Transformacje

Transformacje

Transformacje modeli matematycznych silnika

Przedstawiony w poprzednim artykule opis matematyczny silnika indukcyjnego w naturalnym układzie osi ABC odpowiada bezpośrednio rzeczywistości.

Przy modelowaniu stanów nieustalonych w układzie ABC należy rozwiązać układ siedmiu równań różniczkowych

o współczynnikach zależnych od czasu bowiem macierz indukcyjności wzajemnych stojan wirnik jest zależna od drogi kątowej wirnika

, wartości współczynników układu równań będą zmieniać się w czasie, tak jak będzie zmieniała się wartość

Z uwagi na ilość równań i zmienność wartości ich współczynników, poszukiwanie rozwiązań dla modelu w układzie ABC jest utrudnione. Z tego powodu dokonuje się transformacji modelu silnika z układu ABC do innego układu współrzędnych.

Poniżej wymieniono stosowane układy odniesienia, w raz z wprowadzanymi przez nie zmianami.

- układ współrzędnych ortogonalny Oab (zero - a - b, zmniejsza ilość równań różniczkowych (pięć równań)
- układ współrzędnych ortogonalny Odq (zero - d -q) zmniejsza ilość równań różniczkowych (pięć równań),
- a ponadto daje stałe współczynniki równań

Dzięki odpowiednim przekształceniom matematycznym zwanym transformacjami, można przejść z jednego modelu matematycznego do innego. Zasadniczo prawie zawsze symulacje wykonuje się w układach osi odniesienia innych niż ABC. Otrzymane w ten sposób wyniki należy poddać transformacji powrotnej do układu ABC. Powyższa uwaga dotyczy tylko prądów i strumieni, wartości momentu i prędkości są niezależne od modelu w jakim dokonano obliczeń (transformacja jest niezmiennicza względem mocy).

Zasady transformacji modeli matematycznych silnika

Wprowadza się oznaczenia:

- macierz transformacyjne stojana

- macierz transformacyjne wirnika

Macierze transformacyjne są zbiorami zależności trygonometrycznych przeprowadzających układ X w układ Y

Ogólny zapis przekształceń wygląda następująco, dla stojana:

- wielkości fazowe stojana - wejściowe do przekształcenia;

- macierz przekształcająca (transformacji);

- wielkości wyjściowe - przekształcone;

Przekształcenie odwrotne stojana:

Ze względu na to że macierz transformacyjna

jest macierzą ortogonalną, spełnia ona zależność

; więc przekształcenie odwrotne:

W podobny sposób transformuje się zmienne wirnika:

- wielkości fazowe wirnika - wejściowe do przekształcenia;

- macierz przekształcająca;

- wielkości wyjściowe - przekształcone;

Przekształcenie odwrotne wirnika:

Idea wyznaczania macierzy transformacji na przykładzie przejścia z modelu ABC do modelu 0dq.

W warunkach symulacji procesów przejściowych tego typu jak rozruch nawrót i innych, w których struktura stojana jest symetryczna t oznaczy że stojan posiada trzy identyczne uzwojenia rozłożone ze stałym katem

Sprowadza się uzwojenia stojana jak i wirnika do równoważnego uzwojenia dwufazowego. Macierz transformacyjna jest jednakowa dla stojana i wirnika i ma postać:

gdzie:

macierz transformacyjna ABC -> 0ab

Składowe 0ab są określone w następujący sposób:

Proszę zauważyć że macierz transformacyjna jest macierzą 2x3 czyli z trójelementowego wektora wielkości wejściowych otrzymamy dwuelementowy wektor wielkości wyjściowych. I to jest podstawowa zaleta powyższego przekształcenia matematycznego dzięki niemu bowiem trójfazowy układ pasm stojana i wirnika redukujemy do dwu fazowego stojana i dwu fazowego wirnika, a co za tym idzie redukujemy i liczbę równań opisujących silnik.

Uzwojenie dwufazowe, tj. składowe ab generowane są przez drugi i trzeci wiersz macierzy transformacyjnej

. Pierwszy wiersz tej macierzy określa tzw. składową zerową, którą można interpretować jako autonomiczne uzwojenie jednofazowe nie sprzęgnięte z dwufazowym ab.

Model 0ab silnika ma więc dwufazowe uzwojenie stojana i dwufazowe uzwojenie wirnika, wirujące z prędkością

kątową . Silnik opisany jest układem pięciu równań (cztery równania napięciowe i jedno równanie ruchu), których współczynniki są funkcją kąta

. Dalsze uproszczenie to uniezależnienie współczynników równań od .

W celu wyeliminowania zależności parametrów modelu od

dokonuje się transformacji do układu osi 0dq. Jest to układ osi stojana i wirnika nieruchomych względem siebie. Układ ten może w ogólnym przypadku wirować w przestrzeni z dowolną prędkością

. W układzie 0dq sprzężenia stojan – wirnik nie zalezą od . Układ równań ma więc stałe współczynniki.

W ten sposób przechodząc więc od układu doniesienia ABC do 0ab i 0dq, uzyskujemy uproszczenie modelu silnika pozwalające zamknąć opis do pięciu równań względnie łatwych do obróbki numerycznej. Uproszczenie takie okaże się szczególnie cenne gdy ... zaczniemy komplikować układ równań opisujących silnik. Proszę zauważyć w naszych rozważaniach przyleliśmy daleko idące uproszczenia, zakładamy liniowość obwodu magnetycznego, zakładamy brak występowania zjawiska naskórkowości.

W rzeczywistości wszystkie te zjawiska występują i ich oddziaływania dobry model nie powinien pomijać. Reasumując uwzględnienie nieliniowości i naskórkowości wiąże się ze zmianą wartości współczynników równań, czyli indukcyjności

i rezystancji modelowanych uzwojeń. Gdyby jeszcze uwzględniać zmienność tych parametrów ze zmianą w sześciu równaniach napięciowych modelu w układzie ABC to stanielibyśmy przed poważnym problemem praktycznego wykonania tego zadania.

Proces transformacji wynika z rzutowania wektora wielkości naturalnej na odpowiednią oś układu docelowego. Wielkość transformowana w nowym układzie będzie więc funkcją odpowiedniej zależności trygonometrycznej.

Macierz transformacyjna 0ab -> 0dq

Otrzymuje się więc odpowiednie zależności „przeprowadzające” układ osi stojana 0ab w układ 0dq:

Natomiast dla wirnika:

Macierze transformacyjne uwzględniając składowe zerowe będą określone:

stojan;

wirnik;

Pełne macierze transformacji z układu współrzędnych ABC do wirującego układu osi Odq mają następującą postać:

stojan

wirnik.

Rozpisując dokładnie, po poddaniu elementarnym przekształceniom:

stojan:

wirnik: