mcm y Mcd

Cómo calcular el mcm ( mínimo común múltiplo ) y Mcd ( máximo común divisor ):

Ahora podemos hacerlo de dos maneras. La primera que aprendimos era calculando los múltiplos y los divisores. Le llamamos método 1 :

· mcm ( 30, 44 ): 660

primero ver los múltiplos, multiplicando por 1,2,3,4,5,…

después ver los comunes y elegir el más pequeño

múltiplos de 30 :

múltiplos de 44 :

encontramos un común : 660 y es el más pequeño entonces mcm ( 44, 30) :660

· MCD ( 30,44 )

Tenemos que elegir:

1º. los divisores 2º.- los comunes 3º.-el mayor

Primero vemos los divisores. ¿ por qué números es divisible?

Divisores de 30 : 1 ( todos son divisibles por 1) 30 ( todos son divisibles por si mismo ),

2 ( porque es par), 3 ( porque la suma de sus cifras es 3, múltiplo de tres), 5 (porque termina en 0 ) ,6 ( porque 6x5 =30 ), 10 ( porque termina en 0 ) , 15 ( porque 2x15=30 )

Nosotros escribimos solo:

Divisores de 30 : 1,30,2,3,5,6,10,15,

Siguiente número: 44

Divisores de 44 : 1,44, 2, 4, 11, 22,…

Los comunes : el 1 y el 2, y el mayor el 2

Por tanto MCD ( 30,44 ) = 2

Veamos otra manera de calcular el mcm y el Mcd. Le llamamos método 2 y tiene que ver con la descomposición de factores primos

Vamos a calcular el mcm y el mcd de 60 y 150

Empezamos por 60

1. Trazamos una línea vertical y colocamos el número a descomponer en la parte superior izquierda.

2. Dividimos el número por el menor primo que sea posible, 2, 3, 5,... En este caso dividimos 60 por 2, y el resultado lo colocamos abajo del 60. veamos:

1. Ahora dividimos el segundo numero , es decir 30, también en el menor número posible, es decir 2. Y obtenemos como resultado el número 15, el cual escribimos abajo del 30.

1. Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1 con lo que la descomposición habrá terminado.

• Ahora tenemos que 60 es igual a la multiplicación de : 2x2x3x5 Y como sabemos algo de potencias podemos resumir: 2² x3 x5

• Tenemos que hacer lo mismo con el siguiente número 150

150 : 2 x 3 x 5²

• Ya estamos listos para calcular el mcm y el Mcd de estos dos números.

En el mcm elegimos los factores ( los números que en la potencia son la base ) comunes y no comunes con su mayor exponente

60: 2² x 3 x 5 150 : 2 x 3 x 5²

aquí tanto 60 como 150 tienen en común el 2, el 3 y el 5 , así que tenemos que elegir los que tienen mayor exponente :

2² x 3 x 5² : 300

el mcm ( 60,150) : 300

En el mcd elegimos los factores comunes con su menor exponente

2 x 3 x 5 :

por tanto el mcd ( 60,180) : 30

Recordar: en el mínimo elegimos todo y más alto ( comunes y no comunes al mayor exponente)

en el máximo elegimos lo menos y más bajo.( sólo los comunes en su menor exponente)

MÁXIMO COMÚN DIVISOR:

El Máximo Común Divisor es, como su nombre indica, el mayor de los divisores comunes de varios números. Para calcularlo, se descompone cada uno de ellos en factores primos. El M.C.D. es el resultado de multiplicar los factores que se repitan en todas las descomposiciones, afectados por el menor exponente.

En el caso de que no se repita ningún factor, el M.C.D. de esos números es 1, y se dice que los números son “primos entre sí”. Por ejemplo, el 18 y el 25 son primos entre sí.

Ejemplos:

Si queremos hallar el M.C.D. de 36, 60 y 72, descomponemos los tres en factores primos:

36 = 2²·3²

60 = 2²·3·5

72 = 2³·3²

Vemos que los únicos factores que se repiten en las tres descomposiciones son el 2 y el 3. Los cogemos con los menores exponentes al que están afectados, por lo que el M.C.D. será 2²·3 = 12.

M.C.D.(36, 60, 72) = 12

Para hallar el M.C.D. de 18 y 25:

18 = 2·3²

25 = 5²

No hay ningún factor repetido, luego:

M.C.D.(18, 25) = 1

Los números 18 y 25 son primos entre sí.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO:

El Mínimo Común Múltiplo es, así mismo, el menor de los múltiplos comunes a varios números. Para calcularlo, descomponemos los números en factores primos, y el M.C.M es el resultado de multiplicar los factores comunes y los no comunes, afectados por el mayor exponente.

Si los números son primos entre sí, el M.C.M. es el producto entre ellos.

Ejemplos:

El M.C.M de 36, 60 y 72, que ya tenemos descompuestos más arriba. Los factores que se repiten son el 2 y el 3, y los que no se repiten, el 5. Los cogemos con los mayores exponentes, es decir, 2³, 3² y 5. El M.C.M. es, por lo tanto:

M.C.M.(36, 60, 72) = 2³·3²·5 = 360

El M.C.M. de 18 y 25. Como no se repetía ningún factor, tenemos que cogerlos todos, afectados con el exponente que llevan, es decir, estamos cogiendo todos los factores, por lo que el M.C.M. es el producto de 18·25:

M.C.M.(18, 25) = 2·3²·5² = 450