Julia sont des objets qui sont créés à partir de suites récurrentes complexes de la forme :
Ils modélisent des phénomènes "chaotiques" et donne de très belles images sur ordinateur. C'est l'analogue pour les suites complexes de la suite logistique.
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Ch13. Arithmétique.
- Le petit thérème de Fermat (voir exercices) est à la source d'un cryptage très utilisé par les banques ou par les pages internet cryptées pour le commerce électronique et les paiements par carte bleue, appelé " codage RSA". Il nécessite de savoir calculer de très grands nombres premiers, ce qui ne manque pas de faire travailler les algorithmes de calculs sur les ordinateurs les plus puissants (Titan...). Il utilise un systèmes de clefs : clef publique et clef privée.
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