3 - REFRACTION ATMOSPHERIQUE

REFRACTION ATMOSPHERIQUE :

DEPRESSION DE L’HORIZON, DISTANCE A L’HORIZON

Parce que la densité de l’atmosphère terrestre augmente en général, ainsi que l’indice de réfraction, avec la diminution de la hauteur au-dessus du niveau de la mer, un rayon lumineux pénétrant dans l’atmosphère est continûment courbé vers le sol lorsqu’il se propage dans l’atmosphère terrestre. Si nous supposons que la Terre et l’atmosphère sont sphériques, le rayon lumineux décrit une courbe dans le plan défini par la normale locale et la direction géométrique de l’objet, alors, la réfraction n’affecte que l’altitude et non l’azimut. Au voisinage de l’horizon, la réfraction atmosphérique relève non seulement la hauteur apparente des objets célestes au-dessus de leur hauteur vraie d’au moins demi degré, mais aussi celle des objets situés sur la Terre. Ainsi, les objets proches de l’horizon apparaissent-ils à une altitude plus grande que celle de leur position géométrique, c’est-à-dire à la position qu’ils occuperaient s’il n’y avait pas d’atmosphère. On peut supposer que la réfraction dans l’atmosphère sphérique qui entoure la Terre ne peut jamais atteindre la valeur de 1,4°, qui est la valeur de la réfraction dans l’hypothèse d’une Terre plate. Cependant, un profile d’inversion de température peut facilement produire une courbure des rayons lumineux qui égale et même excède celle de la Terre. Alfred Wegener a montré qu’un gradient de température voisin de 11 K/100 m, c’est-à-dire 0,1 K/m, est suffisant pour qu’un rayon lumineux ait une courbure égale à celle de la Terre. La réfraction au voisinage de l’horizon dépend principalement du gradient de température local, dont la valeur est bien plus importante que celle de la valeur de la température locale elle-même. Cette grande sensibilité de la réfraction dans les couches inférieures de l’atmosphère explique les valeurs variables de la réfraction aux petites altitudes angulaires. Pour cette raison, tous les phénomènes observés au voisinage de l’horizon, tels que la réfraction terrestre, les mirages, ainsi que la réfraction astronomique, sont très sensibles au gradient de température.

Alfred Wegener a compris que la réfraction au voisinage de l’horizon peut être simplifiée en divisant l’atmosphère terrestre en deux parties. Dans la partie inférieure, les dernières dizaines de mètres, les rayons lumineux sont presque horizontaux, aussi peut-on faire l’approximation qu’ils sont des arcs de cercle dont les rayons dépendent du gradient de température vertical. Dans la partie supérieure de l’atmosphère, les rayons lumineux sont loin d’être horizontaux, mais l’atmosphère présente un profile de température standard, et la réfraction peut y être calculée à l’aide des tables de réfraction standard.

Calcul de la courbure d’un rayon lumineux

Dans son ouvrage Astronomie générale, Albert Blanchard Paris, 1994, André Danjon développe le calcul de la courbure d’un rayon lumineux, au paragraphe 81. Nous considérons que la Terre est une sphère, et que les surfaces d’égal indice sont des sphères concentriques de centre C, centre de la Terre de rayon r₀. D’autre part, la densité de l’air décroît avec la hauteur, distance de la surface d’égal indice au centre de la Terre. Le rayon lumineux partant d’un point O du sol reste dans le plan vertical qui contient sa tangente en O, faisant l’angle z₀ avec la verticale en O, CZ (figure 1).

En un point A du rayon lumineux, la verticale CA de ce point fait un angle V avec la tangente au rayon lumineux (figure 1). Posons : CA = r, CO = r₀, r₀ représente le rayon de la Terre, et notons q l’angle OCA. Soit z l’angle de la tangente en A au rayon lumineux, avec la verticale CZ du point O (figure 1). Lorsque le point A s’éloigne de l’observateur jusqu’à la limite de l’atmosphère, la tangente en ce point tend vers une position limite qui est l’asymptote du rayon lumineux.

Figure 1

Calculons la courbure C du rayon lumineux au point A (figure 1). La courbure du rayon lumineux est donnée par la relation C = dz/ds, avec dz = - (dn/n) tg V et ds = dr/cos V, d'où :

La courbure C d’un rayon lumineux est directement proportionnelle à la dérivée de l’indice par rapport à la hauteur linéaire r. Elle varie donc, et parfois rapidement, le long d’un rayon lumineux, en raison de causes météorologiques diverses, et elle ne peut pas être l’objet de calculs précis. Nous pouvons donc légitimement nous permettre de nombreuses simplifications. Nous remplacerons notamment le facteur : (n₀ r₀) / (n² r)

par l’unité, car il en diffère très peu. Nous admettrons que l’atmosphère est isotherme et que par conséquent, nous avons : n -1 = a₀ exp(-h/l₀) avec l₀ = 8 km. Nous en déduisons : dn/dr = dn/dh = - a₀/l₀ exp(-h/l₀).

La grandeur l₀ est appelée hauteur réduite, c’est la hauteur qu’aurait l’atmosphère, 8 km, si elle avait en tout points la même densité que celle qu’elle a au niveau de la mer.

Enfin, puisque nous ne nous intéressons qu’aux rayons lumineux au voisinage de l’horizon, nous ne considérerons que les rayons quasi-horizontaux et de faible hauteur, ce qui nous permet de remplacer les quantités : - a₀/l₀ exp(-h/l₀) et sin z₀ par l’unité. Nous pouvons alors écrire l’expression de la courbure du rayon lumineux en posant β₀ = l₀/r₀ :

Désignons par la lettre k le rapport de la courbure du rayon lumineux à celle de la Terre, ce qui s’écrit : k = C r₀. La courbure du rayon lumineux en un point dépend, dans une large mesure, de la valeur des facteurs météorologiques locaux. Elle est donc sensible aux irrégularités du gradient de température, à l’humidité etc … Pour les observations près de la mer, on adopte la valeur : k = 0,16. Ce qui correspond à une valeur de k comprise entre 1/7 = 0,123 et 1/6 = 0,167.

Dépression de l’horizon

L’horizon est un concept physique simple qui recouvre plusieurs significations possibles en astronomie. L’horizon astronomique est l’intersection du plan horizontal passant par l’œil de l’observateur avec la sphère céleste. On définit également l’horizon sensible, ou horizon apparent, qui est là où le ciel semble rencontrer la Terre, c’est-à-dire là où le rayon lumineux réfracté passant par l’œil de l’observateur est tangent à la surface de la Terre. L’horizon apparent est situé en dessous de l’horizon astronomique, la dépression de l’horizon apparent est la distance angulaire mesurée en dessous de l’horizon astronomique. On définit également un horizon géométrique qui se trouve là où l’horizon apparent serait s’il n’y avait pas d’atmosphère autour de la Terre, c’est-à-dire s’il n’y avait pas de réfraction. A cause de la réfraction, l’horizon sensible est situé généralement au-dessus de l’horizon géométrique.

1 - Cours d’Astronomie générale d’André Danjon, chapitre IX, § 81, Albert Blanchard Paris, 1994

En mer, la hauteur apparente des astres est déterminée à l’aide du sextant, en la rapportant à l’horizon sensible, appelé également horizon apparent. La hauteur mesurée doit être diminuée de la réfraction astronomique, mais il faut aussi tenir compte de la dépression de l’horizon. L’horizon sensible est là où le ciel rencontre la Terre, c’est-à-dire là où le rayon lumineux réfracté est tangent à la Terre. C’est l’arc AO sur la figure 2. La dépression de l’horizon est l’angle formé par la direction de l’horizon astronomique OH et la tangente OA’ au rayon lumineux passant par O et tangent en A à la surface de la Terre, c’est l’angle D de la figure 2.

L’observateur placé en O, à la hauteur h = MO, au-dessus du niveau de la mer, voit l’horizon dans la direction du OA’, direction de la tangente en O au rayon lumineux passant par l’œil de l’observateur et tangent à la surface de la mer en A. La direction OH, perpendiculaire en O à la normale en M, représente l’horizon astronomique de l’observateur (figure 2).

Calculons la valeur de l’angle q = OCA, angle au centre de la Terre entre les deux normales en M et A. Prenons comme axe des x la direction la direction de la tangente au point A, et comme axe des y le rayon de la Terre AC (figure 2), l’équation de l’arc AM est, au degré d’approximation cherché : y₁ = x²/2r₀, et celle du rayon lumineux OA : y₂ = kx²/2r₀. Si l’on pose : y₁ – y₂ = h et x = r₀ q, nous obtenons :

Figure 2

D’autre part, l’angle en D dans le triangle ODF étant égal à kθ, et l’angle extérieur en F, égal à θ, nous en déduisons la valeur de l’angle Δ en D dans le triangle ODF : Δ = θ (1 – k), d’où l’expression de la dépression de l’horizon :

Δ = ( 2h/r₀)^1/2. (1 – k)^1/2

En mer, les distances sont exprimées en milles de 1 852 mètres. La longueur d’un arc de 1 mille correspond à un angle au centre de la Terre de 1’. Si h est exprimé en mètres, et si l’on exprime en minutes les coefficients de (h)^1/2 dans les relations ci dessus donnant les expressions de θ et de Δ, nous obtenons la valeur de dépression de l’horizon en minutes, et la distance à l’horizon en milles marin au moyen des relations suivantes établies pour une valeur de k = 0,16 :

θ = 2,10’ (h)^1/2 et Δ = 1,77’ (h)^1/2

Dans le cours d’Astronomie générale d’André Danjon, lorsque θ est exprimé en milles, θ représente la longueur de l’arc MA (figure 2), qui est appelé distance à l’horizon sensible. L’angle Δ est la dépression de l’horizon.

Lorsque l’on néglige la réfraction, c’est-à-dire lorsque l’on pose k = 0 dans les relation ci-dessus, nous obtenons : θ = Δ = 1,93’ (h)^1/2.

Si la passerelle d’un navire est à 16 mètres au-dessus du niveau de la mer, la dépression de l’horizon est de 7,1’ et la distance de visibilité d’un objet flottant atteint 15,6 kilomètres. La visibilité directe d’un phare de 49 mètres de hauteur s’étend à la distance de :

θ = 2,10’ [ (16)^1/2 + (49)^1/2 ] = 23,1 milles

Mirage

La concavité d’un rayon quasi horizontal est généralement tournée vers la Terre (figure 2), elle a pour expression approchée : C = - dn/dh, la dérivée étant elle-même négative. Mais, il peut arriver que cette dérivée soit positive, en plein soleil, au voisinage immédiat du sol surchauffé ou de la surface de la mer. Dans ce cas, la concavité du rayon lumineux est tournée vers le haut. On observe alors un phénomène appelé mirage (figure 3).

Figure 3

Un mirage se produit lorsque la lumière d’un objet A peut parvenir à l’œil de l’observateur O, en suivant deux chemins différents, bien distincts (figure 3). L’un des deux chemins est parcouru en dehors de la couche d’air à gradient de température inversé, est le trajet normal du rayon lumineux. L’autre chemin, à courbure inversée, passe au voisinage immédiat du sol. L’objet A, un arbre éloigné, est vu renversé, point A’, comme une réflexion dans une nappe liquide. Le mirage inférieur, donne l’impression que les objets sont réfléchis par une flaque d’eau.

2 - Andrew T. Young, George W. Kattawar et Pekka Parviainen, Applied Optics, 36, 2689-2700, 1997

Sur la figure 4, l’arc OP représente le rayon lumineux réfracté, passant par le point P où il est tangent à la surface de la Terre et par l’œil de l’observateur, situé en O à une hauteur H au-dessus de la surface de la Terre en S. L’arc OP définit l’horizon sensible de l’observateur. Q est le centre de courbure du rayon lumineux OP. C est le centre de la Terre, de rayon R. La ligne horizontale pointillée passant par O, et perpendiculaire à la normale locale en S, représente l’horizon astronomique. La dépression géodésique est l’angle d_g, angle entre l’horizon astronomique et la tangente à la Terre passant par O. La dépression de l’horizon est l’angle d.

L’œil de l’observateur est toujours situé au-dessus de la surface convexe de la Terre, ainsi, l’horizon sensible, représenté par l’arc OP, est-il situé en dessous de l’horizon astronomique, droite horizontale pointillée perpendiculaire en O à la normale locale CS (figure 4). Le Soleil peut être observé en dessous de l’horizon astronomique. Pour les modèles standard d’atmosphère, la courbure des rayons lumineux presque horizontaux, due au gradient thermique au voisinage de la surface de la Terre, est voisine de 1/6 de la courbure de la Terre. Le rapport de la courbure du rayon lumineux à celle de la Terre est noté k en géodésie, k a pour expression : k = C R, où C est la courbure du rayon lumineux, et R le rayon de la Terre. Une personne de hauteur moyenne debout sur le littoral voit plus de 2 minutes d’arc du ciel en dessous de l’horizon astronomique. Cette quantité aisément visible, retarde le coucher du Soleil d’environ 10 s de temps aux latitudes moyennes. Pour un observateur situé 100 m au-dessus de la mer, la valeur de la dépression de l’horizon est supérieure à celle du rayon du Soleil.

Figure 4. Méthode de calcul de la dépression de l’horizon par Alfred Wegener.

Andrew T. Young a présenté cette méthode dans une publication : A. Young et al. Applied Optics, 36, 2689-2700, 1997.

Hypothèse : il n’y a pas d’atmosphère autour de la Terre, il n’y a pas de réfraction

S’il n’y avait pas de réfraction, la direction de l’horizon sensible serait la tangente OT menée de l’observateur à la surface de la Terre (figure 4). Sa dépression en dessous de l’horizon astronomique, l’angle d_g, est donné par la relation :

en posant : ε = H/R, où R est le rayon de la Terre et H la hauteur de l’observateur au-dessus de la surface de la Terre. Le calcul se fait dans le triangle rectangle OTC (figure 4).

La dépression de l’horizon est en général une petite fraction de degré, nous pouvons donc utiliser l’approximation des petits angles pour le cosinus. Nous pouvons écrire : cos x ≈ 1 – x²/2, au côté gauche de l’équation précédente qui s’écrit : 1 - (d_g)²/2. Le développement du côté droit de l’équation : 1/(1 + H/R) s’écrit 1 – H/R, puisque H/R << 1. Soit : 1 - (d_g)²/2 = 1 – H/R. Nous déduisons de cette égalité :

d_g = (2H/R)^1/2 = (2ε)^1/2 en radians

Nous pouvons écrire la relation précédente sous la forme : OT ≈ 1,93’ (h)^1/2, en minutes d’arc, si H est exprimé en mètres. Nous retrouvons l’expression du paragraphe précédent.

Hypothèse : la Terre est entourée d’une atmosphère

La dépression de l’horizon sensible, angle d de la figure 4, est l’angle de sommet O dans le triangle OCQ. Dans ce triangle, le point Q est le centre de courbure du rayon réfracté OP. Le côté OC est égal à R + H = R (1 + ε ), et le côté OQ = R/k, où k est le rapport des courbures du rayon lumineux et de la Terre. L’angle COQ est égal à la dépression d, les deux angles COQ et l’angle de sommet O formés par la direction de l’horizon astronomique et la tangente au rayon lumineux OP, sont deux angles à côtés perpendiculaires (figure 4).

Puisque QP = OQ = R/k, CQ est égal à : R/k – R = R (1 – k)/k. Nous pouvons alors exprimer le cosinus de l’angle d en fonction de ε et k. Si nous utilisons à nouveau l’approximation des petits angles, nous trouvons :

Il faut noter que le rapport de la dépression réfractée d à la dépression géodésique d_g s’écrit : (1 – k)^1/2, il est indépendant de la hauteur de l’observateur. L’effet de la réfraction est essentiellement de faire apparaître que la Terre a un rayon de courbure plus grand d’un facteur 1/(1 – k). Cela signifie que la réfraction réduit le rayon de courbure de la Terre par un facteur (1 - k)

Lorsque l’on tient compte de la réfraction, la déclivité de l’horizon est donnée en minutes d’arc, par la relation : d = 1,75’ (H)^1/2, où H est la hauteur de l’œil de l’observateur exprimé en mètres. Pour k = 0,6, nous trouvons une valeur voisine de celle qui est donnée ci dessus par André Danjon : Δ = 1,77’ (H)^1/2 (§ 1).

Distance à l’horizon

La distance à l’horizon est la distance à laquelle est situé l’horizon, endroit où le ciel semble rejoindre la Terre.

Hypothèse : la Terre n’a pas d’atmosphère

Sur la figure 4, en l’absence d’atmosphère, la ligne pointillée OT définit l’horizon géométrique de l’observateur, cette ligne est tangente à la surface de la Terre en T. Le point T est l’horizon géométrique. La distance à l’horizon est la longueur du segment OT. Sur la figure 4, l’horizon astronomique de l’observateur est la ligne pointillée passant par O, perpendiculaire à CO.

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OCT : (R + H)² = R² + OG², or : OT² = (R + H)² – R², après le développement de (R + H)², R² disparaît et nous obtenons : OT = (2RH + H)^1/2

Si l’observateur est proche de la surface de la Terre, H << R, alors, nous pouvons négliger H² devant le terme 2 RH, la relation précédente s’écrit : OT ≈ (2RH)^1/2

La longueur du segment OT est la distance à l’horizon lorsque l’on néglige la réfraction.

La valeur du rayon de la Terre varie un peu avec la latitude et la direction, mais on utilise la valeur 6 378 kilomètres pour calculer la constante (2R)^1/2.Si h est exprimé en mètres, la distance à l’horizon OT est exprimée en kilomètre, elle est donnée par la relation : OT ≈ 3,57 (H)^1/2

Hypothèse : la Terre est entourée d’une atmosphère

On pose souvent la question : jusqu’à quelle distance peut voir ? Ou, à quelle distance est situé l’horizon sensible ? Ces deux questions sont un peu différentes. Evidemment, nous pouvons voir de hautes montagnes au-delà de basses collines, mais la réponse est affectée par la réfraction terrestre dans les deux cas. La réfraction terrestre correspond au déplacement des objets terrestres de leur position géométrique par la réfraction atmosphérique. Consulter la page distance à l’horizon : http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/atmos_refr/horizon.html

Si nous supposons un taux constant de variation de la température de l’air entre l’œil de l’observateur et la surface de la Terre, et si la hauteur de l’œil de l’observateur H est petite par rapport à la hauteur de l’atmosphère homogène qui est de 8 kilomètres, nous pouvons supposer que le rayon lumineux courbé est un arc de cercle. Cette hypothèse simplifie le calcul, parce que la courbure relative du rayon lumineux et celle de la Terre est tout ce qui importe pour le calcul. En effet, nous pouvons utiliser le résultat du paragraphe précédent, mais avec un rayon de courbure effectif pour la Terre qui soit plus grand que le rayon réel. Consulter la page atmosphère homogène – équilibre hydrostatique :

http://mintaka.sdsu.edu/GF/explain/thermal/hydrostatic.html#homog.

Cette hypothèse est conventionnelle dans l’arpentage et la géodésie pour utiliser des « constante de réfraction » qui soient égales au rapport de deux courbures. Une valeur caractéristique de ce rapport k, est 1/7. C’est-à-dire que le rayon de courbure du rayon lumineux est 7 fois celui de la surface de la Terre : C = 7 R .

Utiliser cette valeur « caractéristique » signifie que nous utilisons pour calculer la distance à l’horizon la relation établie plus haut pour l’absence d’atmosphère : OT ≈ (2RH)^1/2, mais que nous utilisons comme rayon de courbure effectif de la Terre une valeur R’ = R/(1 – k), au lieu de R. En effet, la réfraction réduit le rayon de courbure de la Terre par un facteur (1 - k). L'égalité précédente R’ = R/(1 – k) permet d'écrire :

Calculons la valeur de l'arc OP (figure 4). Nous obtenons : OP ≈ (2R’H)^1/2, et en remplaçant R' par sa valeur :

Une valeur caractéristique du rapport k est 1/7, ce qui nous permet d'écrire :

d’où la valeur du rayon de courbure effectif de la Terre dans l’hypothèse de l’existence de l’atmosphère :

R’ = (7/6)R

Le rayon de la Terre est voisin de 6 378 km, nous obtenons R’ = 7 441 km. Il suffit de multiplier la constante 3,57 qui apparaît dans l'expression OT ≈ 3,57 (h)^1/2, dans le cas où il n’y a pas d’atmosphère, par (7/6)^1/2. La distance à l’horizon lorsque l’on tient compte de la réfraction est voisine de : OP ≈ 3,86 (H)^1/2

Si H est exprimé en mètres, la distance à l’horizon OP est exprimée en kilomètres.

Cette approximation est très pratique, mais est-elle réaliste ?

Malheureusement, la réfraction varie considérablement d’un jour à l’autre, et d’une place à une autre place dans l’atmosphère. Elle est particulièrement variable au-dessus de l’eau, à cause de la grande capacité calorifique de l’eau, l’air est presque toujours à une température différente de celle de l’eau, ainsi existe-t-il une couche thermique frontière, dans laquelle le gradient de température est loin d’être uniforme. Les contrastes de température sont particulièrement marqués près de la côte, où les grandes variations de température sur la terre lors de la journée, peuvent produire de grands effets thermiques sur l’eau, lorsque souffle la brise de terre.

Dans le cas des conditions qui produisent un mirage supérieur, il existe des couches d’inversion de la température, qui donnent aux rayons lumineux des courbures supérieures à la courbure de la surface de la Terre. Alors, en principe, nous pouvons voir infiniment loin, il n’y a plus d’horizon. Evidemment, nous savons que la visibilité est limité par la clarté ou le flou de l’air. Et le guide de rayons lumineux qui permet, en principe, de voir tout autour de la Terre ne s’étend pas jamais aussi loin. Ce phénomène existe réellement mais pour quelques centaines de kilomètres.

Ainsi, les belles formules qui permettent de calculer « la distance à l’horizon » sont seulement une approximation de la réalité. La précision est de quelques pour cent, la plupart du temps. Mais, occasionnellement, elles sont utiles, car il est parfois possible de voir beaucoup plus loin que d’habitude, une condition connue sous le nom de looming. L’effet appelé looming correspond à l’observation au dessus de l’horizon d’un objet éloigné qui devrait être caché en dessous de l’horizon. Cet effet est dû à une réfraction terrestre exceptionnellement grande, et ce n’est pas un mirage.