Введение. Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Школьный курс геометрии состоит из планиметрии и стереометрии.

Планиметрия изучает фигуры и их свойства на плоскости. Образно говоря, планиметрия изучает всё, что можно нарисовать или начертить на листе бумаги.

Основные объекты планиметрии - это точки, линии и замкнутые фигуры (например - квадрат, треугольник, круг, трапеция, ромб). Множество всех точек, рассматриваемых в планиметрии образует плоскость. Множество точек в планиметрии называется фигурой. Замкнутая фигура в планиметрии - это множество точек, ограниченных линией.

Стереометрия изучает фигуры и их свойства в пространстве. Образно говоря, стереометрия изучает всё, что можно склеить из бумаги, сколотить из досок, построить из кирпичей и т.п.

Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости и замкнутые пространственные фигуры (например - куб, пирамида, параллелепипед, шар, конус). Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Любое множество точек называется фигурой. Замкнутая фигура в стереометрии - это множество точек, ограниченных поверхностью.

Пример:

На анимированных иллюстрациях наглядно показаны связь и различие плоских и пространственных фигур.

Анимации: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jeWhmMTFTT29LdE0/view?usp=sharing

https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jSFR4a2wwV0R0b1U/view?usp=sharing

Так как каждая прямая и каждая плоскость содержат какие-либо точки, то прямая и плоскость тоже являются фигурами стереометрии.

Плоскость бесконечна и делит пространство на две части.

Точки обозначаются прописными латинскими буквами A,B,C,D,E,K,…

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a,b,c,d,e,k,…

Плоскости обозначаются греческими буквами α,β,γ и т. д.

Основные понятия стереометрии - точка, прямая и плоскость.

Аксиомы стереометрии(утверждения, которые принимаются без доказательств):

Через любые две точки можно провести только одну прямую.

АНИМАЦИЯ: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jSklwUkItSEpwZzQ/view?usp=sharing

A1Через любые три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость

АНИМАЦИЯ: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jNHBjQWxlRVQycXM/view?usp=sharing

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесконечное множество плоскостей.

АНИМАЦИЯ: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jYlJuZlBYbmUwUWM/view?usp=sharing

А2Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат плоскости

АНИМАЦИЯ: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jc0FDUWkzM0ZUV2s/view?usp=sharing

А3 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей

АНИМАЦИЯ: https://drive.google.com/file/d/0B1U__AnFwH_jUTE4TDVJTlRlcWs/view?usp=sharing

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, притом только одну.

Доказательство:

1) Рассмотрим прямую a и точку A, которая не находится на этой прямой.

2) На прямой a выберем точки B и C.

3) Так как все 3 точки не находятся на одной прямой, из второй аксиомы следует, что через точки A, B, C и можно провести одну единственную плоскостьα.

4) Точки прямой a, B и C, лежат на плоскостиα, поэтому из третьей аксиомы следует, что плоскость проходит через прямую a и, конечно, через точку A.

2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну.

Доказательство:

1) Рассмотрим прямые a и b, которые пересекаются в точке C.

2) Выберем точку A на прямой a и точку B на прямой b так, чтобы эти точки не совпадали с точкой C.

3) Из второй аксиомы следует, что через точки A, B и C можно провести одну единственную плоскостьα. В таком случае прямые a и b находятся на плоскостиα(судя по третьей аксиоме).

Пример:

Даны пересекающиеся отрезки AC и BD. Доказать, что все отрезки AB, BC, CD, DA находятся на одной плоскости.

Решение:

1) Из второй теоремы следует, что через AC и BD можно провести только одну плоскость, которую обозначимα. Это значит, что точки A,B,C и D принадлежат плоскостиα.

2) Из третьей аксиомы следует, что все точки прямых AB, BC, CD и DA принадлежат плоскости. Поэтому все соответствующие отрезки лежат на плоскости α.

Google Sites

Report abuse