waterbak-besturing

Als voorbeeld van een regelprobleem, op te lossen met een regelalgoritme, beschouwen we een bak met water die tot een bepaald niveau gevuld moet worden. De bak is een eenvoudige bak waarbij de oppervlakte over de gehele hoogte constant is. De bak wordt van boven gevuld door een kraan, die een constante stroom water levert; we kunnen in eerste instantie de kraan alleen aan- en uitzetten. We modelleren de bak volgens de principes van Hoofdstuk 4; een korte uitleg volgt hieronder. In dit hoofdstuk ligt de focus op de besturing van de kraan waarmee we de bak vullen. We bekijken een aantal varianten: in de eerste plaats, het vullen van een waterdichte bak tot een bepaald niveau. Vervolgens, het modelleren van het leeglopen van een lekke bak; tenslotte, het vullen van een lekke bak.Modellering

Het modelleren van de waterbak doen de in de volgende stappen:

1. identificeren van de concepten en relaties
2. formaliseren van het model: concepten en relaties
3. omzetten van het model in spreadsheet-vorm

Voor het rekenen aan het model gebruiken we hier een spreadsheet; voor complexere modellen zijn gespecialiseerde pakketten beschikbaar.

Identificeren van de concepten en relaties

De onderdelen waaruit de waterbak opgebouwd is, ofwel de componenten die samen de structuur vormen:

• de waterbak: een eenvoudige bak, die over de gehele hoogte dezelfde oppervlakte heeft. (Je kunt je ook een bak voorstellen die bijvoorbeeld taps toeloopt naar beneden.)
• de kraan: hiermee wordt de waterbak gevuld; in eerste instantie kan de kraan alleen helemaal open of dicht, en geeft de kraan een constante stroom water; in een latere versie zullen we de kraan ook meer of minder open zetten (het moduleren van de stroom).
• het lek: we beschouwen het lek als een extra onderdeel in de structuur; dit zou ook een uitstroomopening kunnen zijn, met een bepaalde vernauwde doorgang.

De toestand van deze componenten, en daarmee de toestand van het systeem, wordt bepaald door:

• de hoeveelheid (volume) water in de bak; dit is direct gerelateerd aan de hoogte van het water in de bak;
  • de toename (of afname) van de hoeveelheid water: als de kraan open staat, neemt de hoeveelheid water in de bak per tijdseenheid toe met de stroom uit de kraan (uitgedrukt in bijvoorbeeld m^3/s).
• de toestand van de kraan: open of dicht; we gebruiken een eenvoudige regeling: als de hoogte van het water onder het ingestelde maximum is, dan staat de kraan open; als de hoogte van het water boven het maximum is, dan staat de kraan dicht

Formaliseren van de concepten en relaties

We proberen de formules op te stellen voor de concepten die de toestand van het systeem representeren.

• het volume V van het water in de bak op moment t is gelijk aan het volume korte tijd (deltaT) tevoren, vermeerderd met het volume van het water dat er in de periode deltaT in de bak gestroomd is. De toename is deltaV=F *deltaT, waarbij F de waterstroom (flow) van de kraan is. Voor het volume geldt dan: V(t) = V(t-deltaT) + F*deltaT. Als we de periode deltaT voldoende kort kiezen, kunnen we de stroom F gedurende die periode constant veronderstellen; we kunnen dan schrijven:
  • V(t) = V(t-deltaT) + F(t-deltaT)*deltaT.
  • Initieel is de bak leeg: V(0)=0
• de hoogte van het water in de bak is elk moment gelijk aan het volume van het water, gedeeld door de oppervlakte van de bak (die voor deze eenvoudige bak constant is voor alle hoogtes):
  • h(t)=V(t)/opp. (h in m, opp in m^2).
• de kraan staat alleen open als de waterhoogte onder het maximum is:
• F(t) = if h(t)<hmax then Fkraan else 0

In het model beschouwen we de tijd alleen op discrete tijdstippen: 0, 1*deltaT, ..., (n-1)*deltaT, n*deltaT, ... ; we schrijven in plaats van V(t) respectievelijk V(t-deltaT) daarom meestal V(n) en V(n-1). In het spreadsheetmodel gebruiken we deze notatie.

Omzetten in een spreadsheetmodel

De syntax voor de conditionele expressie if cond then value0 else value1 is in Excel: IF(cond; value0; value1)

In Nederlandse versies van Excel wordt dit: ALS(cond; waarde0; waarde1)

Het vullen van een waterdichte bak

In de bijgeleverde spreadsheet vind je een model van de waterbak, met een eenvoudige besturing. In het eenvoudigste geval kunnen we de kraan alleen aan- en uitzetten.

Opgave: probeer na te gaan wat de gevolgen zijn van verschillende keuzes van de waterstraal van de kraan. Wat valt je op, bijvoorbeeld met betrekking tot de minimale en maximale waterhoogte? Hoe kun je dit verklaren? Wat is je conclusie?

Latency (reactietijd van de besturing): in het bovenstaande gaan we uit van een besturing die onmiddellijk reageert. In de praktijk is dit meestal niet het geval: enerzijds kunnen we de waterhoogte vaak maar op een beperkt aantal momenten meten: we werken met een beperkte bemonsteringsfrequentie. Anderzijds kost het tijd om uit te rekenen wat de volgende stap in de besturing moet zijn (rekentijd). In veel gevallen moeten er nog meer onderdelen van het systeem met dezelfde computer bestuurd worden, waarbij de verschillende delen elkaar in de weg kunnen zitten (interferentie).

We kunnen we reactietijd van de besturing in het bovenstaande model verwerken door de bestruingswaarde op tijdstip n te laten afhangen van de gemeten waarde op een eerder tijdstip; een latency van 3*deltaT geeft dan:

F(n) = if h(n-3) < hmax then Fkraan else 0

Opgave: probeer na te gaan wat de gevolgen zijn van deze latency, door de regel overeenkomstig aan te passen.

NB: de genoemde regel voor F(n) kunnen we pas vanaf n=3 in de spreadsheet gebruiken; voor n=0, 1, 2 moeten we de waarde met de hand invullen, bijvoorbeeld 0 (kraan dicht).

Opgave: probeer na te gaan wat de gevolgen zijn van verschillende keuzes van deltaT (de stap in de tijd), door hiervoor verschillende waarden in te vullen. Ga hierbij uit van het vorige voorbeeld, met een flinke vertraging (latency) in de besturing. Wat valt je op, bijvoorbeeld voor de minimale en maximale waterhoogte? Hoe kun je dit verklaren? Wat is je conclusie?

Het leeglopen van een lekke bak (modellering)

Een volgende stap in de probleemstelling betreft een bak die lek is aan de onderkant. Dit betekent dat de hoeveelheid water die per tijdseenheid weglekt, evenredig is met de momentane druk, ofwel met de momentane hoogte van het water in de bak; de hoeveelheid die weglekt per tijdseenheid is omgekeerd evenredig met de lekweerstand Rlek:

Flek(n) = h(n)/Rlek

In eerste instantie wordt de bak niet bijgevuld; de hoeveelheid water in de bak neemt per tijdseenheid deltaT af met de lekstroom gedurende die periode:

V(n) = V(n-1) - Flek(n-1)*deltaT

Dit resulteert in het volgende spreadsheetmodel:

In dit geval is er geen sprake van besturing: we laten de bak gewoon leeglopen. De onderstaande opgave heeft daarom betrekking op het model, en op de vraag of dit nog klopt met de werkelijkheid.

Opgave: probeer wat de gevolgen zijn van verschillende keuzes van deltaT, in samenhang met keuzes voor de andere parameters. Wat is de minimale waarde van deltaT waarbij het model niet meer lijkt te kloppen? Wat gebeurt er als je deltaT nog groter maakt? Wat gebeurt er als je deltaT kleiner maakt? Waarom zou je mogelijk liever niet een hele kleine deltaT willen nemen?

Opgave: Neem nu weer de kleinste deltaT waarbij het net mis gaat. Varieer hierbij de waarde van de lekweerstand. Wat is je conclusie? Verdubbel ook eens, bij de originele waarde van de lekweerstand, de oppervlakte, samen met de initiele inhoud (V(0)); wat is je conclusie?

Het vullen van een lekke bak (modellering en besturing)

Voor de volgende stap combineren we de twee voorgaande modellen. De totale stroom naar de bak is dan de stroom vanuit de kraan Fin, minus de lekstroom Flek.

Dit resulteert in het volgende spreadsheetmodel:

Optioneel: moduleren van de waterstroom

In de bovenstaande eenvoudige besturing hebben we de stroom door de kraan steeds constant verondersteld: de kraan kan alleen open of dicht. We kunnen een betere regeling krijgen als we de waterstroom kunnen moduleren, dat wil zeggen, de kraan meer op minder open zetten. Een eenvoudige regeling krijgen we door de stroom te laten afhangen van het verschil tussen de momentane hoogte en de ingestelde hoogte:

F(n) = if h(n)>hmax then 0 else Fkraan*(hmax-h(n))/hmax

ofwel

F(n) = MAX (0; Fkraan*(hmax-h(n))/hmax))

Opdracht: werk dit verder uit, en experimenteer met andere functies die afhangen van het verschil hmax-h(n).

Samenvatting

Bij regelproblemen zoals deze, waarbij continue processen bestuurd worden door een tijd- en waarden-discreet regelaar, is het van belang dat zowel het tijdsgedrag (bemonsteringsfrequentie/sample frequency; vertraging/latency) als het waarden-gedrag passen bij het gedrag van het systeem. Als bijvoorbeeld de bemonsteringsfrequentie veel lager is dan het tijdsgedrag van het systeem, zal de parameter waar we op willen sturen, zoals de gewenste waterhoogte in de bak, mogelijk grote uitschieters vertonen. Eenzelfde probleem doet zich voor als de waarden waarmee we het systeem aansturen, niet passen (in dit geval, de stroom uit de kraan).