『測度・確率・ルベーグ積分 応用への最短コース』の情報
『測度・確率・ルベーグ積分 応用への最短コース』(原啓介著/講談社)に関する情報です。
単行本（ソフトカバー）160ページ; 本体 2,800 円＋税
ISBN-10: 4061565710; ISBN-13: 978-4061565715
本ページ下部に「目次」と「まえがき」の pdf がありますのでご購入検討の参考にして下さい
2017 年 9 月 20 日初版一刷 2018 年 2 月 16 日; 第 2 刷発行 2018 年 9 月 4 日; 第 3 刷発行 2020 年 2 月 10 日; 第 4 刷発行 2020 年 10 月 23 日, kindle 版等発行; 第 5 刷発行 2021 年 3 月; 第 6 刷発行 2022 年 5 月; 第 7 刷発行 2023 年 5 月
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講談社サイエンティフィク社の本書ページ (こちらでも「目次」「まえがき」が読めます)
「目次」と「まえがき」pdf
測度目次.pdf測度まえがき.pdf正誤/訂正追加/コメントの一覧(初版、第 5, 6, 7刷)
p.16 ↑4L, 2L : 「↑4L の B_1, B_2, ... \in M と↑2L のB_n \in M は重複ではないか?」
確かに論理的には無駄ですが、「B_1, B_2, .. \in M を以下のように順に定義すると、実際確かに B_n \in M (かつあれこれ)であって……」と確認と整理の気持ちです。訂正するなら、↑4L の「\in M」をトルか「\subset S」とするか、あるいは後の B_n \in M を削除するかだと思いますが、悩ましいところ。
p.30: 外測度を用いる別のルベーグ測度の構成方法について。「本書の方法でホップの拡張定理を使うが、ホップの定理の証明自体、外測度を通じて行うのが普通なので、本質的に同じなのではないか？」
これは深い指摘。外測度とカラテオドリ条件を用いる議論の部分を、どう「パッケージ」するか、という問題か。
p.43: 「単関数の積分の定義 2.8 では、無限大の値もとりうることを強調すべきでは。それによって 、まず非負の場合にだけ積分を定義するのはなぜか、ストーリーが明確になりそう?」
ごもっともです。この定義はともかく、なぜ非負の仮定から始めるかはどこかで説明しておいた方が良かったと思います。
p.133, ↑13L (演習問題1.2 の略解 3 行目): ×「\omega_0 \neq \omega_1」 → ○ 「\omega_1 \neq \omega_2」 ; (ωの添え字が各 0 と 1 ではなくて、1 と 2)
正誤/訂正追加/コメントの一覧(初版、第 4 刷)
p.16 ↑4L, 2L : 「↑4L の B_1, B_2, ... \in M と↑2L のB_n \in M は重複ではないか?」
確かに論理的には無駄ですが、「B_1, B_2, ... \in M を以下のように順に定義すると、実際確かに B_n \in M (かつあれこれ)であって……」と確認と整理の気持ちです。訂正するなら、↑4L の「\in M」をトルか「\subset S」とするか、あるいは後の B_n \in M を削除するかだと思いますが、悩ましいところ。
p.30: 外測度を用いる別のルベーグ測度の構成方法について。「本書の方法でホップの拡張定理を使うが、ホップの定理の証明自体、外測度を通じて行うのが普通なので、本質的に同じなのではないか？」
これは深い指摘。外測度とカラテオドリ条件を用いる議論の部分を、どう「パッケージ」するか、という問題か。
p.43: 「単関数の積分の定義 2.8 では、無限大の値もとりうることを強調すべきでは。それによって 、まず非負の場合にだけ積分を定義するのはなぜか、ストーリーが明確になりそう?」
ごもっともです。この定義はともかく、なぜ非負の仮定から始めるかはどこかで説明しておいた方が良かったと思います。
p. 116 ↓13L: ×「1_{X^{-1}(B)} (X (\omega) )」 → ○「1_B (X (\omega) )」
p.133, ↑13L (演習問題1.2 の略解 3 行目): ×「\omega_0 \neq \omega_1」 → ○ 「\omega_1 \neq \omega_2」 ; (ωの添え字が各 0 と 1 ではなくて、1 と 2)
正誤/訂正追加/コメントの一覧(初版、第 3 刷)
p.15, ↑9L: 文末に以下を追加。「また、M がσ-加法族でなくても、\bigsqcup A_n \in M のとき (1.1) が成り立つならば、やはりσ-加法性と言う。」; (以下の p.26 へのコメントを参照)
p.16 ↑4L, 2L : 「↑4L の B_1, B_2, ... \in M と↑2L のB_n \in M は重複ではないか?」
確かに論理的には無駄ですが、「B_1, B_2, ... \in M を以下のように順に定義すると、実際確かに B_n \in M (かつあれこれ)であって……」と確認と整理の気持ちです。訂正するなら、↑4L の「\in M」をトルか「\subset S」とするか、あるいは後の B_n \in M を削除するかだと思いますが、悩ましいところ。
p.26, ↑6L: 「σ-加法性は p.15 の定義 1.9 の (1.1) 式で定義されているが、これはあくまでσ-加法族上のσ-加法性であるから、有限加法族上のσ-加法性は未定義なのではないか? その定義は、有限加法族の非交差的な A_i と有限加法的測度νについて、\bigcup A_i \in A のときに (1.1) が成立するという解釈で正しいか?」
おっしゃる通りです。単に (1.1) 式のことをσ-加法性という、というつもりだったのですが、有限加法族のときは \bigcup A_i が A の元とは限らないので、やや無理気味でした。
p.29, 定理 1.6 (測度空間の完備化)の記述が正確でない; (とりあえず ↑5L で、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」の箇所だけ直せば嘘ではない記述だが……)
↑7-6L: ×「(最小の)σ加法族 \bar{M}」 → ○「集合族 \bar{M}」
↑5L: 数式の σ[…] の記号をトル
↑4L: 文頭に「すると、\bar{M} はσ-加法族であり、」を挿入。さらに、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」
p.30: 外測度を用いる別のルベーグ測度の構成方法について。「本書の方法でホップの拡張定理を使うが、ホップの定理の証明自体、外測度を通じて行うのが普通なので、本質的に同じなのではないか？」
これは深い指摘。外測度とカラテオドリ条件を用いる議論の部分を、どう「パッケージ」するか、という問題か。
p.43: 「単関数の積分の定義 2.8 では、無限大の値もとりうることを強調すべきでは。それによって 、まず非負の場合にだけ積分を定義するのはなぜか、ストーリーが明確になりそう?」
ごもっともです。この定義はともかく、なぜ非負の仮定から始めるかはどこかで説明しておいた方が良かったと思います。
p.45, ↓1L: 文末に「(f の可測性より以下の f_n は確かに単関数)」を挿入。; (定理の証明でどこに f の可測性が使われているのかわかりにくい)
p.60, ↓3L-4L: ×「単関数の単調増加列」 → ○ 「非負の単関数の単調増加列」, 次行の数式の前に $0 \leq$ を挿入; (非負性がない場合に証明が成立しない例をご報告いただきました．多謝)
p.60, ↓8L: ×「しかも m \to \infty のとき、… に収束する」 → ○「ゆえに、(発散の場合もこめて) \lim_{m\to\infty} \sigma_m(x) = \lim_{m\to\infty} \s_m(x) = s(x).」 ; (発散する場合も含めて考えているので、「に収束する」はおかしい)
p.76, ↓6L: ×「A_1, \ldots, A_n」 → ○「A_1, \ldots, A_6」
p. 116 ↓13L: ×「1_{X^{-1}(B)} (X (\omega) )」 → ○「1_B (X (\omega) )」
p.133, ↑13L (演習問題1.2 の略解 3 行目): ×「\omega_0 \neq \omega_1」 → ○ 「\omega_1 \neq \omega_2」 ; (ωの添え字が各 0 と 1 ではなくて、1 と 2)
正誤/訂正追加/コメントの一覧(初版、第 2 刷)
p.15, ↑9L: 文末に以下を追加。「また、M がσ-加法族でなくても、\bigsqcup A_n \in M のとき (1.1) が成り立つならば、やはりσ-加法性と言う。」; (以下の p.26 へのコメントを参照)
p.16 ↑4L, 2L : 「↑4L の B_1, B_2, ... \in M と↑2L のB_n \in M は重複ではないか?」
確かに論理的には無駄ですが、「B_1, B_2, ... \in M を以下のように順に定義すると、実際確かに B_n \in M (かつあれこれ)であって……」と確認と整理の気持ちです。訂正するなら、↑4L の「\in M」をトルか「\subset S」とするか、あるいは後の B_n \in M を削除するかだと思いますが、悩ましいところ
p.26, ↑6L: 「σ-加法性は p.15 の定義 1.9 の (1.1) 式で定義されているが、これはあくまでσ-加法族上のσ-加法性であるから、有限加法族上のσ-加法性は未定義なのではないか? その定義は、有限加法族の非交差的な A_i と有限加法的測度νについて、\bigcup A_i \in A のときに (1.1) が成立するという解釈で正しいか?」
おっしゃる通りです。単に (1.1) 式のことをσ-加法性という、というつもりだったのですが、有限加法族のときは \bigcup A_i が A の元とは限らないので、やや無理気味でした。
p.29, 定理 1.6 (測度空間の完備化)の記述が正確でない; (とりあえず ↑5L で、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」の箇所だけ直せば嘘ではない記述だが……)
↑7L: ×「(最小の)σ加法族 \bar{M}」 → ○「集合族 \bar{M}」
↑6L: 数式の σ[…] の記号をトル
↑5L: 文頭に「すると、\bar{M} はσ-加法族であり、」を挿入。さらに、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」
p.30: 外測度を用いる別のルベーグ測度の構成方法について。「本書の方法でホップの拡張定理を使うが、ホップの定理の証明自体、外測度を通じて行うのが普通なので、本質的に同じなのではないか？」
これは深い指摘。外測度とカラテオドリ条件を用いる議論の部分を、どう「パッケージ」するか、という問題か。
p.35, ↑2L: ×「定理1.5, 定義 1.18」 → ○「定義1.18」
p.43: 「単関数の積分の定義 2.8 では、無限大の値もとりうることを強調すべきでは。それによって 、まず非負の場合にだけ積分を定義するのはなぜか、ストーリーが明確になりそう?」
ごもっともです。この定義はともかく、なぜ非負の仮定から始めるかはどこかで説明しておいた方が良かったと思います。
p.45, ↓1L: 文末に「(f の可測性より以下の f_n は確かに単関数)」を挿入。; (定理の証明でどこに f の可測性が使われているのかわかりにくい)
p.50, ↓3L: ×「定義2.2」 → ○「定義2.2, 定義 2.3」
p.60, ↓3L-4L: ×「単関数の単調増加列」 → ○ 「非負の単関数の単調増加列」, 次行の数式の前に $0 \leq$ を挿入; (非負性がない場合に証明が成立しない例をご報告いただきました．多謝)
p.60, ↓8L: ×「しかも m \to \infty のとき、… に収束する」 → ○「ゆえに、(発散の場合もこめて) \lim_{m\to\infty} \sigma_m(x) = \lim_{m\to\infty} \s_m(x) = s(x).」 ; (発散する場合も含めて考えているので、「に収束する」はおかしい)
p.76, ↓6L: ×「A_1, \ldots, A_n」 → ○「A_1, \ldots, A_6」
p.86, ↑6-5L: ×「その任意」 → ○「任意の」
p.102, ↓7L: ×「定義 6.2」 → ○「定義 6.5」
p.111, ↓5L & ↑1L: 数式左辺の変数(つまり右辺の積分範囲の上限)と、右辺で被積分関数を積分する変数に同じ文字 "x" を用いている。慣例として許される記法だが、第 3 刷で文字 "y" に訂正。
p. 116 ↓13L: ×「1_{X^{-1}(B)} (X (\omega) )」 → ○「1_B (X (\omega) )」
p.127, ↓2L: 左辺の集合の中の不等号「＞」を「≧」に (そのままでも正しいが，後者の方が適切)
p.133, ↑13L (演習問題1.2 の略解 3 行目): ×「\omega_0 \neq \omega_1」 → ○ 「\omega_1 \neq \omega_2」 ; (ωの添え字が各 0 と 1 ではなくて、1 と 2)
正誤/訂正追加/コメントの一覧(初版、第 1 刷)
p.8, 最下段落: 実数が非可算であることの証明について。「この論法では「対角線」から定めた新しい実数がたまたま 1 が無限に続く数になった場合に矛盾が生じないのでは？」
二進法表記が一つの数に対し複数の書き方があることから生じる面倒な処理の説明を著者がサボったため(本書 p.23 の脚注 9 も参照)。これを回避する簡単な方法としては、10進法を用いて新しい実数は 1 から 8 までの数字だけで作ればよい(例えば本書参考文献にある小平「解析入門」参照)。
p.15, ↑9L: 文末に以下を追加。「また、M がσ-加法族でなくても、\bigsqcup A_n \in M のとき (1.1) が成り立つならば、やはりσ-加法性と言う。」; (以下の p.26 へのコメントを参照)
p.16 ↑4L, 2L : 「↑4L の B_1, B_2, ... \in M と↑2L のB_n \in M は重複ではないか?」
確かに論理的には無駄ですが、「B_1, B_2, ... \in M を以下のように順に定義すると、実際確かに B_n \in M (かつあれこれ)であって……」と確認と整理の気持ちです。訂正するなら、↑4L の「\in M」をトルか「\subset S」とするか、あるいは後の B_n \in M を削除するかだと思いますが、悩ましいところ。
p.26, ↑6L: 「σ-加法性は p.15 の定義 1.9 の (1.1) 式で定義されているが、これはあくまでσ-加法族上のσ-加法性であるから、有限加法族上のσ-加法性は未定義なのではないか? その定義は、有限加法族の非交差的な A_i と有限加法的測度νについて、\bigcup A_i \in A のときに (1.1) が成立するという解釈で正しいか?」
おっしゃる通りです。単に (1.1) 式のことをσ-加法性という、というつもりだったのですが、有限加法族のときは \bigcup A_i が A の元とは限らないので、やや無理気味でした。
p.29, 定理 1.6 (測度空間の完備化)の記述が正確でない; (とりあえず ↑5L で、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」の箇所だけ直せば嘘ではない記述だが……)
↑7L: ×「(最小の)σ加法族 \bar{M}」 → ○「集合族 \bar{M}」
↑6L: 数式のσ[…] の記号をトル
↑5L: 文頭に「すると、\bar{M} はσ-加法族であり、」を挿入。さらに、×「その要素 B \in …」 → ○「その要素 B ∪ Z \in …」
p.30: 外測度を用いる別のルベーグ測度の構成方法について。「本書の方法でホップの拡張定理を使うが、ホップの定理の証明自体、外測度を通じて行うのが普通なので、本質的に同じなのではないか？」
これは深い指摘。外測度とカラテオドリ条件を用いる議論の部分を、どう「パッケージ」するか、という問題か。
p.35, ↑2L: ×「定理1.5, 定義 1.18」 → ○「定義1.18」
p.38, ↑10L, 式 (2.2): ×「f(ω) ≦ λ」 → ○「X(ω) ≦ λ」
p.39, 定義2.5: 確率変数から生成されたσ-加法族について。「A_X が既にσ-加法族なので、さらに A_X から生成されるσ-加法族を考える必要はないのでは？ 確率変数 X が複数あるときにはそのままではσ-加法族ではないので、生成が必要ですが」
その通りです。うっかりしました。とは言え、A_X が既にσ-加法族であることは自明でないですし、さらに生成しても問題はないですね。
p.43: 「単関数の積分の定義 2.8 では、無限大の値もとりうることを強調すべきでは。それによって 、まず非負の場合にだけ積分を定義するのはなぜか、ストーリーが明確になりそう?」
ごもっともです。この定義はともかく、なぜ非負の仮定から始めるかはどこかで説明しておいた方が良かったと思います。
p.45, ↓1L: 文末に「(f の可測性より以下の f_n は確かに単関数)」を挿入。; (定理の証明でどこに f の可測性が使われているのかわかりにくい)
p.48, ↓6L: 1 つめと 3 つめの「≧」は「=」の方が適切
p.48, ↓8L: 等式右辺、集合の測度ではなく単に集合。 ×「= ∪ μ(An)」 → ○「= ∪ An」
p.49, ↓4L & ↓5L: ×「加算無限個」 → ○「可算無限個」
p.49, ↓10L: ×「X^{-1} ( i ) 」 → ○「X^{-1} ( \{ i \} )」
前者のままでも数学的には正しいが、確率変数 X による集合の引き戻しと考える方が適切。他の同様の箇所でも後者のように書いているので整合をとる。
p.50, ↓3L: ×「定義2.2」 → ○「定義2.2, 定義 2.3」
p.52, ↓8L: ×「部分集合 X」 → ○「空でない部分集合 X」
p.54-55, 58: 定理 3.2, 定義 3.5, 定義 4.2 の中の数列の sup, inf の添字の記法が事前の p.52 の記法と異なる(添字の範囲を数列の {} に添えるか、sup, inf の下に書いて {} を省略するかのどちらか)
p.55, ↓2L: ×「とは以下で定義される実数である」 → ○「を以下で定義する」
∞, -∞ も値に含めたいので(以下の、同 p.55, ↓5, 6L の訂正も参照のこと)。
p.55, ↓5, 6L: ×「単調減少であり、かつ下に有界である」 → ○「単調減少である」; ×「必ず極限値を持つ．ゆえに」 → ○「∞, -∞を値として許せば必ず極限値を持つ．ゆえにこの意味で」
p.57, ↑9L & p.58, ↓11L: ×「実数値可測関数」 → ○「実数値関数」
間違いではないが、各点収束、上(下)極限は(可測に限らず)任意の関数列に対し定義される概念
p.57, ↑5L: ×「可測空間」 → ○「測度空間」
p.57, ↑4L: ×「関数 f に」 → ○「可測関数 f に」
↑1L で μ 内の集合の可測性が保証されないため。もしくは ↑1L を「ある零集合の補集合上で {f_n} が f に各点収束」と訂正する方がおそらく適切か(この場合、f_n, f の可測性は不用)。
p.60, ↓3L-4L: ×「単関数の単調増加列」 → ○ 「非負の単関数の単調増加列」, 次行の数式の前に $0 \leq$ を挿入; (非負性がない場合に証明が成立しない例をご報告いただきました．多謝)
p.60, ↓8L: ×「しかも m \to \infty のとき、… に収束する」 → ○「ゆえに、(発散の場合もこめて) \lim_{m\to\infty} \sigma_m(x) = \lim_{m\to\infty} \s_m(x) = s(x).」 ; (発散する場合も含めて考えているので、「に収束する」はおかしい)
p.64, 定理 4.7 の証明: 「この証明では f(t, x) の x の積分が t で微分可能であることが示せていない。0に収束する任意の数列 {h_n}をとって同様に議論する必要があるのでは？」
その通りです。意図して省略しましたが、何かコメントすべきでした。
p.71, ↓13L: 「「\mu([0, 1]) = 1 のまま」の \mu ([0, 1]) の意味が分かりません」
リーマン積分の近似式 (4.3) の右辺の方はルベーグ積分に等しく 1 になるのですが、というつもりで書きましたが、確かにちょっと唐突だったかも知れませんね。
p.72, ↑6L: ×「everwhere」 → ○「everywhere」
p.76, ↓6L: ×「A_1, \ldots, A_n」 → ○「A_1, \ldots, A_6」
p.83: 「第 6 章「いろいろな不等式」での各不等式には等号成立条件が書かれていませんが?」
応用を意識している以上、等号成立条件も書いた方が良かったかもしれません。ページ数の関係もあるので、改版のチャンスがあったとしても書くかどうか微妙ですが……
p.83, ↑9L: ×「f^p, g^q が」 → ○「|f|^p, |g|^q が」
負の数の非整数羃を避けるため
p.84, ↑8L: ×「f の p 乗が」 → ○「|f| の p 乗が」
上の (p.83, ↑9L) と同じ理由; p.87 定義 6.4 でも同様
p.86, ↓11L: 左辺の二つの |f + g| の L_p ノルムのべき乗が各々 q 乗ではなくて p-1 (= p/q) 乗
p.86, ↑6-5L: ×「その任意」 → ○「任意の」
p.90, ↑8L: ×「特に p = q = 1/2」 → ○「特に p = q = 2」
p.92, ↑11L: 三つの L2 ノルムそれぞれに 2 乗が抜けている
p.96, ↓7L: ×「H の部分空間とする」 → ○「H の完備な部分空間とする」
p.102, ↓1L: ×「定義 6.1」 → ○「定理 6.1」; ×「定義 6.2」 → ○「定理 6.2」
p.102, ↓2L: ×「定義 6.3」 → ○「定理 6.3」
p.102, ↓7L: ×「定義 6.2」 → ○「定義 6.5」
p.104, ↑7L: ×「1 ≦ i_1 ≦ i_2 ≦… ≦ i_k ≦ n」 → ○「1 ≦ i_1 < i_2 < … < i_k ≦ n」
p.105, ↑7L: ×「A_k \in E_k に対し」→ ○「A_k \in {\cal G}_k に対し」
p.111, ↓11L: ×「分布密度関数」 → ○「確率密度関数」
p.111, ↓5L & ↑1L: 数式左辺の変数(つまり右辺の積分範囲の上限)と、右辺で被積分関数を積分する変数に同じ文字 "x" を用いている。慣例として許される記法だが、初学者は混乱することが多いのでここに注意しておく。もちろん異なる文字で書いてもよい。
p.113, ↓4L: 総和 Σ の添字 i, j の範囲は 1, ..., n ではなくて 1, ..., d
p.116, ↓11L: ×「E[X | Y] について」 → ○「E[Y | X] について」
p. 116 ↓13L: ×「1_{X^{-1}(B)} (X (\omega) )」 → ○「1_B (X (\omega) )」
p.121, ↓12L: 数式内の「→」は「=」
p.123, ↑1L: ×「測度の下方連続性」 → ○「測度の上方連続性」
p.126, ↓11L: ×「≧ ε である ω」 → ○「< ε である ω」
p.126, ↓6L, ↑4L; p.127, ↓ 2L: 確率 P の中の事象の不等号は、 ×「>」 → ○「≧」
「>」でも正しいが「≧」の方が強い主張。他の場所と整合性をとる意味でも。
p.127, ↓2L: 左辺の集合の中の不等号「＞」を「≧」に (そのままでも正しいが，後者の方が適切)
p.128, ↑10L: 数式の中の小文字 x は全て大文字 X
p.129, ↓7L: ×「V[ X ]」 → ○「V[ X_1 ]」
p.130, ↑1L, 2L: ×「定理 7.11, 定理 7.12」 → ○「定理 7.10, 定理 7.11」
p.133, ↑13L (演習問題1.2 の略解 3 行目): ×「\omega_0 \neq \omega_1」 → ○ 「\omega_1 \neq \omega_2」 ; (ωの添え字が各 0 と 1 ではなくて、1 と 2)
p.136, ↑10L: ×「右辺が 1 だから」 → ○「左辺が 1 だから」
p.137, ↑4L: ×「船木直久」 → ○「舟木直久」
「正誤表」pdf
以下が初版各刷の間の差分の正誤表です．お持ちの刷から最新刷までの各差分のすべてをご利用下さい．
測度正誤表.pdf正誤表二刷から三刷.pdf正誤表3刷から4刷.pdf正誤表4刷から5刷.pdfカバー、帯の画像
原啓介
Keisuke HARA, Ph.D.(Math.Sci.)
hara.keisuke [at] gmail.com