Turbulence Model

난류는 무질서하고 확률적인 성질의 변화, 예를 들어 압력과 속도의 시간과 공간에 대한 다양하고 빠른 변화 등, 에 의해서 특성지어진다. 난류 모델은 큰 Reynolds 상수를 가지는 Navier-Stokes 방정식으로 묘사 된다. 이 Reynolds 상수가 작을 때에는 유체의 움직임은 주어진 정보에 의해, 즉, 초기조건(initial condition)이나 외부 힘(force) 등에 의해 유일하게 묘사가 되어 진다. 하지만 Reynolds 상수가 커지면, 즉, 유체가 난류가 되면서 그 해는 더 이상 단순히 주어지는 정보에 의해 결정되어지지 않게 되고 그 해의 존재성조차 단정 짓기 어려워진다. 따라서 난류를 묘사하는데 있어 많은 응용과 변형이 이루어져 왔고 물리학과 공학에서는 그 근사해를 이용해 난류를 묘사하고 있다. 난류모델의 변형 중에서 가장 광범위하게 쓰이고 있는 모델중 하나가 Smagorinsky 모델이다. 하지만 Smagorinsky모델에서 단순히 eddy-viscosity를 첨가하는 방법은 유체에 있어 큰 스케일의 흐름 (large-scale structure in the fluid)을 과도하게 손상시키는 결과를 초래 하게 되는 것을 수치적 분석을 통해 쉽게 관찰 되어 지기 때문에 이러한 결점을 보완하기 위해서 eddy-viscosity를 오직 subgrid 구조에만 적용하는 방법이 대두하게 된다

• A finite element, filtered eddy-viscosity method for the Navier-Stokes equations with large Reynolds number

Eddy-viscosity를 오직 subgrid 구조에만 적용하는 대표적인 한 방법인 spectral viscosity 방법을 이용하여 난류모델에 접근 하였다. Spectral viscosity 방법은 푸리에 변환에 그 바탕을 두고 있는데 푸리에 변환에서는 함수들이 주파수 영역으로 표현이 되어 지기 때문에 낮은 주파수 부분을 거르고 높은 주파수 부분들만 남기는 여과 장치를 이용함으로써 작은 스케일의 유체 체계를 충실하게 풀면서 큰 스케일의 유체 체계를 손상시키지 않는 아이디어에 적합하게 작용되게 된다. 푸리에 변형에 기반을 둔 spectral viscosity 방법을 multi-scale이라는 면에서 푸리에 기저함수들과 비슷한 성질을 가지는 유한요소법을 이용해 Navier-Stokes 방정식의 근사해를 찾고자 하는것이 이 연구의 목적이었다. 전형적인 유한요소법은 공간을 요소로 나누는 크기가 정해지면 그에 바탕을 두고 기저함수가 생성된다. 하지만 1980년대 후반부터 활발히 연구되어지기 시작한 계층(hierarchical) 기저함수들은 그 기저함수들의 메시 크기가 각 레벨에 따라서 다르다. 즉, 근사해를 찾고자 구축하는 이산체계에 사용되는 근사해 유한공간이 각기 다른 mesh 크기를 가지는 기저함수들의 작은 집합체들로 이루어져 있다. 이은정교수와 Max Gunzburger교수는 spectral viscosity 방법에 계층 유한요소법을 적용 시켰을 때 이의 근사해가 존재하는지 그리고 그 해가 유일한지를 증명하였다. 또한 이러한 접근방법을 이용해서 찾은 근사해의 난류 모델의 해로의 근접성을 밝혔으며 그 근접성의 속도를 찾았다.

The direct numerical simulation of the Navier-Stokes system in turbulent regimes is a formidable task due to the disparate scales that have to be resolved. Turbulence modeling attempts to mitigate this situation by somehow accounting for the effects of small-scale behavior on that at large-scales, without explicitly resolving the small scales. One such approach is to add viscosity to the problem; the Smagorinsky and Ladyzhenskaya models and other eddy-viscosity models are examples of this approach. Unfortunately, this approach usually results in over-dampening at the large scales, i.e., large-scale structures are unphysically smeared out. To overcome this fault of simple eddy-viscosity modeling, filtered eddy-viscosity methods that add artificial viscosity only to the high-frequency modes were developed in the context of spectral methods. We apply the filtered eddy-viscosity idea to finite element methods based on hierarchical basis functions. We prove the existence and uniqueness of the finite element approximation and its convergence to solutions of the Navier-Stokes system; we also derive error estimates for finite element approximations.