Laboratorio Virtual 2

MATEMÁTICAS DINÁMICAS LABORATORIO VIRTUAL 2

GRADO 10

Hola amigos y amigas estudiantes, como ya bajamos el programa GeoGebra, es más fácil trabajar con las siguientes gráficas, para comprender un poco más el bello mundo de las Matemáticas, las cuales siendo la más grande creación humana con características divinas, han llegado hasta lo más recóndito del universo, con sus formas, colores y ecuaciones, con ellas hemos entendido un poco desde lo infinitamente pequeño hasta el infinito mayor, el UNIVERSO.

LAS CÓNICAS

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas.

ESTUDIO DINÁMICO DE LA PARÁBOLA

Al representar cualquier ecuación cuadrática o de segundo grado, siempre nos da una figura denominada parábola. La ecuación general es: ax²+bx+c=0 y la función cuadrática es y=ax²+bx+c

Escriba las siguientes entradas, pulsando enter o intro después de cada una:

a=1

b=1

c=1

y=a x²+b x+c (espacios entre a y x², y entre b y x), dando enter se ve así:

ACTIVIDAD 1 PARA RESOLVER Y ENTREGAR

a. Copie la gráfica que presenta el programa después de entrar los comandos anteriores.

b. Escriba el dominio y recorrido de esta grafica. Para hallar el recorrido de una parábola se necesitan las coordenadas de vértice, este se halla digitando en entrada: Vértice[y=a x²+bx+c], se debe dejar un espacio entre a y x², verá que al cambiar los valores a, b y c también se mueve el punto del vértice.

Haga clic sobre a=1 y cambie los valores con las flechas. Y responda:

c. ¿Qué hace la gráfica cuando el número a, cuando aumenta o disminuye?

d. ¿Y si a= 0?

e. ¿Qué sucede con la gráfica cuando el valor de a es negativo?

Haga clic sobre b=1 y cambie los valores con las flechas luego responda:

f. ¿Qué hace el número b cuando aumenta o disminuye?

g. ¿Y cuando es igual a 0?

h. ¿Y si pasa a ser negativo?

Haga clic sobre c=1, cambie los valores y responda:

i. ¿Qué hace la gráfica cuando el número c, aumenta o disminuye?

j. ¿Y si c=0?

k. ¿Y si c<0?

Hay varias gráficas de funciones que tienen una o varias características comunes y se denominan “familias de curvas”, determine la o las características de los siguientes grupos de 5 parábolas, dibujando cada grupo en un mismo plano cartesiano y luego cópielas en el trabajo que vas a entregar:

l. y=x²

y=x²+2x+1

y=x²-2x+1

y=x²+4x+4

y=x²-4x+4

Características comunes de la anterior familia de curvas ______________________________________________________________________________

m. y=x²

y=x²+1

y=x²-1

y=x²-2

y=x²+2

Características comunes de esta familia de curvas: _____________________________________________________________________________

n. y=x²

y=x²+x

y=x²-2x

y=x²+2x

y=x²-3x

Características comunes de esta familia de parábolas: _________________________________________________________________________

ESTUDIO DINÁMICO DE LA HIPÉRBOLA

ACTIVIDAD 2 PARA RESOLVER Y ENTREGAR

Escriba las siguientes entradas dando enter o intro después de cada una.

a=1

b=1

c=1

y=a/(b x+c) Copie esta gráfica en el trabajo que vas a entregar.

Halle la definición de asíntota y cópiela en el trabajo.

a. ¿Cuáles son las asíntotas de esta gráfica?

b. ¿Cuáles son su dominio y recorrido de esta gráfica?

Haga clic sobre a=1 y cambie sus valores.

Que sucede con la gráfica cuando este valor aumenta o disminuye?

c. ¿Y si a=0?

d. ¿Y si a<0? Copie una grafica con un valor de a<0

Haga clic sobre b=1 y cambie sus valores.

e. Si b tiende a ¥ o a -¥, la gráfica ¿a que valor de x se acerca?

f. Y si b=0?

g. ¿Qué sucede cuando b cambia de positivo a negativo o viceversa? Copie una grafica con un valor negativo de b

Haga clic sobre c=1, cambie sus valores y responda:

h. ¿Qué sucede cuando a aumenta o disminuye?

i. ¿Qué pasa con la gráfica cuando c=0?

j. ¿Y si c<0? Copie una gráfica con un valor negativo de c.

ESTUDIO DINÁMICO DE LA CIRCUNFERENCIA

Ahora vamos a hacer un pequeño estudio de las otras cónicas como son la circunferencia y la elipse

LA CIRCUNFERENCIA

ACTIVIDAD 3 PARA RESOLVER Y ENTREGAR

Ahora después de haber hecho lo anterior juiciosamente, escriba el título “LA CIRCUNFERENCIA” y solucione los siguientes puntos en el trabajo que vas a entregar:

1. Defina los siguientes elementos de la circunferencia y círculo: radio, diámetro, cuerda, arco, ángulo central, sagita, semicircunferencia, fórmula para hallar el área, fórmula para hallar el perímetro, circunferencia, círculo y esfera.

Hay varias formas de dibujar circunferencias desde el punto de vista algebraico y de la geometría analítica, en el plano cartesiano.

2. Dado un punto C, de coordenadas C=(m,n), que es el centro de la circunferencia y un número r que es el radio, para esto escriba las siguientes entradas:

m=2

n=3

C=(m,n)

r=4

Circunferencia[C,r] Copie esta gráfica en el trabajo que vas a entregar.

Al dar intro, dibuja la circunferencia con centro en (2,3) y radio 4, además en la vista algebraica, como objeto dependiente aparece la ecuación. Ahora de clic sobre m y cambie los valores, observe que sucede con la circunferencia; repita lo mismo con n y r , escriba las conclusiones de lo observado en el trabajo que vas a entregar.

También podemos hallar la longitud de la circunferencia o perímetro y área del círculo, escribiendo en la entrada:

Perímetro:Perímetro[c] Copie el valor del perímetro

Área:Área[c] Copie el valor del área del círculo

Escrita la circunferencia de esta forma se puede desplazar de forma continua por el plano cartesiano, o aumentar o disminuir el radio haciéndola más grande o más pequeña y viendo cómo cambia el perímetro y el área. También se puede hallar el perímetro y área por medio de la barra de herramientas que aparece en la parte superior.

Además también puedes ver las herramientas: Compás, Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos, Circunferencia dados su Centro y Radio y Circunferencia dados Tres de sus Puntos y trabajar con ellas.

2. Otra forma sería escribir la ecuación: (x-m)²+(y-n)²=r², conociendo el punto centro y el radio.

Escriba en la entrada:

(x+4)²+(y-1)²=9 Copie esta gráfica en el trabajo que vas a entregar.

3. También se puede estudiar circunferencias dados el centro y uno de los puntos por donde pasa. Escriba las entradas:

M=(3,-2)

P=(2,-4)

Circunferencia[M,P] Copie esta gráfica en el trabajo que vas a entregar.

Al dar intro, aparece la circunferencia y la ecuación al lado izquierdo en vista algebraica, como objeto dependiente.

FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS

Haga cada grupo de circunferencia en un plano cartesiano, escriba sus características comunes y cópielas para entregarlas en el trabajo.

4. x²+y²=1

x²+y²=4

x²+y²=9

x²+y²=16

x²+y²=25

5. (x+4)²+(y-2)²=4

(x+2)²+(y-2)²=4

x²+(y-2)²=4

(x-2)²+(y-2)²=4

(x-4)²+(y-2)²=4

6. x²+(y-1.5)²=2.25

x²+(y+1.5)²=2.25

x²+(y-4.5)²=2.25

x²+(y+4.5)²=2.25

LA ELIPSE

Ahora haremos un estudio de la elipse, para identificar sus focos, ejes de simetría, entre otros.

1. Una forma es escribiendo una de las ecuaciones de la elipse

b²x²+a²y²=a²b²

x²/a²+y²/b²=1

Que son las ecuaciones de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos sobre los ejes.

Escriba las siguientes entradas: (intro después de cada entrada)

a=5

b=2

elipse:b²x²+a²y²=a²b²

2. También se puede dibujar una elipse dados dos puntos que serían los focos y un número que sería la distancia del centro al extremo.

Entre los siguientes datos: (D y E son los focos y a es la distancia del centro al extremo)

D=(1,2)

E=(2,4)

a=3

Elipse[D,E,a]

3. Otra forma es con tres puntos, los dos primeros son los focos y el otro es un punto sobre la curva.

Entre lo siguiente:

A=(-2,-3)

B=(3,2)

C=(1,2)

Elipse:Elipse[A,B,C]

4. Cuando el centro de la elipse no está en el centro de coordenadas, se puede escribir la ecuación:

b²(x-m)²+a²(y-n)²=a²b² o también (x-m)²/a²+(y-n)²/ b²=a²b^2.

Escriba las siguientes entradas:

a=3

b=1

m=-3

n=2

elipse:(x-m)²/a²+(y-n)²/b²=a²b²

ACTIVIDAD 4 PARA RESOLVER Y ENTREGAR

Ahora llegó el momento de resolver algunas preguntas sobre el tema de la elipse. Escriba el titulo “LA ELIPSE” y responda lo siguiente:

a. Defina elipse, foco, eje principal, eje secundario.

b. Copie en el trabajo que vas a entregar las elipses de los puntos 1,2,3 y 4, anteriores.

c. En el numeral 1, la ecuación que aparece en la vista algebraica es:

d. Al cambiar en forma continua los valores de a=5 y b=2, ¿qué le sucede a la elipse?

e. De acuerdo al numeral 2, los focos son:

f. El centro de esta elipse es:

g. La ecuación que aparece en la vista algebraica, es:

h. Que le sucede a la elipse, si se cambia en forma continua los valores de a=3?

i. Observando la gráfica del numeral 3, los focos de esta elipse son:

j. Si cambiamos el orden de las letras A,B,C, en la entrada: Elipse:Elipse[A,B,C], ¿la elipse cambia?, ¿porqué?

k. Si escribimos en la entrada: Centro[Elipse], ¿Qué nos dibuja en la gráfica?, ¿Cuál es este valor?

l. ¿Cuál es la ecuación de esta elipse?

m. Escriba en entrada: EjePrincipal[Elipse]; y también: EjeSecundario[Elipse], ¿Qué le dibuja a la elipse?, ¿por qué puntos pasa el eje principal?

n. Respecto al punto 4, ¿Qué ecuación tiene esta elipse?

o. ¿Cuáles son las coordenadas del centro de la elipse?

p. Si cambias los valores de a=3 y b=1, ¿qué le sucede a la elipse?

q. Si cambias los valores de m=-3 y n=2, ¿Qué le sucede a la elipse?

r. Dibuje esta elipse en la hoja de examen cuadriculada que vas a entregar.

Las MATEMÁTICAS no sólo son números y ecuaciones, por último dibuje en Geogebra, en un mismo plano cartesiano, escriba en entrada lo siguiente luego copie las figuras en el trabajo para entregar y vas a propiedades y coloreas la figura central de rojo:

s. f(x)=sqrt(1-(abs(x)-1)²) (enter)

t. g(x)=acos(1-abs(x))-p (enter)

u. x²+(y-0.7)²=9 (enter)

Este fue un breve estudio de algunas funciones y cónicas, porque aún falta mucho que no tuvimos en cuenta con el fin de agilizar este estudio, lo demás lo dejamos para que cada estudiante con el ánimo de aprender lo pueda trabajar.

Me despido con las palabras de Galileo: “La naturaleza es un libro abierto escrito en lenguaje Matemático”.

Las MATEMÁTICAS: creación Humana con carácter divino.

Este “LABORATORIO VIRTUAL DE MATEMÁTICAS DINÁMICAS 2” debe entregarse en forma ordenada, y puntual el día indicado; en Hojas de examen cuadriculadas, exclusivamente, trabajos incompletos o en desorden y fuera de la fecha, sin justificación, no se reciben.

Tener en cuenta que “escucho y olvido, leo y comprendo, veo y entiendo, y si hago, aprendo”.

Espero encontrarnos la próxima vez, con otro tema diferente, para aprender muchos temas de MATEMÁTICAS (Cálculo), como son las derivadas o integrales o cualquier otro tema que se me ocurra.