Geometria Algébrica III
2026-1

Aulas:

1. categorias abelianas; funtores covariantes e contravariantes; objetos injetivos e projetivos; funtores derivados

2. objeto aciclico; Ext de A-modulos como funtor derivado; a categoria dos O_X-modulos em um espaço anelado tem suficientes injetivos

3. F(X)= Hom_X(O_X,F), para F feixe de O_X-modulos em espaço anelado; Ext de O_X-modulos como funtor derivado; cohomologia de grothendieck (cohomologia via funtores derivados) H^i; feixe flácido (definição e exemplos); feixes flácidos são aciclicos para H^i

4. cohomologia de feixes quase-coerentes de O_x-modulos  em um esquema afim noetheriano; cohomologia de cech \check{H}^i; dado cobertura aberta U=(U_i) em espaço anelado (X,O_X), o grupo de feixes de O_x-modulos localmente livres de posto 1 que são triviais em U_i para todo i, modulo isomorfismo, é isomorfo a \check{H}¹((U_i),O_X^*)

5.  \check{H}^k((U_i),O_X^*) formam um sistema direto com respeito ao refinamento de coberturas de X; definição de \check{H}^k(X,F), para F feixe de grupos abelianos em um espaço topológico X; \check{H}¹(X,O_X^*) = Pic(X) onde (X,O_X) é um espaço anelado e Pic(X) é o grupo de Picard de X dos feixes localmente livres de posto 1

6. resolução de cech de um feixe de O_X-modulos em um espaço anelado; para um feixe de O_X-modulos F em um espaço anelado X, vale H¹(X,F)=\check{H}¹(X,F)

7. diferenciais de Kahler \Omega_{A/B} para uma B-algebra A; feixe de diferenciais relativas \Omega_{X/Y} para um morfismo de esquemas X->Y; relação entre as duas definições; calculo dos grupos de cohomologia \check{H}⁰(P¹,\Omega_{P¹}) e \check{H}¹(X,P¹) usando o Teorema de Leray (enunciado) 

8. revisão de divisores de Weil e Cartier; divisores principais e equivalencia linear; Pic(X) como grupo das classes de divisores de Cartier via cohomologia; feixe de O_X-módulos L(D) associado a um divisor de cartier D; descrição de H⁰(X,L(D)) como espaço de Riemann-Roch do divisor D