1.Параллельность прямых, прямой и плоскости

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.

Teорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и притом одна.

Доказательство:

1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.

2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1. рис.)

(2. рис.)

Доказательство:

Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке M (1. рис.).

Из 1-ой теоремы известно, что через параллельные прямые a и b можно провести только одну плоскость β.

Так как точка M находится на прямой b, то M также принадлежит плоскости β(2. рис.). Если у плоскостей α и β есть общая точка M, то у этих плоскостей есть общая прямая c, которая является прямой пересечения этих плоскостей (4 аксиома).

Прямые a, b и c находятся в плоскости β.

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую c, то вторая прямая a тоже пересекает c.

Точку пересечения прямых a и c обозначим за K.

Так как точка K находится на прямой c, то K находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α.

Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке K.

Теорема 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.Дано: a∥cиb∥c

Доказать: a∥b

Доказательство:

Выберем точку M на прямой b.

Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).

Возможны два случая:

1) прямая b пересекает плоскость α или 2) прямая b находится в плоскости α.

Пусть прямая b пересекает плоскость α.

Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным.

Значит, прямая b находится в плоскости α.

Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны.

Пусть у прямых a и b есть общая точка L.

Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек.

Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.

Выводы:

1) Любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность: еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.

Пример:

Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.

Допустим, что у параллелограмма ABCD сторона AD пересекает плоскость α в точке K.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону CD, тоже пересекает плоскость α.

2. Параллельность прямой и плоскости

Согласно аксиомам, если две точки прямой находятся в некоторой плоскости, то прямая лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит (находится) в плоскости

2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются)

3) прямая и плоскость не имеют общих точек

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема 3. „Признак параллельности прямой и плоскости”

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Обрати внимание!

Следующие две теоремы очень часто используются при решении задач.

Теорема 4. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой

Обрати внимание!

Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Доказательство:

Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся.

Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Теорема 5. Если одна из двух параллельных прямых параллельная данной плоскости, то другая прямая либо так же параллельная данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.