Co je číslo fí?

Vstup do posledního útočiště (děkuji pane Zajdel) byl podmíněn vyřešením některé z automaticky generovaných matematických úloh.

Představte si, stejně jako v knize (kdo nemá rád sci-fi, ať raději dál nečte) Vynález profesora van Troffa

se dostáváte před zavřené dveře, za vámi se žene horda útočníků s klacky a provazy, a vy se můžete ukrýt pouze za podmínky, že během minuty (už běží!!!) máte vyřešit problém (to neříkám já, to říká ten automat, který otvírá dveře) : Jaké číslo je řešením rovnice x=1+1/x ? (v knize jsou ovšem v tomto případě derivace)

Možnosti nejsou dány.

A kde jsme?

Uvnitř x Venku x... NNNN

Probém zavřených dveří řešil již Fibonacci, skutečným jménem Leonardo Pisánský. Dnešním spotřebitelům se trochu plete s Leonardem da Vinci (viz knížka Šifra Mistra Leonarda - The Da Vinci Code), což podle původního názvu není divu. Autor této knihy má ovšem jen vysokoškoslé vzdělání a je středoškolský matematik a co chcete po matematikovy za znalosti historie...

Čísla mistra Leonarda

Leonardo Fibonacci

Leonardo Fibonacci z Pisy se narodil kolem roku 1170 a jako mladík přijel na otcovo přání do Bugie, aby se naučil aritmetickým postupům. Leonardova studia daleko přesáhla hranice znalostí, které byly v tehdejší době nutné pro obchodníka nebo úředníka. Své matematické znalosti rozšířil při svých cestách do Egypta, Sýrie , Byzance na Sicílii a do Provence. V roce 1202 napsal svou „Knihu o abaku“, kterou roku 1228 značně přepracoval.

Tištěné vydání knihy[1] má 419 stran a obsahuje patnáct kapitol.Tato vynikající kniha byla jedním z nejdůležitějším nositelů nové aritmetiky i dalších matematických znalostí v Evropě. V roce 1220 napsal Praxi geometrie a v roce 1225 Knihu čtverců. Leonardo Pisánský zemřel někdy po roce 1240. Jeho dílo natolik převyšuje celkově nízkou úroveň matematických znalostí jeho součastníků, že mohlo mít praktický vliv až o mnoho později, prakticky až po dvou stoletích.

Úloha o králících

Kapitola XII. Knihy o abaku obsahuje velké množství různorodých úloh. Poprvé v dějinách matematiky se zde objevuje sčítání rekurentní posloupnosti. Tato posloupnost se objevuje v úloze o králících. Znění úlohy je následující. Kolik párů králíků čítají potomci jednoho páru po roce, jestliže se každému páru se každý měsíc narodí pár, který je sám schopný se za měsíc rozmnožovat a jestliže ani jeden pár nezahyne? Odpověď na otázku je dána součtem posloupnosti 1+2+3+5+8+13+…+377. Každý člen této posloupnosti, kromě prvních dvou, je součtem dvou předcházejících členů, tj. a_n+2 = a_n+1+a_n Posloupnost tedy tvoří čísla 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Dnes tuto posloupnost nazýváme Fibonacciho posloupnost a je zvláštním případem posloupností, kdy je následují člen vytvořen lineární kombinací členů předcházejících. Tato posloupnost je tvořena neustále se zvětšujícími se čísly, je tedy rostoucí a není shora omezená. Roste tedy do nekonečna. Budeme-li zkoumat podíl dvou po sobě jdoucích členů, dojdeme k překvapivému závěru, že tento podíl se blíží určitému číslu. Tedy poměr prvních dvou členů je 1:1 = 1, dalších dvou 2:1 = 2, pak 3:2=1,5, dále 5:3=1,66, 8:5 = 1,6 a tak dále, až například u 40 a 41 členu dostáváme a₄₁ : a₄₀ = 165580141 : 102334155 = 1,618033989 a toto číslo se při výpočtu dalších poměrů na prvních 10 desetinných místech již nemění.

Označíme-li tento poměr φ pak pro velká n (n se blíží nekonečnu) platí:

a tedy rovnice

bude mít právě jedno kladné řešení:

Toto číslo hraje v uspořádání přírody a v historii lidstva významnou úlohu.

Seqt

V Britském muzeu se nachází papyrus, který je nazýván Ahmesův.

Text v papyru tvrdí, že „v pyramidách je utajen tajemný kvocient, nazvaný seqt“. Tento seqt objevili i pozdější Řekové a Římané. V Deseti knihách o architektuře Vitruvius[1] věnuje tomuto číslu značnou pozornost a dokazuje použití tohoto čísla v mnohých antických stavbách. Starořečtí architekti Itkinos a Kalikrates je využili při stavbě chrámu Parthenónu na Akropoli v Athénách, nejslavnější sochař Feidias, tvůrce sochy Dia v Olympii, je používal vědomě ve svých dílech.

Poměr úseček

Toto číslo je poměr, který vznikne řešením následující úlohy. Úsečku máme rozdělit na dvě různé části tak, aby poměr délky celé úsečky a k délce její větší části x byl roven poměru délky x k délce menší části (a-x). Tedy aby platil vztah a : x = x : ( a – x ). Ve středověku a v období renesance byli matematici tak okouzleni tímto poměrem, že byl nazýván „božským poměrem“, „divida proportio“. Renesanční matematik Luca Paciolli[2] vydal v Benátkách v tetech 1496-1498 pojednání nazvané „O božské úměře“ („De divina proportione“), která byla napsaná na naléhání Pacilliho přítele Leonarda da Vinci. Leonardo da Vinci také tuto knihu ilustroval[3]. Obsahuje nesmírně zajímavý soubor příkladů výskytů tohoto poměru v rovinných obrazcích i tělesech. V devatenáctém století se začalo používat pojmu „zlatý řez“ a „zlatý poměr“. V matematice, architektuře a biologii je toto číslo známé pod označením číslo φ. Jako φ jej označil americký matematik Mark Barr.

Výpočet tohoto čísla je dána řešením výše uvedeného poměru a : x = x : ( a – x ). Po úpravě dostaneme rovnici x² + a.x - a² = 0. Po rozřešení této rovnice pomocí diskriminantu a uvedením řešení do poměr a : x dostáváme

Zlatý řez

Hodnota čísla φ je tedy 1,61803398… a jeho převrácená hodnota 1/ φ je rovna 0,61803398…Tedy číslo φ a jeho převrácená hodnota mají stejné číslice za desetinnou čárkou a liší se pouze o jednotku. Je to jediné kladné číslo, které má tuto vlastnost. Číslo φ je také současně číslo iracionální, tedy nelze je vyjádřit pomocí zlomku.

V geometrii se konstruuje „zlatý řez“ následujícím postupem

Úsečka AB má jednotkovou velikost, kolmá úsečka BC má poloviční velikost. Bod X dělí úsečku AB ve zlatém poměru, tedy platí, že AB:AX = AX: XB, tedy

a pokud uvážíme, že

pak poměr úseček lze zapsat následovně:

tedy opravdu jsou poměry úseček rovné uvedenému číslu.

Pro úplnost uvádíme vztah mezi φ a 1/ φ, kde platí:

Renesanční umělci využívali číslo φ a zlatý řez vědomě ve svých dílech. Známé jsou ukázky použití čísla φ v kompozicích obrazů a architektonických dílech Leonarda da Vinci, Sandra Botticelli, Michalengela Buonarotti aj.

Pentagram

Pythagorejci nebo také pythagorovci a posléze řada dalších tajných společností si vybrali za znak svého bratrstva pěticípou hvězdu - pentagram. Pentagram právě proto, že v tomto obrazci je ukryta vnitřní harmonie, která je dokonalá a při své jednoduchosti velice tajemná.

V pěticípé hvězdě je každá úsečka vzhledem k sousední menší rozdělena v poměru zlatého řezu. Poměry úseček jsou AB:AD = AD : (AB – AD) a také AD:AX =AX : (AD – AX)

Důkaz prvního poměru plyne z podobnosti trojúhelníků ACB a CDB a shodné velikosti úseček

CB = CD = AD a DB = AB – AD.

Obdobně lze dokázat i platnost druhého poměru.

Navíc se v tomto geometrickém objektu ukazuje zajímavá souvislost mezi číslem φ a Ludolfovým číslem π. Trojúhelník ASQ je pravoůhlý a úhel ASQ má velikost 18º,

tj. π /10. Pak podle definice goniometrických funkcí v pravoúhlém trojúhelníku platí, že

a tedy

Zlatý obdélník

Zlatý obdélník má poměr stran v poměru φ. Pokud ze zlatého obdélníku odstřihneme čtverec, vznikne opět zlatý obdélník.

Zlatý trojúhelník

Zlatý trojúhelník je rovnoramenný trojúhelník s vrcholovým úhlem 36º. Poměr ramene a základny je vždy číslo φ. Pokud trojúhelník rozpůlíme tak, že vedeme přímku jako osu úhlu u základny trojúhelníku, opět vznikne zlatý trojúhelník.

Závěr

Číslo φ je význačným číslem, které se objevuje v přírodě buď jako poměr rozměrů přírodních živých útvarů nebo ve formě Fibonacciho posloupnosti. Z toho, jak universálně a někdy i v neočekáváných souvislostech se číslo φ objevuje, je možné usuzovat, že význam tohoto čísla je ukryt ve skutečnosti velice hluboko, možná na úrovni základních molekul, které vytvářejí živé organizmy, možná až na atomární a subatomární úrovni. To bude ještě třeba v budoucnu analyzovat a tyto souvislosti dokázat.

Literatura:

Matematika pro volné chvíle, S. Kowal, Polytechnická knižnice, SNTL, 1986

Dějiny matematiky ve středověku, A.P.Puškevič, Academia Praha, 1977

Deset knih o architektuře, Vitruvius, překl. A. Otoupalík, Praha 1953

Slovník antické kultury, kol. autorů, Svoboda, Praha 1974

Za sedmi divy světa, Vojtěch Zamarovský, Albatros, Praha, 1979

Dějiny přírodních věd v datech, J. Folta, L. Nový, Mladá fronta, Praha, 1979

[1] Marcus Vitruvius Polio, římský architekt a inženýr z konce 1. stol. př. n. l. Překlad: Vitruvius, Deset knih o architektuře, Alois Otoupalík, Praha 1953

[2] Luca Paciolli (kolem roku 1445 – kolem roku 1514), benátský mnich. Jeho základní dílo bylo „Suma aritmetiky, geometrie, poměrů a proporcí“, vydaná r. 1494 v Benátkách.

[3] Kniha „De divina proportione“ byla znovu vydána v krásné úpravě roku 1956.

[1] Scritti di Leonardo Pisano…, publicati da B. Boncopagni, 1-2, Roma 1857 - 1862

[2] Poměr uvedený v rovnici je zajímavý tím, že je jedno jaké první dva členy Fibonacciho posloupnosti zvolíme. Pokud zvolíme např. první dva členy 6 a 8, stejně se poměr po sobě následujících členů bude blížit číslu φ.