2. Скрещивающиеся прямые. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Скрещивающиеся прямые
Нам известны два случая расположения прямых в пространстве a ∩ b; а || b. Общее для них: они лежат в одной плоскости (рис. 1, 2).
a ∩ b
(по следствию из аксиомы)
а || b
(по определению параллельных прямых)
ЗАДАНИЕ №1 в рабочей тетради
Значит, в пространстве есть прямые, которые не пересекаются и не являются параллельными, так как они не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.
Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
Теорема (признак скрещивающихся прямых)
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Дано: АВ ⊂ α, CD ∩ α = С, С ∉ АВ (рис. 4).
Доказать, что АВ скрещивается с CD.
Доказательство:
Допустим, что CD и АВ лежит в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β.
Плоскости совпадают, чего быть не может, так как прямая CD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и CD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с CD.
ЗАДАНИЕ №2 в рабочей тетради
Теорема :
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна.
Доказательство: учащиеся разбирают по учебнику самостоятельно с последующей записью на доске и в тетрадях.
Дано: АВ скрещивается CD (рис. 6).
Построить α: АВ ⊂ α, CD || α.
Доказать, что α - единственная.
1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || CD.
2. Прямые АЕ и АВ пересекаются и образуют плоскость α. АВ ⊂ α (по построению), CD || α (по признаку параллельности прямой и плоскости), α - искомая плоскость.
3. Докажем, что α - единственная плоскость. α - единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую CD.
В доказательстве этой теоремы дается способ построения плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум скрещивающимся прямым. Рассмотреть задачу на построение.
Задание №3-№4 в рабочей тетради
Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми
Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет плоскость на 2 части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей.
Определение: Два луча ОА и О1А1 (рис. 1), не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной плоскости с границей ОО1.
Два луча ОА и О1А1, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они совпадают или один из них содержит другой.
Задание: 1. На рисунке 1 найти сонаправленные лучи.
2. Указать лучи, которые не являются сонаправленными.
Теорема:Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.
Дано: ∠O и ∠О1 с сонаправленными сторонами (рис. 2).
Доказать: ∠О = ∠О1.
Доказательство: На сторонах угла О отметим любые точки А и В и на соответственных сторонах угла О1 отметим точки А1 и В1 такие, что О1А1 = ОА и О1В1 = ОВ.
1. Рассмотрим ОАА1О1. - параллелограмм (по признаку). Значит, АА1 || ОО1 и АА1 = ОО1.
2. Рассмотрим ОВВ1О1. - параллелограмм (по признаку). Значит, ВВ1 || ОО1 и ВВ1 = ОО1.
Вывод:
Следовательно, четырехугольник АА1ВВ1 - параллелограмм (по признаку). Следовательно, АВ = А1В1.
3. Рассмотрим ΔАВО и ΔA1B1O1. ΔАВО = ΔА1В1О1 (по трем сторонам).
Вывод:
∠О = ∠О1.
Определение: Углом между пересекающимися прямыми называется угол, не превосходящий любой из трех остальных (то есть наименьший из четырех образованных).
Угол между прямыми - это градусная мера, а не геометрическая фигура.
По определению 0° < α ≤ 90°.
Определение: Угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD - угол между пересекающимися прямыми А1В1 и C1D1соответственно параллельными АВ и CD (рис. 3).
Зависит ли величина угла φ от выбора точки М1?
Выбрать (отметим) любую точку М2 и построить А2В2 || АВ и C2D2 || CD.
Ответить на вопросы:
1. Почему А2В2 || A1B1 и C2D21 || C1D1?
2. Являются ли углы ∠A1M1D1 и ∠A2M2D2 углами с соответственно параллельными сторонами? (Да.)
Вывод:
1) ∠A1M1D1 = ∠A2M2D2 (по изученной теореме).
2) Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки.
Задание №5-№6 в рабочей тетради