Model ABC

Model ABC

Model matematyczny silnika asynchronicznego w rzeczywistym układzie osi odniesienia ABC

Rys 1.1 Model silnika w układzie osi ABC, * - oznacza zaciski jednako imienne

Rysunek 2.1 przedstawia układ osi trójfazowego silnika indukcyjnego.

Wirnik silnika wiruje z prędkością kątową Wprowadza się wielkość nazywaną elektryczną prędkością kątową, równą iloczynowi prędkości kątowej

i ilości par biegunów .

Chwilowe położenie wirnika zwane drogą kątową

i wyraża się zależnością: .

Przyjmuje się kąty liczone w lewo za dodatnie, w prawo za ujemne.

W celu opisania elektromagnetycznych procesów przejściowych silnika asynchronicznego niezbędne jest ułożenie równań

równowagi elektrycznej i mechanicznej. Przy formułowaniu równań przyjmuje się następujące założenia:

a) nie uwzględnia się nasycenia obwodu magnetycznego silnika,

b) nie uwzględnia się strat mocy w rdzeniu (przemagnesowanie bez histerezy),

c) nie uwzględnia się wpływu żłobków,

d) przyjmuje się symetryczne uzwojenie trójfazowe,

e) poszczególne pasma fazowe stojana sprzęgają się między sobą poprzez nieskończony ciąg harmoniczny sprzężeń magnetycznych ,

f) poszczególne pasma fazowe wirnika podobnie jak w przypadku pasm fazowych stojana,

sprzęgają się między sobą poprzez nieskończony ciąg harmonicznych,

g) stojan z wirnikiem sprzęgają się poprzez harmoniczną podstawową (

) wirującego pola magnetyczne

Rysunek 2.2 przedstawia dwa wybrane pasma silnika indukcyjnego. Pasmo 1A stojana i 2A wirnika.

Indukcyjność wzajemna pomiędzy pasmami1A i 2A będzie opisana zależnością:

gdzie:

jest to indukcyjność wzajemna pomiędzy pasmami w momencie gdy ich osie pokrywają się.

Równania napięciowe dla obu pasm przybiorą postać:

strumienie skojarzone opisywane są:

Indukcyjność

gdzie:

jest indukcyjnością rozproszenia pasma fazowego,

jest indukcyjnością własną pasma.

Natomiast wyrażenie

opisuje cały strumień wytworzony danym paśmie,

będący sumą strumienia rozproszenia, oraz strumienia głównego przechodzącego przez szczelinę powietrzną.

Wyrażenia

opisują

strumienie magnetyczne pochodzące kolejno od pasma fazowego B oraz C stojana, a

sprzęgające się z rozpatrywanym pasmem A.

Składnik

opisuje trzy strumienie magnetyczne wytwarzane przez kolejne (A,B,C) pasma fazowe wirnika a sprzęgające się z pasmem A stojana.

Równania napięciowe całego silnika przybiorą postać:

stojan:

(1.1)

wirnik:

(1.2)

Uwzględniając wyrażenia opisujące strumienie skojarzone, równania napięciowe przedstawia się za pomocą prądów i indukcyjności,

stosując reguły rachunku macierzowego otrzymamy:

Stojan:

(1.3)

Napięcia fazowe U1 są sumą spadku napięcia wywołanego przepływem prądów fazowych, na rezystancjach fazowych

,

spadku napięcia na indukcyjnościach rozproszenia i głównych

,

oraz napięcia indukowanego przez prądy wirnika - składnik .

Gdzie:

(1.4)

- macierz napięć fazowych

(1.5)

- prądy fazowe stojana

(1.6)

- prądy fazowe wirnika

(1.7)

- macierz rezystancji fazowych

(1.8)

- macierz indukcyjności rozproszenia

Z uwagi na niesinusoidalny rozkład pola wzdłuż szczeliny magnetycznej macierz

indukcyjności głównych uzwojeń stojana jest ciągiem harmonicznych:

- kolejne harmoniczne

gdzie:

(1.9)

kąt

Indukcyjność własną pasma fazowego stojana dla

- tej harmonicznej , wyznacza się z zależności:

gdzie:

- ilość zwojów pasma wirnika

- współczynnik uzwojenia wirnika dla

- tej harmonicznej

Indukcyjność wzajemna wirnik - stojan:

(1.12)

Macierz indukcyjności wzajemnej wirnik stojan jak widać, zależy nie tylko od kąta

ułożenia przestrzennego

uzwojeń względem siebie ale i od

, kąta obrotu wirnika.

Natomiast

to indukcyjność wzajemna pasmo stojana - pasmo wirnika, dla harmonicznej podstawowej

(zakłada się że wirnik - stojan sprzęgają się poprzez harmoniczną podstawową) wynosi:

(1.13)

;

Jest to indukcyjność wzajemna przy współosiowym ustawieniu pasm fazowych stojana i wirnika.

Wprowadza się wyrażenie nazywane przekładnią

, określaną dla harmonicznej podstawowej:

(1.14)

Oraz oznaczając jako

indukcyjność własną pasma stojana dla harmonicznej podstawowej czyli:

otrzyma się wyrażenie na indukcyjność wzajemną pasmo wirnik -pasmo stojan w postaci:

(1.15)

Dla ułatwienia dalszych przekształceń wprowadza się następujący zapis macierzy indukcyjności.

Indukcyjność własna i wzajemna pasm fazowych stojana:

(1.16)

gdzie :

W podobny sposób przedstawia się macierz indukcyjności wirnika

macierze

bowiem liczba pasm fazowych w wirniku

jest taka sama jak w stojanie .

Macierz indukcyjności wzajemnych stojan wirnik przedstawia się natomiast w postaci:

(2.17)

gdzie:

;

macierz:

wyrażona jest:

(12.18)

Wirnik:

Uzwojenia wirnika są zwarte stąd:

(1.19)

gdzie:

Moment obrotowy:

(1.20)

Równanie ruchu:

(1.21)

gdzie:

- prędkość kątowa elektryczna wirnika;

- moment bezwładności napędu - sprowadzony do wału silnika

Tak więc przygotowane są równania modelu silnika w układzie osi odniesienia ABC.

Modelowanie silnika w tym układzie jest dość żmudne gdyż wymaga rozwiązania układu 7 równań,

w których dodatkowo zmieniają się współczynniki.

Jeśli więc ujmiemy układ równań w kod języka programowania całe wyrażenie wraz z równaniami

pomocniczymi (obliczającymi zmienne współczynniki) będzie dość złożone.

Dla tego nie poleca się stosowania tego modelu. Dla zmniejszenia ilości równań stosuje się specjalne

przekształcenia matematyczne, zwane transformacjami, w wyniku czego otrzymuje się nieco inne

modele zgrabniejsze i łatwiejsze w użyciu.

O tych modelach już w następnych artykułach.

Należy jeszcze dodać iż stosowanie modelu ABC może mieć sens w przypadku jeśli modelowany

silnik jest częścią większego układu, z którym wchodzi on w interakcje, zwłaszcza gdy zakładamy,

że podczas symulacji zmieniać się będą warunki zasilania, np. zasilanie stanie się niesymetryczne.

Wówczas należało by poddawać transformacją napięcia zasilające do ‘prostszego’ układu,

a po otrzymaniu wyników transformować wartości prądów z powrotem do układu ABC.

Nakład czasu na obliczenia mógłby wówczas przewyższyć wysiłki modelowania w układzie ABC.