electronique cours 4

_—

OM = 9 / ((√ 13) /2) = 18 / (√ 13) = (18 (√ 13)) / 13

Le produit vectoriel

→ →

Si u et v ne sont pas nuls et ni colinéaires

→ → → → → →

u ^ v = ||u||_*||v|| _* sin(u;v)_*1_^.

→ → → → → → → → →

u ^ v = w et se lit " u vectoriel v ", avec w ^ u et w ^ v.

→ → →

u ^ u = 0

→ → → →

u ^ v ≠ v ^ u.

→ → → → → →

u ^ (v ^ w) ≠ (u ^ v) ^ w.

→ → → →

u ^ v = -v ^ u. Antisymétrie.

→ → → → → → →

u ^ (v + w ) = u ^ v + u ^ w.

_{→ → → →}

l₁u ^ l₂v = l₁l₂(u ^ v).

→ → → → →

u ^ v = 0 alors u // v.

→ → → → → → → → →

u ^ (v ^ w) = (u . w)v - (u . v)w.

→ → → → → → → → → →

u ^ (v ^ w) + v ^ ( w ^ u) + w ^ (u ^ v) = 0.

_{→ → → → → →}

(u . v)² + ||u ^ v||² = ||u||² _* ||v||².

_→

Et w n’existe quand 3^e dimensions de l'espace.

Dans un espace orthonormé à 3 dimensions,

→ → →

w est perpendiculaire au plan formé par u et v.

tg (q ) = 4/3 → (q ) = 53,13°

→ → →

u ^ v = 4 _* (√ ( 3²+4²)) _* sin(53,13°) _* 1_^

→ →

w = 4 _* 5 _* sin(53,13°) _* 1_^

→ → →

w = 20 _* sin(53,13°) _* 1_^= 20 _* 4/5 _* 1_^

→ →

w = 20 _* 0,8 _* 1_^

→ →

w = 16 _* 1_^

→ → →

w = 4_*4 _* 1_{^ =} 16 _* 1_^

→

Le vecteur w est fonction de la surface du parallélogramme (4_*4) = (base _* hauteur).

→ →

ex) Calculez u ^ v un produit vectoriel

→ → → →

u = 5x -7y +4z

→ → → →

v = -3x +5y +3z

| 5 | _^ | -3 | ₌ | (-7*3) - (4* 5) | = | -41 |

| -7 | | 5 | | (4*-3) -( 5* 3) | = | -27|

| 4 | | 3 | | (5*5) - (-7*-3) | = | +4 |

→ →

Calculez u . v un produit scalaire

| 5 | _. | -3 | ₌ | 5 -7 4|^T . | -3 | = | -15 +(-35)+12 | = | -38 |

| -7 | | 5 | | 5 |

| 4 | | 3 | | 3 |

Dans des repères orthonormés tout est bien plus facile.

Les tenseurs

Le tenseur d'ordre 0 est scalaire a → les masses

→

Le tenseur d'ordre 1 est un vecteur v

Le tenseur d'ordre 2 → une matrice d'inertie

₄

Une somme = a₁+a₂+a₃+a₄ = Σ a_n.

ⁿ⁼¹

₄

--> Σ a_n = 4a_n.

^m=1

(a₁,a₂,a₃,...,a_n) est une suite covariantes.

(b¹,b²,b³,...,bⁿ) est une suite contravariants.

₄

--> Σ (k)² = 1²+2²+3²+4².

^k=1

₄

--> Σ (bⁿ)² = (b¹)²+(b²)²+(b³)²+(b⁴)².

ⁿ⁼¹

_n n

--> Σ ba_m = b a₁+b a₂+...+b a_n = b Σ a_m =

^{m=1 m=1}

_n n n

--> Σ (a_m + b_m) = (a₁ + b₁) +(a₂ + b₂)+... +(a_n + b_n) = Σ a_m +Σ b_m .

^{m=1 m=1 m=1}

les matrices

A |2 5 8|

|0 1 7|

|a₁,₁ a₁,₂ a₁,₃|

|a₂,₁ a₂,₂ a₂,₃|

avec a₂,₃ = 7.

A(a_i,_c) -> avec i = 2 lignes et c = 3 colonnes. (convention LC)

matrice carrée

|a₁,₁ a₁,₂ a₁,₃|

|a₂,₁ a₂,₂ a₂,₃|

|a₃,₁ a₃,₂ a₃,₃|

A(a_l,_c) -> avec l = 3 lignes et c = 3 colonnes. (convention LC)

3

|a₁,₁ a₁,₂ a₁,₃| = Σ a₁,_n .

ⁿ⁼¹

3 3

|a_i,₁ a_i,₂ a_i,₃| = Σ a_i,_n =Σ a_i,_m.

^{n=1 m=1}

Avec i = un indice libre, n et m sont des indices muets.

Muets, car si on les remplace par d'autres indices, cela ne changera pas le résultat.

La somme de 2 matrices S = A+B.

Les 2 matrices doivent avoir le même nombre de lignes et de colonnes.

|2 8 5 | |1 0 3 | = |3 8 8 |

|1 3 4 | |2 4 5 | |3 7 9 |

S =aA

2 |3 8 8 | = |6 16 16 |

|3 7 9 | |6 14 18 |

Le produit de 2 matrices

C = A*B

A = n lignes et p colonnes.

B = p lignes et r colonnes.

Le nombres de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.

|3 1|* | 4 | = |3*4 + 1*6| = |12+ 6 | = |18| = 2| 9|.

|2 5| | 6 | |2*4 + 5*6| | 8+ 30| |38| |19|.

|3 1 2|* | 4 | = | 3*4 + 1*5 + 2*8 | = | 12 + 5 + 16 | = | 33 |

|2 5 7| | 5 | | 2*4 + 5*5 + 7*8 | | 8 +25 + 56 | | 89 |

|0 6 4| | 8 | | 0*4 + 6*5 + 4*8 | | 0 +30 + 32 | | 62 |.

_p

C_i,_j =Σ a_i,_k b_k,_j.

^k=1

_{Et p est le nombre de colonnes.}

_{Avec i et j comme indices libres.}

_{avec k comme indice muet.}

_{Muets, car si on les remplace par d'autres indices, cela ne changera pas le résultat.}

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