6 Prison et liberté sur l'échiquier

Pour la domination sur l'échiquier, il suffit 12 cavaliers.

Le compte des dispositions des cavaliers-gardiens et rois-gardiens ne s'est pas mené, et c'est pour cela dans notre tableau sont restés deux points d'interrogation. Il n'y a pas d'autre espaces dedans.

La prochaine position a été trouvée par G. Dioudiéni encore au XIX siècle. Sur l'échiquier en même temps sont rentrés un nombre record de pièces "paisibles": dames - 8, tours - 8 et fous - 14. Sur les cases blanches se sont disposés 21 cavaliers, et encore pour un record il a manqué 13 cases. Avec la volonté on peut mettre sur les cases libres 8 rois, et alors il restera seulement 5 cases vacantes.

D'en sorte, dans la disposition de Dioudiéni sur l'existence participent 51 personnages, et en plus les pièces du même nom ne s'entre menacent pas. Ce record était compté pendant longtemps immuable, et seulement en 1986 il a été battu par V. Popov.

Ici avec 8 dames, 8 tours, 14 fous et 21 cavaliers se sont placés 9 rois, et le nombre général de pièces s'est augmenté jusqu'à 60. Et 4 cases libres ses sont disposés sur la grande diagonale, ce qui donne à la position une symétrie particulière.

Mais deux ans après le record de Popov à été aussi battu. Voici la position, qu'à trouvé B. Kourbanov.

Il y a toujours sur l'échiquier 8 dames et 8 tours, et le troisième record a été installé non pour les fous, mais pour les rois. Il y a autant de cavaliers, que chez Dioudiéni et Popov - 21, mais il y a aussi 10 fous. En tout il y a sur l'échiquier 63 pièces, presque l'échiquier entier.

Mais l'affaire ne s'est pas terminée ici. Un an après après la publication de la position d'un des lecteurs est arrivée une lettre avec un nouveau diagramme.

Ici le nombre de records s'est agrandi jusqu'à quatre: 8 dames + 8 tours + 14 fous + 16 rois. Le recordman absolu (qui n'avait pas dit son prénom) a prouvé que c'est la limite : il n'existe pas 5 records en même temps. Sur l'échiquier il y a aussi 12 cavaliers paisibles, et les 6 cases vides restantes ne sont utilisables d'aucune façon.

Jusqu'à maintenant on s'occupait des casse-têtes classiques sur la disposition des pièces. Mais il existe une multitude de problèmes intéressants, dans lesquels sont utilisés des ensembles de pièces différents (pas obligatoirement du même nom). Si parler de l'indépendance, alors on peut disposer les pièces non d'une couleur, mais de deux, et demander, que les blancs et les noirs ne s'entre menacent pas. Rappelons-nous, par exemple, le problème sur la disposition de 10 dames blanches 9 noires. Et le prochain casse-tête a un contenu plus des échecs.

Sur quel échiquier de dimensions les plus petites peut-on rentrer tout une allocation de munitions de pièces blanches et noires (sans pions), pour que les pièces de différentes couleurs - maintenant en vrai, en échecs - ne s'entre menacent pas?

Sur un échiquier 4*4 seize des personnages d'échecs rentreront involontairement en contact, mais sur l'échiquier 5*5 les dispositions cherchées existent déjà, en plus une d'elle est symétrique.

Avec quel n le plus grand sur un échiquier ordinaire peut-on disposer n rois, n dames et n fous d'en sorte, que aucune deux pièces ne d'entre menacent pas?

Devant nous 12 pièces paisibles - 4 rois, 4 dames et 4 fous, c'est-à-dire n=4. Et il ne peut pas avoir plus. Effectivement, disons qu'on a réussi de disposer 5 rois, 5 dames et 5 fous. Toutes les dames doivent se trouver sur les colonnes et rangées différentes, et libres restent seulement 9 cases sur l'intersection de trois rangées et colonnes restantes, et il faut disposer encore 10 pièces.

Dans les casse-têtes sur la domination il est souvent demandé, que sous le tir se trouvent non seulement les cases libres de l'échiquier, mais aussi occupées par les pièces-gardiennes. Il y avait déjà la disposition de 5 dames-gardiennes qui avaient cette propriété; 8 tours, disposées en long de n'importe quelle colonne ou rangée, contrôlant toutes les cases de l'échiquier. En ce qui concerne les autres pièces, alors il est demandé un peu plus d'elles, que pour la domination ordinaire. Il faudra prendre deux fois plus de cavaliers, et trois fois plus de rois et de fous.

Voilà, 14 cavaliers, 10 fous ou 12 rois sont capables de tenir sous le tir toutes les 64 cases de l'échiquier.

5 dames se débrouillent avec la "prison" des échecs (contrôlent toutes les cases libres), et on ne peut s'en passer avec un nombre plus petit. Il est curieux, quand même, que deux des 5 dames peuvent être remplacées par des pièces plus faibles - 2 tours ou même une tour et un fou (dans le premier cas sous le contrôle se trouvent toutes les cases de l'échiquier).

Et si on veut, que les dames soient accompagnées d'un cavalier ou d'un roi, alors il faudra laisser sur l'échiquier quatre dames.

Peut-on disposer sur un échiquier l'ensemble de pièces habituel (roi, dame, deux tours, deux fous et deux cavaliers), pour qu'ils tiennent sous le tir toutes les 64 cases de l'échiquier?

Comme ce n'est étrange, toutes les pièces dominent sur l'échiquier seulement dans ce cas, si les fous sont de même couleur.

Si les fous sont de couleur différentes, alors une case restera toujours sans contrôle. Il est installé, que cette case peut être n'importe laquelle, par exemple c1.

Si il est demandé, que sous le gardiennage se trouvent seulement les cases libres de l'échiquier, alors il suffit de sept pièces, un des fous peut être simplement enlevé.

Parlons maintenant d'un casse-tête, lié avec le coloriage d'un échiquier. Avant tout, souvenons nous d'un problème connu sur les couleurs.

Peut-on n'importe quelle carte géographique colorier avec quatre couleurs d'en sorte, pour que n'importe quels deux pays voisins soient coloriés de couleurs différentes?

Avec cinq couleurs il n'est pas difficile de colorier n'importe quelle carte. Au milieu du XIX siècle une hypothèse a été dite, qu'avec le nombre plus petit de couleurs dans un cas général on ne peut s'en sortir. Sans regarder tous les efforts des mathématiciens, il a été réussi de le prouver seulement en 1976. Et maintenant la variante des échecs de ce problème.

Quel est le plus petit nombre de couleurs qu'il suffit, pour que n'importe quelles deux cases, liées avec le coup d'un pièce donnée (dame, tour, cavalier, fou ou roi), soient coloriées avec des couleurs différentes?

En parlant autrement, il faut éclaircir, avec quel coloriage le plus économique de l'échiquier les pièces du même nom, se trouvant sur les cases de même couleur, ne s'entre menacent pas.

Le moins de couleurs en tout - deux - est demandé pour les cavaliers, correctement ici il n'y a rien à colorier, l'échiquier noir et blanc en est la solution du casse-tête.

Dans le cas de fous et de tours sont suffisants 8 couleurs, mais pas moins. Chaque colonne, remplié de fous, il faut colorier en sa propre couleur. Pour les tours toutes les cases de la première rangée colorions en couleurs différentes, et pour le coloriage des rangées suivantes utilisons "le décalage cyclique de couleurs". En d'autres termes, si numéroter les couleurs avec les nombres e 1 à 8, alors le coloriage de la première rangée est - 1, 2, ..., 8; de la seconde - 2, 3, ..., 8, 1; de la troisième - 3, 4, ..., 8, 1, 2 etc., de la huitième - 8, 1, ..., 7.

En passant vers les rois, remarquons, que pour eux toutes les 4 cases de n'importe quel carré 2*2 doivent être coloriés en 4 couleurs. Il suffit de 4 couleurs pour tout l'échiquier aussi. Le carré bas gauche colorions arbitrairement en 4 couleurs, après colorions d'en sorte les carrés voisins 2*2 etc. jusqu'à ce que tout l'échiquier soit colorié.

Devant nous le coloriage de l'échiquier pour les dames en 9 couleurs (nombres de 1 à 9 correspondants au neuf couleurs). Effectivement, ici aucun deux mêmes nombres ne se trouvent sur la même colonne, rangée et diagonale. Huit couleurs pour les dames ne suffit pas déjà.

Dans notre temps démocratique, quand les solutions importantes sont prises par la majorité des voix, le mathématicien I. Akoulitch a inventé un casse-tête d'échecs très actuel.

Problème d'échecs-démocratique. Quel est le plus grand nombre de pièces peut être disposé sur l'échiquier d'en sorte, pour que chacune d'elles menaçait:

a) pas moins que la moitié des autres?

b) pas moins que la majorité des autres?

c) pas moins que la majorité qualifiée, c'est-à-dire ⅔ des autres?

Puisque la dame, mise à la place de la tour, du fou, du roi et du pion, tient sous le tir toutes les cases et encore quelques, il est suffisant de chercher les dispositions, dans lesquels sont utilisés uniquement les dames et les cavaliers.

Éclairons, quel est le plus grand nombre de pièces qui peut se trouver sur l'échiquier. Disons qu'ils sont disposés de la façon qu'il faut - une des consignes est respectée - a), b) ou c). Observons la rangée la plus basse, sur laquelle se trouvent les pièces, et la pièce la plus à droite dessus. Si c'est la dame, alors elle tient sous le tir pas plus que quatre pièces (à gauche, à gauche-haut, au-dessus et à droite-dessus de soi). Si c'est le cavalier, alors il menace aussi à pas plus que quatre pièces (il n'y a pas de pièce plus bas que lui).

Voilà, dans notre disposition il y a au moins une pièce, qui menace à pas plus que quatre autres. Alors pour le cas a) le nombre des autres pièces sur l'échiquier n'est pas plus que quatre, pour le cas b) - pas plus que trois, et pour le cas c) - pas plus que deux. Pour cela le nombre général de pièces dans la disposition ne dépasse pas: pour a) - neuf (1+4+4=9), pour b) - huit (1+4+3=8) et pour c) - sept (1+4+2=7). Ce sont les réponses du casse-tête "démocratique".

Devant nous la disposition du nombre de pièces le plus grand pour a) - 9. Chaque dame menace quatre, c'est-à-dire à la moitié des autres pièces (et le cavalier menace de toute façon toutes les pièces). La disposition record pour b) se fait par la suppression donnée du cavalier. Maintenant chaque dame menace à quatre des autres sept, c'est-à-dire à la majorité.

L'affaire est un peu plus compliquée pour c). On peut prouver, que seulement 5 pièces nous suffit, pas plus.

Chaque dame menace ici à trois ou quatre autres, c'est-à-dire pas moins que ⅔ (4*⅔ =2,66...) des autres dames - la consigne c) est effectuée. Tous les record sont absolus, on ne peut pas faire mieux.

Dans notre livre est contenu pas mal de records différents sur les circuits et les dispositions des pièces, ayant des propriétés comme ci ou comme ça. La série entière de problèmes records est liée avec la construction de positions, pour lesquelles est effectué une des consignes suivantes:

1) le plus grand nombre de coups possibles;

2) le plus grand nombre de prises possibles;

3) le plus grand nombre d'échecs possibles;

4) le plus grand nombre de mats possible.

Chacune des positions records peut être construite avec une des consignes suivantes:

1) sur l'échiquier il n'y a pas de pièces promotionnées et la promotion des pions est interdite;

2) il n'y a pas de pièces promotionnées, mais les pions peuvent se promotionner;

3) des pièces promotionnées peuvent être, mais les pions ne se promotionnent pas;

4) les positions illégales sont autorisées (elles ne peuvent se faire dans la partie réelle), les pions ne se promotionnent pas.

En comptant, que chaque énoncé peut être comme vers les pièces blanches seules, comme vers les pièces blanches et noires ensemble, en tout on a 4*4*2=32 problèmes sur la construction de positions records. Certains records tiennent plus de 100 ans, d'autres sont installés il n'y a pas longtemps. Comme règle, ces positions sont très lourdes, et nous nous limitons seulement à quelques exemples.

Dans cette position (légale) les blancs ont le nombre maximal de coups - 109 sans promotion de pions. Et voici deux records pour des positions illégales (sans promotion de pions).

Dans la première les blancs ont 288 coups, dans la seconde les blancs et les noirs ensemble - 412.

Tour à la position avec le plus grand nombre d'échecs et de mats - 143 - pour les pièces blanches (certes, elle ne peut pas se faire dans une partie non plus).

En apportant vers les dispositions des pièces d''autres demandes, on peut installer une multitude d'autres records. La consigne est intéressante, où chaque coup (d'un côté ou des deux) se révèle une prise, un échec ou un mat forcé. UNe autre consigne, si sur l'échiquier était présent l'ensemble entier des 32 pièces.

Observons deux positions records, dans lesquels participent toutes les 8 pièces d'une même couleur (roi, dame, deux tours, deux fous, deux cavaliers, pas de pions).

Disposer 8 pièces d'en sorte, pour qu'elles aient le plus grand nombre de coups.

La réponse est ronde - 100 coups, juste neuf de moins, qu'avec les pions (voir un peu plus haut).

Ici les huit pièces blanches ont 100 coups, mais avec cela 14 cases ne sont pas attaquées par elles (en ajoutant sept, non occupées par les pièces). Il est intéressant, que dans la position donnée plus haut avec deux fous d'une même couleur ces mêmes huit pièces tenaient sous le tir tout l'échiquier, mais pouvaient faire que 74 coups.

Avec 8 pièces et 8 pions, qui ont le droit de se promotionner, le record s'agrandit jusqu'à 122 coups.

Disposer 8 pièces d'en sorte, pour que dans leur disposition il y est le plus petit nombre de coups.

Avec la disposition la plus maladroite des 8 pièces elles peuvent faire en tout 10 coups: sept - les cavaliers et trois - le roi.

Cette disposition (on peut échanger les places de la dame et du fou de cases blanches) est record aussi dans deux relations: sous le coup se trouvent le plus petit nombre de cases - 16, dans la possibilité de bouger le plus petit nombre de pièces - 3.

Dans la position avec tout l'ensemble d'échecs (32 pièces et pions) on peut arriver jusques, que les pièces ont seulement deux coups, dans le cas donné: Fc2-d1 et Cc1-e2.

Et dans la position unique avec 32 pièces peut se déplacer seulement une - la dame, quoique, dans disposition il y a 7 coups.