LSFEM

Least squares finite element methods

Least-squares 방법은 1794년경 Carl Friedrich Gauss 가 케레스 소행성의 움직임을 예측하기 위해 사용하기 시작하면서 처음으로 명명되었다. 이후 least-squares 방법은 많은 분야에서 다양한 형태로 이용 되고 있다. 일반적으로 least-squares라 함은 어떠한 방정식을 푸는 과정에서 발생하는 일종의 오차의 제곱의 합을 최소화 시키는 해를 의미한다. 1980년대에 들어서면서 이러한 least-squares 방법을 편미분 방정식을 푸는데 이용하기 시작하였고 이는 현재까지 편미분 방정식의 근사 해를 찾는 한 방법으로써 활발히 이용 되고 있다. Least-squares 방법과 유한요소법을 접목시킨 least-squares 유한요소법을 근간으로 비선형 편미분 방정식의 근사 해를 찾는 기법의 개발 연구를 하고있다.

  • LL* method for nonlinear partial differential equations

주어진 방정식 LU=F에 대해서, LL* 방법은 dual system, LL*U*=F (L* : the L2-adjoint operator of L ), 을 고려하고, 함수 ||L*U*-U||2를 최소화하는 dual variable, U*, 을 찾는다. 변수 U*에 대해서 함수 ||L*U*-U||2을 최소화 하는 것은 다음을 푸는 것과 동치이다: find U* such that

< L*U*, L*V > = < U, L*V > = < LU, V > = < F, V >,

for every V in the domain of L*. 이런 과정을 통해서 얻어진 U*를 이용해 근사해 U=L*U*를 얻는다. 위 동치 방정식을 보면 실해 U 를 모르더라도 원래 방정식의 right-hand side F 를 이용해 근사 해를 얻을 수 있다. Newton’s method는 비선형 편미분 방정식, L(U)=F, 을 푸는데 가장 많이 쓰이는 방법 중 하나이다. Newton’s method는 Frechet 미분형태를 이용하여 비선형 방정식을 선형화 한다. 주어진, 실 해에 충분히 가까운 초기치, U0의 주변에서 전개된 Frechet 미분을 이용하여 업데이트 시키는 Newton’s method 는 다음과 같은 다음 단계 근사해, U1, 를 제안한다: U1 = U0 - L'(U0)-1(L(U0)-F). Newton’s iteration 단계에서 위 시스템을 풀기 위해 함수 ||L'(U0)W+(L(U0)-F)||2을 최소화 하는 LSFEM을 이용 하여 얻은 W는 correction term이라 불리고 U1은 U1=U0+W로 업데이트 된다. 실해의 미분가능성이 낮을 때 그에 대응하는 근사해를 찾고자 Newton’s 방법과 FOSLL*방법을 접목하여 근사해를 찾는다.

It is known that the least-squares finite element method typically provides poor conservation in fluid motion because it minimizes the continuity equation in L2-norm instead of using exact discrete mass conservative form. One of the prototype domains considered was a tube of size 1x1x10. The standard first-order system least-square (FOSLS) finite element method in velocity/pressure Navier-Stokes first order formulation with piecewise quartic finite elements in coarse grid (mesh size h=1/4) yielded 47% of mass loss in this tube. However, by using FOSLL* with a modification of normal vectors in Newton iteration instead of FOSLS at the last iterate, mass loss was improved to 0.03%. For a given system of nonlinear partial differential equations L(U) = F, the linearization process (using Newton's method) yields a linear system LV=G and then FOSLS is used to minimize the linear system in L2-norm, that is, to find V such that V = arg min || LW – G ||. Typical Newton-FOSLS process repeats the above iteration. For a given linear system LV=G, the FOSLL* method solves the system, LL*V*=G, by minimizing the functional, ||L*V*-V||2, with the dual variable, V*, and the L2-adjoint operator, L*, of L. Minimizing ||L*V*-V||2 over V* in the domain of L* is accomplished by solving the weak problem of finding V* such that < L*V* , L*W > = < V , L*W > = < LV , W> = < G , W>, for every W in the domain of L*. Then, the solution we seek is V =L* V *. This equation shows that we can solve the dual problem with the given data (right-hand side) of the original problem without knowing the exact solution, V. As mentioned before FOSLL* was used to solve the linearized system at the last Newton iterate and mass loss was improved to 0.03%. While getting improved mass conservation by using FOSLL* only at the last stage of Newton iterations, questions arose what happens if FOSLL* was used in several stages in Newton iterations and how this process can be generalized. The main difficulties in applying FOSLL* in Newton iterations and the generalization is considered. We first observed the general ideas of Newton's method, FOSLS and FOSLL* approaches. Then we proposed difficulty which is arisen in the combination of Newton's iteration and FOSLL* then suggest several remedies for that. We have analyzed Newton-FOSLL* iteration for particular form of nonlinear partial differential equations.

Figure : Profiles of u3 in the velocity vector u=(u1,u2,u3) and streamlines at the cross section at particular y (up)approximation from FOSLS (down)approximation from FOSLL*

    • Weighted norm least squares finite element method for Poisson equation in a polyhedral domain

The weighted norm least squares method is used to overcome the difficulties in solving the Poisson equation in a polyhedral domain with corners and edges. A weighted-norm technique is used to define the least-squares functional. The method prevents the loss of global accuracy. Numerical simulations confirm the theoretical estimates.

Figure : Error with different weight parameters when the right hand side is f=(rho)-3/2log(rho/1000)

    • A least-squares finite element method for a nonlinear Stokes problem in glaciology

비선형 Stokes equations을 분석하고 negative-norm 최소자승유한요소법을 이용하여 그 근사해를 찾는 방법에 대해 연구 하였다. 최소화 문제를 정의하고 그에 대응되는 variational formulation을 정의 하였다. 적당한 Sobolev solution space를 정의하여 variational formulation의 해의 존재성과 유일성을 증명하였다. 다양한 시도를 통해 negative norm 수치 시뮬레이션을 완성하였고 2차 공간에서 성공적인 수치값을 얻어냈다.

A stationary Stokes problem with nonlinear rheology and with mixed no-slip and sliding basal boundary conditions is considered. The model describes the flow of ice in glaciers and ice sheets. A least-squares finite element method is developed and analyzed. The method does not require that the finite element spaces satisfy an inf-sup condition. Moreover, the usage of negative Sobolev norm in the least-squares functional allows for the use of standard piecewise polynomials spaces for both the velocity and pressure approximations. A Picard-type iterative method is used to linearize the Stokes problem.

    • Maxwell's equations in three dimension with boundary singularities and discontinuous coefficients

FOSLL*를 이용한 비선형 편미분 방정식의 근사해 연구: 편미분 방정식의 근사 해를 찾는 방법 중 하나인 FOSLL* 방법은 least-squares(LS) 방법에 근간을 두고 있다. 통상적으로 방정식의 해는 계산공간과, 계수, 데이터 등의 적절한 smoothness 가정 하에서 Sobolev 공간에 속해 있다. 따라서 주어진 선형 편미분 방정식에서, 불연속 계수가 있든지, 계산공간에 singularity가 있으면 그 해 또한 singularity를 가지게 되고 이로 인해 LS방법뿐만 아니라 통상적인 유한요소법의 모든 방법의 이용이 어렵게 된다. 이를 극복하기 위해 FOSLL*방법이 개발 되었다. FOSLL* 방법은 그 dual 시스템을 고려하여 얻은 근사 해를 일종의 corrector역할을 하는 인자로써 이용하여 regularity가 낮은 근사 해를 찾아 주게 된다.

In the case that the domain has reentrant edges, the standard finite element method loses its global accuracy because of singularities on the boundary. To overcome this difficulty, FOSLL* is applied. FOSLL* is a methodology for solving PDEs using the dual operator. A modified FOSLL* method is developed that employs a partially weighted functional and allows the use of a standard finite element scheme without losing global accuracy.