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En algèbre linéaire
Un espace vectoriel
Un espace vectoriel (E) est un ensemble d’objets E = {...}.
→
Et ces objets sont des vecteurs ( u ) que l’on peut additionner entre eux où
les multiplier par un nombre ( l ) que l’on appellera un scalaire.
Ce scalaire est un réel ou un nombre complexe de K (et K est un corps commutatif).
Un K-espace vectoriel E (un espace vectoriel sur le corps K) est un ensemble (E,+,.) muni
→ → →
-- d'une loi de composition interne notée + (addition) u + v = w
-- et d'une loi de composition externe notée . (multiplication) au.
: K X E → E
Corps commutatif → ℝ = les réels , ℚ = les rationnels, ℂ = les complexes.
ℕ n'est pas un corps commutatif, il est non réversible.
Les vecteurs en 1870
Voici un repère non orthogonal et non normé
Un repère non orthogonal a 2 axes non perpendiculaires.
O est le point d'intersection des 2 axes x et y.
Non, normé veut dire que sur les 2 axes non perpendiculaires, il n'y a pas les
mêmes unités.
La base est composée de 2 vecteurs unitaires non perpendiculaires.
→ → → →
i et j avec || i || ≠ || j ||.
→ →
Et si || i || = || j ||. On a un repère dit cartésien (comme une carte d'une région).
Le repère orthonormé → →
Le repère orthonormé avec comme repaire du plan un triplet (O; i, j)
Plan affine euclidien (Pythagore). La pente d'une droite oblique est respectée.
Un repère orthonormé a 2 axes perpendiculaires.
Normé veut dire que sur les 2 axes perpendiculaires, on a les mêmes unités.
→ →
La base est composée de 2 vecteurs unitaires perpendiculaires i et j avec || i || = || j ||.
On peut y appliquer facilement le théorème de Pythagore, grâce à son orthogonalité.
O est le point d'intersection des 2 axes.
Il existe donc, 4 types de repère possible pour une base de 2 vecteurs.
Le repère orthonormé est le plus utilisé, car il est le plus pratique (sur une feuille quadrillée).
On peut y appliquer facilement le théorème de Pythagore et respecte les angles, grâce à son orthogonalité.
Une base formée de 2 vecteurs non colinéaires et non nuls forme un plan.
→
Représentation d'un vecteur v dans un plan orthonormé.
Un vecteur est caractérisé par sa direction (droite AB), par son sens (de A vers B)
et par son module (distance de AB).
Le point B est l'image du point A par la translation unique de A vers B.
L'image de A par la translation AB est le point B.
À tout point de départ du plan, on peut lui associer ce même vecteur.
Il est plus commode de n'en avoir qu'un seul représentant.
→ →
AA est un vecteur nul ( 0 ), car sa distance par translation de A vers A est nulle.
→ → →
n = 3i + 1j. Combinaison linéaire de vecteurs. Ne pas oublier que l'on va de A vers B.
C'est un vecteur colonne.
→ → →
v - v = 0
→ → → →
La somme vectorielle de u+v+z = w
Dans un plan orthonormé faire une somme vectorielle est très facile.
C'est faire glisser les différant vecteur au bout de chaque flèche,
en respectant leur direction et leur sens.
→ → →
W = 6i + 1j. Combinaison linéaire de vecteurs.
Voici les composantes des vecteurs (matrices colonnes des vecteurs)
En haut c'est le déplacement horizontal et en bas le déplacement vertical.
On peut mesurer les normes (distances) de tous les vecteurs avec une simple latte graduée.
On peut calculer la norme d'un vecteur avec le théorème de Pythagore.
Ex1) Pour rappel, un débutant peut toujours glisser un vecteur dans le 1er quadrant.
→
en haut à droite du plan, là où se trouve le vecteur S.
→ →
La base est formée par les vecteurs unitaires que sont i et j.
→ →
-- 1 -- 2 vecteurs sont égaux, T = S.
→ →
-- 2 -- 2 vecteurs sont opposés, S = - u.
→ →
-- 3 -- 2 vecteurs sont opposés, -W = Z.
→ →
-- 4 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, -W et Z. De même direction.
→ →
-- 5 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, S et -u. De même direction.
→ →
-- 6 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, Z et P. De même direction.
→ →
-- 7 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, -W et P. De même direction.
→ →
-- 8 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, Q et -R. De même direction.
→ →
-- 9 -- 2 vecteurs qui sont colinéaires, X et -V. De même direction.
→ → →
-- 10 -- 3 vecteurs qui sont colinéaires, -W et Z et P. De même direction.
→
-- 11 -- Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs du plan.
(il peut avoir toutes les directions possibles)
→
-- 12 -- Le vecteur X est colinéaire à lui-même comme tous vecteur non nul.
→ →
-- 13 -- le vecteur Q = -2 R.
→ →
-- 14 -- le vecteur P = 2 Z.
→ →
-- 15 -- le vecteur -V = 2 X.
→ → → →
-- 16 -- Z +(- W) + P = P.
→ → →
-- 17 -- S +(- u) = 0.
→ → →
-- 18 -- (-V) +(X) =(-X).
-- 19 -- Faire la somme de tous les vecteurs et donner sa norme.
et sa norme est 10,60660172. C'est la racine carrée de (10,52 + 1,52).
On voit bien que, si on y ajoute un vecteur nul, rien ne changerait.
Cette théorie est très utile en électronique.
Cela s'applique avec des réels ou des imaginaires (complexes).
→
Pour les imaginaires, c'est le vecteur unitaire j qui est un imaginaire.
Le produit d'un vecteur par un nombre réel ( a )
-- Si a est un réel positif
→ →
v et a v = ils ont la même direction.
→ →
v et a v = ils ont le même sens.
→ →
La norme de || av || = a|| v ||.
-- Si -a est un réel négatif
→ →
v et -av = ils ont la même direction.
→ →
v et -av = ils ont des sens opposés.
→ →
La norme de ||-av || = -a|| v ||.
→ → →
a = 0 alors a v = 0v = 0.
→ →
a = 1 alors a v = v.
→ →
a = -5 alors -5 0 = 0.
→ → →
(a+b)v = av + bv.
→ → →
av + bv = (a+b)v.
→ → → →
a(u+v) = au + av.
→ → → →
au + av = a(u+v).
→ →
a(bv) = abv.
→ → →
v - v = 0
→ →
ex1) si u = 0.
→ → → →
a2u -2au +1 +u = 0.
→ →
(a2 -2a +1) u= 0.
(a2 -2a +1) = 0 → (a-1)2 = 0 → a = 1.
→ →
ex2) 2v et v = |3| → 2|3| = | 6|
|5| |5| |10|
→
→ ||v|| = (√ (32+52)) = 2(√ 8,5)
→
→ 2||v|| = (√ (62+102)) =(√ (36+100)) =(√ 136) = 4(√ 8,5).
Le produit scalaire
Le produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire (un nombre) qui dépend des longueurs même de
ces 2 vecteurs et de l'angle formé entre eux.
→ →
Supposons 2 vecteurs u et v non nuls, ces 2 vecteurs appartiennent à un plan orthonormé.
→ → → → → →
On appellera le produit scalaire de ces 2 vecteurs u . v = || u || * || v || * cos (u ; v).
→ →
u.v se lit " u scalaire v ".
→ → → →
Attention cos (u ; v) ≠ cos (v ; u ).
On voit bien que le résultat est un nombre donc un scalaire ( l ).
Méthode par la projection orthogonale
figure 1
→ → → —
u.v = || u || * AM = 4*3 = 12.
→ → → →
Et i . j = || 1 || * || 1 || * cos(90) = 0.
Quand un produit scalaire de 2 vecteurs est nul alors, ils sont perpendiculaires.
→ → → →
u . v = v . u
→ → → →
u . v = 0 alors u ^ v.
→ → → → →
Si u = 0 alors u . v = 0 . v = 0.
Si 2 vecteurs sont colinéaires (de même direction) non nuls alors on a cos(0) = 1.
→ → → → → → → → → →
d'où u . v = || u || * || v || * cos(0) = || u || * || v || et si on a u . u = || u || 2 = u2.
→ → → → → →
l (u . v) =(lu) . v = u . (l v).
→ → → → → → →
u . (v + w) = (u . v) + (u . w).
-- ex1)
→ → → →
et i . j = || 1 || * || 1 || * cos(90) = 0.
La transposée d'un vecteur colonne le change en un vecteur ligne.
| 1 |. | 0 | = | 1 0 |T. | 0 | = 0+0 = 0
| 0 | | 1 | | 1 |
-- ex2)
| 3 | . | 3 | = | 3 2 |T. | 3 | = 9-4 = +5
| 2 | | -2 | | -2 |
→ →
S n'est pas perpendiculaire à Y.
→ →
Cos (S;Y) = 5 / (√ (32+22)) * (√ (32-22)) = 5 / (√ 13) * (√ 5) =
→ →
Cos-1 (S;Y) = 5/8,062 = 0,62 = 51,68°.
-- ex3)
| 3 | . | -3 | = | 3 2 |T. | -3 | = -9-2 = -11
| 2 | | -1 | | -1 |
→ →
s n'est pas perpendiculaire à v.
→ →
Cos (s;v) = -11 / (√ ( 32+22)) * (√ ( -32-12)) = -11 / (√ 13) * (√ 10) =
→ →
Cos-1 (s;v) = -11 / 11,4 = 164,8°.
-- ex4)
Voir la figure 1
→ → → —
u.v = || u || * AM = 4*3 = 12.
→ →
AM est la projection de v sur u.
| 3 | . | 4 | = | 3 4 |T. | 4 | = 12+0 = +12
| 4 | | 0 | | 0 |
→ →
Cos (u;v) = 12 / (√ (32+42)) * (√ (42+02)) = 12 / (√ 25) * (√ 42) =
→ →
Cos-1 (u;v) = 12 / 20 = 53,13°.
→
||v|| = (√ (32+42)) = (√ 25) = 5.
→ → → →
u.v = || u || * || v || * cos (53,13) = 4 * 5 * (12/20) = 12.
Le cas où l'on ne connaît que les normes des 2 vecteurs
Les produits remarquables
(a+b)2 = (a+b)*(a+b) = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 = a2+b2 +2ab
(a-b)2 = (a-b)*(a-b) = a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 = a2+b2 -2ab
(a+b)*(a-b) = a2- b2.
→ → →
u+v = w.
|4|+|3| = |7|
|0| |4| |4|
→
||w|| = (√ (72+42)) = √ (65).
→ → → → → →
||u+v||2 = || u ||2+|| v ||2 = +2u.v.
→ → → → → →
2u.v = (||u+v||2 - (|| u ||2+|| v ||2)).
→ → → → → →
u.v = 1/2 (||u+v||2 - || u ||2- || v ||2).
→ → → → →
u.v = 1/2 (||w||2 - || u ||2- || v ||2) = 1/2 ( (72+42) - 16 -25) = 1/2 (65 -41) = 1/2 (24) = 12.
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