CALCOLO DELLE PROBABILITA' (CANALE M-Z, 6 cfu)
Primo anno, Secondo semestre (dal 22/02/2021 al 28/05/2021), A.A. 2020/2021: il programma del corso contiene tutti gli argomenti trattati a lezione così come riportato nel Diario delle lezioni.
Co-docente: Prof. Mirko D'Ovidio, email: mirko.dovidio@uniroma1.it, pagina web
Tutor: Dott.ssa Ilaria Bombelli, email: ilaria.bombelli@uniroma1.it
Orario lezioni: Lunedì 10-13, aula 12; Martedì 12-14, aula 12 (Via Scarpa)
Libro di testo:
S. Ross, Calcolo delle Probabilità, terza edizione. Apogeo.
Altri testi di riferimento:
M. D'Ovidio, Appunti di Probabilità e Statistica.
INFO DIDATTICA: leggere attentamente le informazioni che seguono:
1) le lezioni di Calcolo delle Probabilità (M-Z) si svolgeranno in modalità blended (ibrida presenza/distanza) secondo le disposizioni Sapienza: https://www.uniroma1.it/it/notizia/covid-19-fase-3-lezioni-esami-e-lauree-presenza-e-distanza;
2) per seguire le lezioni in presenza lo studente dovrà prenotarsi seguendo le istruzioni riportate nel suddetto link;
3) per seguire a distanza sarà necessario utilizzare la piattaforma Zoom. Per una guida a tale tecnologia è possibile consultare la pagina dedicata: https://www.uniroma1.it/it/pagina/tecnologie-di-facile-utilizzo-supporto-della-didattica-distanza;
4) bisognerà scaricare Zoom Desktop Client dal sito https://uniroma1.zoom.us;
5) prima di cliccare sul link di un corso si deve eseguire l'accesso a servizio uniroma1.zoom.us con le credenziali email Sapienza;
5) l’accesso alla stanza virtuale sarà "esclusivamente" consentito tramite utenza di posta istituzionale (...@studenti.uniroma1.it);
6) il link per accedere alle lezioni a distanza è il seguente:
https://uniroma1.zoom.us/j/87516331747?pwd=SExSd0xweHhGekFmQXVWb0V2SnB1QT09
Modalità d'esame:
L’esame di Calcolo delle Probabilità (canale M-Z) si svolgerà interamente in forma scritta. La prova conterrà due esercizi e 2 domande a risposta libera sulla teoria. Il rifiuto del voto assegnato dovrà avvenire mediante comunicazione per mail al docente entro 48 ore dalla pubblicazione dei risultati dell’esame. In caso contrario varrà il principio silenzio/assenso.
Durante l'esame scritto non è consentito consultare libri ed appunti; è possibile utilizzare soltanto il seguente formulario (per il quale si ringrazia il Prof. San Martini).
Regolamento per lo svolgimento della prova scritta in modalità telematica: link.
Date degli esami di Calcolo delle Probabilità (A.A. 2020/2021):
24 Marzo (straordinario), 07 Giugno, 12 Luglio, 06 Settembre, 21 Ottobre (straordinario)
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Materiale didattico: esami ed altri esercizi sono gentilmente stati messi a disposizione dai seguenti docenti nelle loro pagine web: Prof. Orsingher, Prof. San Martini. Qui trovate vecchi compiti d'esame per ingegneria: esami ingegneria. Consultate anche le prove d'esame con soluzione della sezione Statistica Gestionale. N.B.: siete in grado di svolgere i primi due esercizi di ogni prova.
Appunti di calcolo combinatorio, Esercizi di calcolo combinatorio, Esercizi sulla probabilità di eventi, Esercizi sulle variabili aleatorie
Le slide delle lezioni sono disponibili sulla piattaforma Google Classroom al seguente indirizzo: corso a.a. 2020/2021. Iscriversi al corso mediate le credenziali istituzionali Sapienza, inserendo il codice fornito dal docente.
ESAMI CON SOLUZIONE: cartella esami.
Diario delle lezioni a.a. 2020/2021:
01/03: Fondamenti della probabilità: logico-formale, background intuitivo, applicazioni. Il concetto di incertezza e fenomeni aleatori. Primi esempi intuitivi di probabilità. Definizione di prova, di spazio campionario e di evento. Esempi.
02/03: Eventi ed esempi. Logica degli insiemi: unione, intersezione, negazione, differenza, leggi di De Morgan. Proprietà commutativa, associativa, distributiva. Eventi incompatibili, necessari e partizione dello spazio campionario (e sue applicazioni).
08/03: Interpretazione classica e frequentista della probabilità: discussione e proprietà. Definizione assiomatica di probabilità e discussione della definizione. Prime conseguenze e norme di calcolo: probabilità della negazione, additività finita, monotonia, probabilità della differenza. Primi esempi di calcolo. Evento quasi impossibile e quasi certo.
09/03: Esempi di evento quasi impossibile e quasi certo. Probabilità dell'unione di due eventi non necessariamente incompatibili. Probabilità dell'unione di tre eventi non necessariamente incompatibili. Cenni sula formula di inclusione/esclusione. Probabilità uniforme e definizione classica di probabilità. Esempi.
15/03: Introduzione al calcolo combinatorio e legame con la probabilità uniforme. Principio fondamentale del calcolo combinatorio. Permutazioni semplici e con ripetizione. Disposizioni semplici e con ripetizione. Combinazioni semplici e con ripetizione (cenni). Esempi di calcolo. Coefficiente multinomiale. Esercizi di riepilogo.
16/03: Limite di una successione di eventi crescente o decrescente. Continuità della probaiblità (cenni). Definizione di probabilità condizionata e sua interpretazione classica e frequentista. Discussione della definizione. Probabilità condizionata e assiomi. Legge delle probabilità composta. Regola del prodotto. Esempi ed applicazioni della probabilità condizionata.
22/03: Probabilità condizionata: caso giudiziario. Formula di disintegrazione e legge delle probabilità totali. Teorema di Bayes e sua interpretazione. Applicazioni del teorema di Bayes: affidabilità di un test e paradosso di Monty Hall. Il concetto di indipendenza per due eventi: definizione e discussione. Esempi. Indipendenza per i complementari. Indipendenza per tre eventi. Esempi.
23/03: Indipendenza per n e infiniti eventi. Indipendenza per gli eventi complementari. Esempi di eventi indipendenti. Sotto-esperimenti indipendenti e costruzione di modelli di probabilità mediante sotto-prove indipendenti (distribuzione geometrica). Cenni sull'indipendenza condizionata. Introduzione al problema dell'estrazione casuale da un'urna: estrazioni con e senza ripetizioni.
29/03: Distribuzione binomiale e ipergeometrica. Esercitazione di riepilogo.
30/03: Definizione di variabile aleatoria (v.a.). Primi esempi. Legge di probabilità di una v.a. ed esempi di calcolo. Definizione di funzione di ripartizione e sue proprietà. Calcolo della probabilità per intervalli mediante la funzione di ripartizione. Esempio di funzione di ripartizione.
12/04: Definizione di v.a. discreta: insieme dei valori assunti dalla v.a.. Densità discreta e sue proprietà. Calcolo della legge di probabilità di una v.a. discreta mediante la densità discreta. Esempi di v.a. discreta e calcolo delle densità. Funzione di ripartizione. Famiglie notevoli di variabili aleatorie discrete: degenere, uniforme discreta, di Bernoulli.
13/04: Famiglie notevoli di variabili aleatorie discrete: binomiale, geometrica, binomiale negativa, Poisson, ipergeometrica. Esercizio di riepilogo.
19/04: Media di v.a. discrete. Calcolo esplicito di alcune medie, commenti e discussioni.
20/04: Variabili aleatorie continue, funzione di ripartizione e densità. Discussione sulla continuità e probabilità dei punti. Media per v.a. continue. Media di Y=g(X) per v.a. continue e discrete. Momenti. Varianza. Proprietà della media (linearità, media del prodotto). Vettore aleatorio, discussione. Funzioni di ripartizione congiunte e densità congiunte (caso 2-dim). Variabili continue: uniforme, esponenziale, normale.
26/04: Variabile continua Gamma, funzione gamma e sue proprietà. Trasformazioni (da 1 a 1) per v.a. continue, esempi, esercizi.
27/04: Discussioni e osservazioni sulla trasformazioni per v.a. continue. Trasformazioni (da 1 a 1) per v.a. discrete, esempi, esercizi. Derivata di una funzione integrale, esempi. Trasformazione lineare e standardizzazione per v.a. Normale. Discussione sulla media e sulla varianza.
03/05: Covarianza, discussione sulla dipendenza e sulla dipendenza lineare, analisi grafica. Varianza di una somma e covarianze. Somma di v.a. di Poisson, discussione e applicazioni. Somme di v.a.: esercizi. Somme di v.a. Esponenziali e v.a. Gamma.
04/05: Trasformazione lineare e standardizzazione di una v.a. Normale. Discussione sulla varianza. Variabile Degenere. Discussione sugli integrali doppi e argomenti collegati, chiarimenti e riflessioni.
10/05: Successioni di v.a. e teoremi limite. Convergenza in distribuzione. Convergenza in probabilità. Collegamenti tra convergenze e v.a. degenere. Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione). Dis. di Markov (Cebicev) con dimostrazione. Esercizi sulle convergenze.
11/05: Esercizi sulle convergenze. Convergenza della v.a. media campionaria nel caso di v.a. non i.d.
17/05: Esercizi sulla convergenza di variabili aleatorie. Esercizi sulla differenza di variabili aleatorie.
18/05: Esercizi sulla trasformazione di una variabili aleatorie. Esercizio su massimo e minimo di due variabili aleatorie.