RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN

La razón de dos cantidades o de dos números “a” y “b” es el cociente (resultado de la división) de estas cantidades.

Para comparar dos cantidades es necesario expresarlas en la misma unidad de medida.

La razón entre dos cantidades “a” y “b” la simbolizamos así.

a y leemos “a” es “b”

b

a: Se llama antecedente.

b: Se llama consecuente.

Ejemplo

El área de dos triángulos son 4 cm² y 8 cm² respectivamente. La razón de sus medidas es:

4 cm² = 1 Se lee: el área del primer triángulo es la mitad del segundo triángulo.

8 cm² 2

ESCALA

Es el cociente entre cada longitud del dibujo y la longitud real que representa.

Escala = Longitud del dibujo

Longitud real

Ejemplo

Un salón está representado en un plano a escala 1/ 100 por un rectángulo de 8,3 cm de largo con 4,2 cm de ancho. ¿Cuál es el largo y el ancho reales?

Recordemos que en las proporciones, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

El largo real es = 830 cm.

En la fiesta hay 27 hombres

Ejercicio

Hallar el valor de X en las siguientes proporciones:

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Dos magnitudes están directamente relacionadas, cuando al aumentar (o disminuir) una de ellas, la otra también aumenta (o disminuye).

Ejemplo

El siguiente cuadro ilustra el valor de los almuerzos del colegio.

Al analizar la tabla anterior, vemos que al multiplicar cualquier cantidad de la primera magnitud por un número, la cantidad correspondiente en la otra magnitud queda multiplicada por el mismo número. Si multiplicamos la primera cantidad del número de almuerzos, en nuestro ejemplo, el 1 lo multiplicamos por 2. Observemos que la cantidad relacionada en la segunda magnitud quedo también multiplicada por dos.

Si hallamos la razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud, digamos entre 10 y 2 almuerzos (10 / 2), y calculamos la razón entre las cantidades correspondientes en la segunda magnitud, en nuestro caso los precios: $ 2500 y $500 respectivamente ($2500 / $500). Vemos que ambas razones son iguales y que su valor es 5.

Las magnitudes directamente proporcionales se cumplen las siguientes condiciones.

1. Las magnitudes están directamente relacionadas, es decir, al aumentar la una, la otra también aumenta.

2. El cociente (resultado de la división) entre los valores que se corresponden, son siempre el mismo (constante).

La propiedad fundamental de las magnitudes directamente proporcionales dice: si dos magnitudes son directamente proporcionales, La razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud es igual a la razón de las cantidades correspondientes en la segundad magnitud.

Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

La regla de tres simple directa es un método para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes directamente proporcionales. Se conoce una pareja de cantidades correspondientes y una cantidad más de una magnitud y se pide hallar su correspondiente.

Ejemplo

Un automóvil recorre 400 Km en 5 horas. ¿Cuántos Km recorrerá en 30 horas?

Si analizamos las magnitudes, vemos que estas son directamente proporcionales, pues al aumentar la una, la otra también aumenta. Por lo tanto las razones entre estas magnitudes son iguales, y aplicando la propiedad fundamental, conoceremos el número de Kilómetros recorridos en las 30 horas.

Razonamiento

No. De horas No. De Km

Ejercicios

1. Las ruedas delanteras de un coche dan 2100 vueltas para recorrer 3 Km. ¿Cuántas vueltas darán para recorrer 7 km?

2. Un depósito de 50 m³ lo llena un grifo en dos días. ¿Cuánto tardará el mismo grifo en llenar otro depósito de 280 m³?

3. Si con $ 230 se compran 23m de tela. ¿Cuántos metros de la misma tela se compran con $ 1000?

4. Si para embaldosar una superficie de 128 m² se necesitaron 1230 baldosas, ¿Cuántas baldosas se necesitarán para embaldosar una superficie de 3450 m²?

5. Se supone que para fabricar 350 kg de jabón, se necesitan 250 Kg de grasa. ¿ Cuántos Kg de grasa se necesitarán para fabricar 830 Kg de jabón de la misma clase?

6. Un automóvil consumió 4 galones de gasolina en 50 Km . ¿Cuántos galones consumirá el mismo automóvil en 3240 Km?

7. Una empresa de transporte cobró $ 240 por 680 Kg. ¿Cuánto cobrará por transportar 5460 Kg al mismo destino?

8. Un telar teje 346 m. de tela en 38 horas. ¿ Cuántas horas demorará en tejer 250 m.?

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando al aumentar una de ellas la otra disminuye y al contrario.

En las magnitudes inversamente proporcionales se cumplen las siguientes condiciones.

Están inversamente relacionadas.

El producto de sus valores correspondientes es siempre el mismo. (Constante)

El siguiente cuadro ilustra el número de días que invertirán unos obreros en realizar una obra.

Al analizar la tabla anterior, vemos que al multiplicar cualquier cantidad de la primera magnitud por un número, la segunda cantidad correspondiente en la otra magnitud queda dividida por el mismo número. Si multiplicamos la primera cantidad del número de días en nuestro ejemplo, el 1 lo multiplicamos por 2. Observemos que la cantidad relacionada en la segunda magnitud quedo dividida por dos.

Si hallamos la razón de dos cantidades cualesquiera de la primera magnitud, digamos entre 10 y 2 trabajadores (10 / 2), y caculamos la razón invertida entre los cantidades correspondientes en la segunda magnitud, en nuestro caso el número de días: 60 y 12 respectivamente ( 60 / 12 ). Vemos que ambas razones son iguales y que su valor es 5.

las magnitudes inversamente proporcionales se cumplen las siguientes condiciones.

1. Las magnitudes están inversamente relacionadas, es decir, al aumentar la una, la otra disminuye.

2. El producto (resultado de la multiplicación) entre los valores que se corresponden, son siempre el mismo (Constante).

La propiedad fundamental de las magnitudes inversamente proporcionales dice: si dos magnitudes son inversamente proporcionales, La razón de dos cantidades cualesquiera de la primera es igual a la razón invertida de sus cantidades correspondientes.

Sean A y B dos magnitudes directamente proporcionales

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

PROPIEDAD No. 1

En una proporción el producto de sus medios es igual al producto de los extremos.

Simbólicamente.

Veamos un ejemplo

PROPIEDAD No. 2

En toda proporción, puede verificarse, que la razón entre la suma o resta de los antecedentes y la suma o resta de los consecuentes, es igual a cualquiera de las razones dadas.

Simbólicamente.

Veamos dos ejemplos

PROPIEDAD No. 3

En toda proporción, la suma o la resta del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o resta del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.

Simbólicamente

Veamos un ejemplo

PROPIEDAD No. 4

En toda proporción, la suma o la resta del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o resta del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente.

Simbólicamente

Veamos un ejemplo.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Los problemas de regla de tres simple inversa son aquellos en los que intervienen dos magnitudes inversamente proporcionales; se conoce una pareja de cantidades correspondientes y una cantidad de una magnitud; se pide hallar la correspondiente. Se resuelven aplicando la propiedad fundamental de las magnitudes inversamente proporcionales.

Ejemplo

Seis obreros realizan una obra en 10 días. ¿Cuánto tiempo invertirán 15 obreros en hacer el mismo trabajo?

Planteamiento

No. De obreros No. De días

10 6

15 X

Aplicando la propiedad fundamental.

Ejercicios

1. Dos ruedas dentadas están engranadas; la primera tiene 12 dientes y la segunda 28. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda cuando la primera ha dado 80 vueltas?

2. La velocidad de un automóvil es de 70 km/h y demora 5 horas en recorrer un trayecto. ¿Cuántas horas demorará en recorrer el mismo trayecto otro automóvil cuya velocidad es de 80 km/h?

3. Un grifo cuya sección es de 3 cm² llena un tanque en 18 horas. ¿Cuántas horas invertirá en llenar el mismo tanque otro grifo cuya sección es de 5 cm²?

4. Si 25 telares tejen una cantidad de tela en 60 horas. ¿Cuántas horas invertirán 42 telares iguales en tejer la misma cantidad de tela?

MAGNITUD PROPORCIONAL A VARIAS

Se dice que la magnitud A es proporcional a las magnitudes B; C; y D, cuando comparando A con B, suponiendo C y D constantes, y luego A con C, Suponiendo B y D constantes, y finalmente, A con D, suponiendo B y C constantes, la magnitud de A resulta proporcional, directamente o inversamente, con B, C y D.

PROPIEDADAD FUNDAMENTAL

Si una magnitud A es proporcional a otras, B; C y D, la razón de dos cantidades cualesquiera de A es igual al producto de las razones correspondientes en B, en C y en D, escritas directas o invertidas según la magnitud correspondiente sea directamente proporcional o inversamente proporcional con A.

Supongamos que la magnitud A es directamente proporcional con las magnitudes B y D e inversa con la magnitud C. Aplicando la propiedad fundamental tenemos.

REGLA DE TRES COMPUESTA

Un problema de tres compuesta es aquel en el que intervienen varias magnitudes proporcionales, de las cuales se conocen valores correspondientes, Excepto de una que sólo se conoce un valor; el problema consiste en encontrar el otro valor que da una pareja correspondiente con las conocidas.

Para resolver estos problemas se compara la magnitud de la incógnita con cada una de las magnitudes dadas (suponiendo las demás constantes). Se pone un signo más encima de las que resulten directas y un signo menos encima de las que resulten inversas. Después se aplica la propiedad fundamental de la proporcionalidad compuesta a la razón que contiene la incógnita y se despeja ésta.

Ejemplo

Si 30 telares iguales tejen 5000 metros de tela en 20 días, ¿Cuántos telares serán necesarios para producir 7000 metros en 14 días?,

+ -

Planteamiento. Telares Metros Días

30 5000 20

X 7000 14

Ejercicios

1. En una residencia de estudiantes viven 30 y gastan $ 12000 en 25 días . ¿ Cuánto se gastarán 42 estudiantes, viviendo en idénticas condiciones, en 34 días?.

2. Un fogón de petróleo consume 3 galones en 5 días estando funcionando 4 horas diarias. ¿Para cuántos días tendrá con 8 galones si cada día funciona 9 horas?.

3. Se emplearon 30 hombres durante 10 días en hacer 400 metros de una obra. ¿Cuánto harán 25 hombres trabajando 25 días?.

4. En 20 días, 20 obreros hacen los 2/5 de una obra. En ese instante 5 de ellos se enferman. ¿Cuántos días necesitarán los demás para hacer el resto?.

5. 16 trabajadores de las Empresas Públicas deben hacer un hueco en 10 jornadas de 6 horas de trabajo. Al cabo de 3 días, 2 trabajadores se retiran. ¿Cuántas jornadas de 8

horas necesitarán los demás para terminar el hueco?