NUMEROS ENTEROS

Contador

NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros está conformado por los enteros negativos, el cero, y los enteros positivos.

El conjunto de los números se representa con la letra Z. Por lo tanto:

Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los números negativos se utilizan:

Para indicar deudas.
Profundidades bajo el nivel del mar
Para indicar temperaturas bajo cero.
En matemáticas para indicar desplazamientos hacia la izquierda o hacia debajo de un punto referencial.

VALOR ABSOLUTO

La distancia de cero a un número se llama valor absoluto.

El valor absoluto de un número diferente de cero es el mismo número entero pero sin signo.

Para representar esas distancias se acostumbra colocar el número entre dos líneas verticales así:

‌Representa la distancia desde cero hasta -5

‌+5la distancia desde cero hasta +5

Además como ambas representaciones significan la distancia 5 , se obtiene la siguiente igualdad.

‌= ‌+5‌= 5

Se lee: valor absoluto de –5 es igual al calor absoluto de +5 es igual a 5.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE LOS NUMEROS ENTEROS

Representamos los números enteros sobre una recta, en la cual marcamos un punto de origen y le asignamos el 0.

A continuación los puntos ubicados a la derecha del origen les asignamos los números +1, +2, +3 , . . .

A los puntos que quedan a la izquierda del origen les asignamos los números -1, -2, -3, . . .

^{Veamos dos ejemplos}

^{1) Representemos los números -8, -6, -1, 2 y 5, en una misma recta.}

^{) Representemos los números -70, -35, -5, 58 y 89, en una misma recta.}

-100-400= -500

Ahora sumemos los resultados parciales.

-500+600=100

TALLER DE OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

GRADO SEPTIMO

JESUS ANTONIO OCAMPO

1) (+2) + (–3) + (+3) + (–5) + (–2) = –5

2) (–2)+(–7)+(+3)+(–4)+(–11)= –21

3) (–7) – (– 4) +(–5) + (–10) + (– 2) – (–13) = –7

4) (+8)–(–4)–(+4)–(+10)–(–5)–(–8) = 11

5) –2 + 8 –8 + 10 –20 + 5 – 7 = –14

6) 9–7+11–20+12–23+5–5–12 = –30

7) 3– { 4 – 7 – [–5–7 + (6 – 7+ 5 ) ] } +8 = 6

8) 5+[–5+10–{2–9+(–8+2)}] – 6 +7 =24

9) – [ –{ – (–6+5 – 10+3 –15 ) }] = 23

10) – { – [ – ( –20 +15 –7) – 8]– 6 }+7–(–3) = 20

11) (+12) x (–15) = –180

12) (–80) x (–3) = –240

13) (– 5)x(+8)x(–7)x(–2)= –560

14) (– 216) x (+32) = –6.912

15) (–98.745) x(–756) = 74.651.220

16) (–450) ¸ (–9) = 50

17) (+68.745) ¸ (–5) = 13.749

18) (–6.913.536) ¸ (–56) = 123.456

19) (+1.584.312) ¸ (+789) = 2.008

20) (92.643.240) ¸ (–908) = 102.030

Sumemos los números negativos.

10+30+500=600

Sumemos los números positvos.

-20-70=-90

Ahora sumemos los resultados parciales.

25-90=-65

2) (-100)+(+70)+(-400)+(30)+(+500)=

Lo escribiremos así:

-100+70-400+30+500=

Sumemos los números negativos.

10+15=25

Sumemos los números positvos.

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NUMEROS ENTEROS

PROPIEDAD CLAUSURATIVA

La suma de dos números enteros es otro número entero, es decir:

Si a, b Є Z entonces a + b Є Z

Veamos dos ejemplos

1) (+20) + (-30) = -10

2) (-10) + (-70) = -140

PROPIEDAD CONMUTIVA

La suma de dos o más números enteros no depende del orden de los términos; es decir:

Si a, b Є Z entonces a + b = b +a

Veamos dos ejemplos

1) (-80) + (+25) = (+25) + (-80)

-55 = -55

2) (-200) + (+50) + (-30) = (-30) + (-200) + (+50)

-180 = -180

PROPIEDAD ASOCIATIVA

La suma de tres p más números enteros no depende de la forma en que se asocien sus términos; es decir:

Si a, b, c Є Z entonces a +( b + c ) = ( a + b ) + c

1) [ (-8) + (+10)] + (-20) = (-8) + [ (+10) + (-20) ]

[+2] + (-20) = (-8) + [-10]

-18 = -18

1) [ (+100) + (+30)] + (-200) = (+100) + [ (+30) + (-200) ]

[+130] + (-200) = (+100) + [-170]

-70 = -70

PROPIEDAD MODULATIVA (ELEMENTO NEUTRO)

La suma de cualquier número entero con el 0 es el mismo número entero; es decir:

Si a, b Є Z entonces a + 0 = 0 + a = a

1) (-10) + 0 + 0 + 0 + 0 = -10

2) (+100) + (-500) + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 =-400

INVERSO ADITIVO

Para todo número entero “a” existe un número entero “-a” llamado inverso aditivo.

La suma de un número entero y su inverso aditivo es el número entero cero, es decir:

a + (-a) = (-a) + a = 0

1) (+3) + (-3) = 0

2) (-500) + (+500) = 0

PROPIEDAD UNIFORME

Sumando miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad

Si a =b

c = d

a +c = b +d

1) (+10) + (-15) = -5

-20= (-30) + (+10)

(+10) + (-15)+(-20) = (-5) + (-30) + (+10)

-25 = -25

2) -50= (-15) + (-35)

(+100) + (-30) = 70

(-50) + (+100) +(-30) = (-15) + (-35) + (+70)

PROPIEDAD DE LA MONOTONIA

Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un mismo numero se obtiene una desigualdad del mismo sentido

Si a <b

c = d

a +c < b +d

1) -7 < 5

(-10) + (+8) = -2

(-7)+(-10) + (+8) < (+5) + (-2)

2) 8>-10

(+4) +(-6)= -2

(+8) + (+4)+(-6)> (-10)+(-2)

6>-12

Con el propósito de facilitar la suma de números enteros, convendremos en omitir el signo + que indica la operación suma. Además cuando el primer número sea positivo también omitiremos el signo más.

Veamos dos ejemplos

1) (+10)+(-20) + (-50) +(+15)=

Lo escribiremos así:

10-20-50+15=

2) (+15) + (-35) + (-65) + (+35) + (-10) + (+200) =

Sumemos los números positvos.

(+15) + (+35) + (+200) = 250

Sumemos los números negativos.

(-35) +(-65) + (-10) = -110

Ahora sumemos los resultados parciales.

(-110) + (+250) = 140

IGUALDAD Y DESUGUADAD DE NUMEROS ENTEROS

Cuando comparamos dos números enteros a y b , sólo pueden darse estas tres posibilidades:

Que los dos números sean iguales. Simbólicamente a = b.
Que el primero sea mayor que el segundo. Simbólicamente a > b
Que el primero sea menor que el primero. Simbólicamente. a < b.

· Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

· Dados dos números de distinto signo, es mayor el positivo.

· Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.

· El cero es menor que cualquier entero positivo y mayor que cualquier entero negativo.

· Un número es menor que otro, si al ubicarlo en la recta numérica queda a su izquierda.

PROPIEDADES DE LA IGUALDAD

REFLEXIVA Todo número es igual a sí mismo. Simbólicamente a = a.

SIMÉTRICA Si un número “a” es igual a otro número “b”, entonces “a” es igual a “b”.

Simbólicamente: Si a = b , entonces b = a.

TRANSITIVA Si un número “a” es igual a otro “b” y “b” es igual a “c”, entonces “a” es

igual a “c”. Simbólicamente Si a = b y b = c, entonces a = c.

EJERCICIOS

Escribe V o F según la afirmación sea verdadera o falsa.

1) -5 < -10 ___

2) 5 > 7 ___

SUMA DE NUMEROS ENTEROS

Al sumar números enteros se pueden considerar cuatro casos

1. Los dos números sean positivos.

2. Un número es positivo y el otro negativo.

3. Los dos números sean negativos.

4. Suma de varios números enteros.

LOS DOS NÚMEROS SEAN POSITIVOS.

Para sumar dos números enteros positivos se suman sus valores absolutos y les colocamos el signo ( + ).

NOTA : Por acuerdo en matemáticas cuan el primer termino de una suma de números enteros es positivo no es necesario colocarle el signo ( + ).

Veamos dos ejemplos.

1) (+3) + (+5) = 10

2) (+20) + (30) = 50

UN NÚMERO ES POSITIVO Y EL OTRO NEGATIVO

Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y a la diferencia se coloca el signo que tenga mayor valor absoluto.

Veamos dos ejemplos.

1) (-50) + (+30) = -20

2) (+70) + (-15) = 55

LOS DOS NÚMEROS SEAN NEGATIVOS.

Para sumar dos números enteros negativos se suman sus valores absolutos y al resultado le colocamos el signo ( - ).

Veamos dos ejemplos.

1) (-60) + (-40) = -100

2) (-800) + (-200) = -1000

SUMA DE VARIOS NÚMEROS ENTEROS.

Para sumar varios números enteros, tanto positivos como negativos, hacemos lo siguiente:

1. Sumamos aparte los enteros negativos.

2. Sumamos aparte los enteros negativos.

3. Sumamos los dos resultados obtenidos: con el signo que tenga mayor valor absoluto.

Veamos dos ejemplos

1) (+10) + (-30) + (-80) + (+40) + (-100) =

Sumemos los números positvos.

(+10) + (+40) = 50

Sumemos los números negativos.

(-30) +(-80) + (-100) = -210

Ahora sumemos los resultados parciales.

(-210) + (+50) = -160

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