Image Registration

• Analysis of finite element discretizations of an optimal control formulation of the image registration problem

Image registration은 이미지 프로세싱의 한 분야로써 다양한 분야에서 응용이 이루어지고 있다. 예를 들어 image registration 을 통하여 다른 기계들이 줄 수 있는 각기 다른 정보들을 통합하여 이용이 되고 또한 이미지를 등록함으로써 물질의 변화라든지 어떤 물체를 인식하는 등 천체를 관찰할 때나 지구표면, 컴퓨터 비젼 등을 탐지하고 간파하는데 이용이 된다. 이미지 레지스트레이션의 근본적인 목표는 주어진 두 이미지의 차이를 최대한으로 줄여줄 수 있는 optimal한 transformation(변형함수)을 찾는 것이다. 최적의 변형함수를 찾기 위해서 grid deformation 방법과 Lagrange multiplier를 접목시켜서 표본이미지와 변형된 관찰이미지의 차이의 최소화에 이용하였다. 이 연구 에서는 주어진 두 이미지의 차이를 최소화 시키는 변형함수의 존재성과 유일성을 최적제어 모델을 통하여 증명하였다. 또한 discrete space에서 optimality system의 해의 존재성과 유일성을 증명하였고, 또한 그 근사해의 error estimate를 유도 하였다. Optimality system은 다음의 다섯 개의 편미분 방정식으로 이루어져 있다.

State system :

Adjoint system :

Optimality conditions :

우선 위 방정식들을 이산화시킨 후 적정한 해 공간에서 그 해가 존재함을 보였다. 이론을 통해 그 존재성이 입증된 해들이 실해에 얼마나 가까운지에 대한 분석도 하였다. Image registration에서 이런 최적화 과정을 통하여 변형함수를 찾는 것은 이미 많이 이용되어져 왔다. 하지만 이런 최적화 과정을 통하여 얻어진 해의 이론적 존재성과 error estimate는 이루어 진 적이 없었다. 이 연구를 통하여 grid deformation과 Lagrange multiplier rule이 결합된 image registration 의 한 방법을 제시 하였고 전에 시도된 적이 없었던 discrete해의 존재성과 그 error estimate를 보여 단순히 수치 시뮬레이션을 통해서만 검증되었던 결과들을 이론적으로도 확증하였다.

The goal of image registration is to determine a transformation of an image so that the resulting image is close to another image. We use an optimal control approach to determining the transformation. We precisely define the optimal control problem that solves the image registration problem, and state the optimality system corresponding to that control problem. We then define finite element discretizations of the optimality system and derive error estimates for the approximate solutions. We also define and prove the convergence of a gradient iterative method for the solution of the discrete optimality system.

• An optimal control formulation of an image registration problem

Image registration은 많은 분야에서 응용이 되고 있고 특히 의학적으로 많이 이용이 되고 있다. 예를 들면 image registration 을 통하여 다른 기계들이 줄 수 있는 각기 다른 정보 (한 예로, CT는 bone structure에 관해, MRI 는 soft tissue에 관해)들을 통합하여 실제 환자들의 병을 진단하고 수술에서도 이용이 된다. 또한 이미지를 등록함으로써 물질의 변화라든지 어떤 물체를 인식하는 등 천체를 관찰할 때나 지구표면, 컴퓨터 비전 등을 탐지하고 간파하는데 이용이 된다. 이은정교수와 Max Gunzburger교수는 이 연구에서 표본이미지와 관찰이미지를 가져와 두 이미지를 대응시키는 변형함수를 찾았다. 이것은 관찰이미지를 변형함수에 적용시킴으로써 표본이미지와의 차이를 최소화한다는 의미에서 최적제어 문제라 할 수 있다. 최적의 변형함수를 찾기위해서 deformation 방법과 Lagrange multiplier를 접목시켜서 표본이미지와 변형된 관찰이미지의 차이의 최소화에 이용하였다. 이론적으로 최적해의 존재와 Lagrange multiplier의 존재성을 증명하였고 수치적으로는 2차 공간에서의 성공적인 수치적 계산을 보였다.

The basic idea of image registration is to find a reasonable transformation of an image so that the resulting difference between it and another image is made small. We derive an optimal control method for determining such a transformation; the approach is based on the grid deformation method and seeks to minimize an objective functional that measures the difference between the transformed image and the reference image. The existence of an optimal transformation is proved as is the applicability of the Lagrange multiplier method. Then, an optimality system from which optimal transformations can be obtained is derived.