Secondo anno, Primo semestre (dal 05/10/2020 al 18/12/2020), A.A. 2020/2021: il programma del corso di Probabilità e di Laboratorio è costituito dagli argomenti svolti a lezione, così come riportato nel Diario che trovate in fondo alla pagina.
Orario lezioni Probabilità e Laboratorio:
Lunedì 10-12, aula I
Martedì 08-10, aula I
Mercoledì 08-10, aula I
Martedì (Lab) 10-12, aula I
RECUPERI LEZIONI: Probabilità, Giovedì 8-10; Laboratorio di Probabilità, Mercoledì 10-12.
Libri di testo consigliati:
P. Baldi, Calcolo delle probabilità, seconda edizione. McGraw-Hill, 2011.
G. Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, terza edizione. Zanichelli, 2003.
AVVISO TUTORAGGIO: tutti i giovedì dalle ore 10 alle ore 12, a partire dal 12/11, si svolgerà il tutoraggio per il corso di Probabilità (tenuto dalla Dott.ssa Costanza Giardini). Il link per l'aula Zoom è il seguente: https://uniroma1.zoom.us/j/89858785450?pwd=b0RUamRHQTQ2QkFRMkdtNHVMQnV4QT09
Cartella esercizi tutoraggio: tracce
INFO DIDATTICA: leggere attentamente le informazioni che seguono:
1) le lezioni di Probabilità e di Laboratorio di Probabilità si svolgeranno in modalità blended (ibrida presenza/distanza) secondo le disposizioni Sapienza: https://www.uniroma1.it/it/notizia/covid-19-fase-3-lezioni-esami-e-lauree-presenza-e-distanza;
2) per seguire le lezioni in presenza lo studente dovrà prenotarsi seguendo le istruzioni riportate nel suddetto link;
3) per seguire a distanza sarà necessario utilizzare la piattaforma Zoom. Per una guida a tale tecnologia è possibile consultare la pagina dedicata: https://www.uniroma1.it/it/pagina/tecnologie-di-facile-utilizzo-supporto-della-didattica-distanza;
4) bisognerà scaricare Zoom Desktop Client dal sito https://uniroma1.zoom.us;
5) l’accesso alla stanza virtuale sarà "esclusivamente" consentito tramite utenza di posta istituzionale (...@studenti.uniroma1.it);
6) il link per accedere alle lezioni (Probabilità/Laboratorio) a distanza è il seguente:
https://uniroma1.zoom.us/j/84418879012?pwd=ZDVRRzZaSDMxMU42K055SEc4Y1p5QT09
Regolamento per lo svolgimento della prova scritta in modalità telematica: link.
Modalità d'esame Probabilità:
1) L'esame prevede due prove: una scritta (3 esercizi) ed una orale. Lo studente accede all'esame orale solo dopo aver superato la prova scritta.
2) Lo studente può scegliere di sostenere la prova orale nell'appello immediatamente successivo a quello relativo all'esame scritto. Fa eccezione l'appello di settembre: le due prove vanno sostenute nella stessa sessione.
E' necessario ogni volta iscriversi all'esame tramite Infostud. La data dell'esame orale sarà comunicata tramite la pagina web del corso contemporanemente alla pubblicazione dei risultati della prova scritta.
3) Durante l'esame scritto non è consentito consultare libri ed appunti; è possibile utilizzare soltanto il seguente formulario (per il quale si ringrazia il Prof. San Martini).
4) Sono previste due prove d'esonero (metà e fine corso): lo studente potrà sostenere direttamente l'esame orale (appello di Gennaio o di Febbraio) qualora consegua una votazione sufficiente in entrambe le prove d'esonero. Le prove d'esonero sono ritenute valide solo per gli appelli di Gennaio e di Febbraio (QUEST'ANNO NON SONO PREVISTI ESONERI).
5) Tutti coloro che hanno superato gli esoneri possono partecipare alle prove scritte generali; la consegna del compito annulla il voto degli esoneri.
Modalità d'esame Lab: discussione di un argomento a piacere tra quelli presenti nel programma. Tale prova deve essere sostenuta contemporaneamente all'esame orale del corso di Probabilità.
Date degli esami (prova scritta) di Probabilità 2021:
I appello: 13/01
II appello: 08/02
I appello straordinario: 25/03
III appello: 10/06
IV appello: 08/07
V appello: 07/09
II appello straordinario: 22/10
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Materiale didattico: vecchi compiti d'esame ed altri esercizi sono gentilmente stati messi a disposizione dai seguenti docenti nelle loro pagine web: Prof. Orsingher, Prof. San Martini
Richiami di matematica, Esercizi sugli eventi, Appunti di calcolo combinatorio, Esercizi di calcolo combinatorio, Esercizi sugli spazi di probabilità, Esercizi sulle variabili aleatorie 1, Esercizi sulle variabili aleatorie 2, Esercizi sulle convergenze
Prove scritte con soluzione:
18/01/2016, 15/02/2016, 31/03/2016, 14/06/2016, 12/07/2016, 07/09/2016, 26/10/2016
esonI-09/11/2016, esonII-09/01/2017, 18/01/2017, 10/02/2017, 03/04/2017, 09/06/2017, 10/07/2017, 11/09/2017, 25/10/2017
esonI-10/11/2017, esonII-08/01/2018, 19/01/2018, 12/02/2018, 05/04/2018, 04/06/2018, 04/07/2018, 10/09/2018, 26/10/2018
esonI-06/11/2018, esonII-07/01/2019, 17/01/2019, 12/02/2019, 04/04/2019, 05/06/2019, 03/07/2019, 10/09/2019, 18/10/2019
esonI-12/11/2019, esonII-07/01/2020, 14/01/2020, 10/02/2020, 04/05/2020, 12/06/2020, 09/07/2020, 08/09/2020, 23/10/2020
13/01/2021, 08/02/2021, 25/03/2021, 10/06/2021, 08/07/2021, 08/09/2021, 25/10/2021
Diario delle lezioni a.a. 2020/2021:
05/10: Fondamenti della probabilità: contenuto logico-formale/assiomi, background intuitivo, applicazioni. Il concetto di incertezza e cenni storici. Quantificare l'incertezza e primi esempi intuitivi sul concetto di probabilità.
06/10: Definizione di prova, spazio campionario, evento, evento elementare. Esempi. Algebra degli insiemi: evento certo, evento impossibile e negazione di un evento.
06/10 (Lab): Algebra degli insiemi: unione ed intersezione di eventi, sottoinsieme, differenza, leggi di De Morgan, eventi incompatibili e necessari, partizione, proprietà commutativa, associativa, distributiva. Esempio.
07/10: Successione di eventi crescente e decrescente. Limite di successioni monotone ed intuizione: esempi. Il concetto di liminf, limsup e limite per successioni di eventi non necessariamente monotone.
12/10: Descrizione del liminf e del limsup. Richiami sulla cardinalità degli insiemi. Definizione di algebra e di sigma-algebra e loro proprietà. Famiglia degli eventi e sigma-algebra.
13/10: Proprietà della classe degli eventi e chiusura rispetto all'unione e all'intersezione numerabile. Cenni sulla sigma-algebra di Borel. Interpretazione della probabilità classica, frequentista e soggettiva (cenni).
13/10 (Lab): Esercizi ed esempi su spazio campionario, eventi, logica degli eventi e sigma-algebra.
14/10: Assiomi di Kolmogorov e definizione di probabilità. Prime conseguenze degli assiomi (additività finita) e discussione. Spazio di probabilità ed esempi. Norme di calcolo: probabilità del complementare, monotonia, probabilità della differenza. Evento quasi impossibile e quasi certo.
19/10: Esempio di evento quasi certo e quasi impossibile. Spazi di probabilità uniformi e definizione classica di probabilità. Calcolo combinatorio: legge fondamentale del calcolo. Permutazioni semplici: esempi.
20/10: Permutazioni con ripetizione, disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici e con ripetizione, binomio di Newton. Esempi di calcolo combinatorio e di probabilità uniforme mediante l'utilizzo l'analisi combinatoria.
20/10 (Lab): Esercizi su eventi e sul calcolo combinatorio. Paradosso dei compleanni (programma lab).
21/10: Combinazioni con ripetizione (cenni). Coefficiente multinomiale ed esempi. Continuità della probabilità: dal basso, dall'alto e generale. Probabilità dell'unione di due eventi.
26/10: Probabilità dell'unione due e tre eventi: dimostrazione. Formula di inclusione-esclusione (senza dimostrazione). Disuguaglianza di Boole. Definizione ed interpretazione di probabilità condizionata. Osservazioni ed esempi.
27/10: Probabilità condizionata come misura di probabilità. Legge delle probabilità composte e regola della catena. Esempi. Teorema di disintegrazione e delle probabilità totali. Teorema di Bayes e sua interpretazione.
27/10 (Lab): Il problema delle concordanze (programma lab). Un caso giudiziario (programma lab). Esercizi sulla probabilità condizionata.
28/10: Affidabilità di un test e Teorema di Bayes. Indipendenza per due eventi ed esempi. Indipendenza delle negazioni di eventi. Indipendenza per tre ed n eventi. Indipendenza per un'infinità numerabile di eventi.
02/11: Indipendenza per gli eventi complementari (dimostrazione cenni). Esempi. Sotto-esperimenti indipendenti ed esempi di costruzione di spazi di probabilità mediante prove indipendenti. Definizione di eventi condizionatamente indipendenti. Estrazioni da un'urna con ripetizione e senza reinserimento.
03/11: Schema delle prove ripetute e distribuzione binomiale. Distribuzione ipergeometrica. Definizione di variabile aleatoria (v.a.) e misurabilità. Esempi. Probabilità indotta da una v.a. su R e dimostrazione sulla validità degli assiomi. Distribuzione di probabilità di una v.a..
03/11 (Lab): Il paradosso di Monty Hall (programma). Enunciato del Lemma di Borel-Cantelli e paradosso della scimmia di Borel (programma lab). Esercizi sull'indipendenza.
04/11: Esempi sul calcolo delle probabilità indotte. Funzione di ripartizione (f.r.): definizione e proprietà. Calcolo delle probabilità di boreliani tramite la f.r.: intevalli e punti reali. Enunciato del teorema di caratterizzazione di una f.r..
09/11: Esempi di fr.. Definizione di variabile aleatoria discreta e insieme immagine. Densità discreta e sue proprietà. Caratterizzazione della legge di una v.a. discreta mediante la densità discreta. Esempi.
10/11: Funzione di ripartizione per una v.a. discreta ed esempio: funzioni a gradini e ampiezza salti. Famiglie di variabili discrete: degenere, uniforme, Bernoulli, binomiale, geometrica.
10/11 (Lab): Esercizi su variabili aleatorie discrete. Il problema delle lotterie (programma lab).
11/11: Famiglie di variabili discrete: f.r. di una geometrica e proprietà di assenza di memoria, binomiale negativa, Poisson ed interpretazione come approssimazione di una binomiale, ipergeometrica. Esercizio di riepilogo.
16/11: Richiami: funzione C^1 a tratti, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizione di v.a. assolutamente continua, funzione di densità e sue proprietà. Legge di una v.a. aleatoria assolutamente continua. Interpretazione della densità come massa di probabilità.
17/11: Famiglie notevoli di variabili aleatorie assolutamente continue: uniforme, esponenziale (mancanza di memoria), gamma, normale e gaussian standardizzata, beta. Calcolo della densità di una v.a. continua.
17/11 (Lab): Esercizi sulla densità ed il calcolo della funzione di ripartizione
18/11: Misture di variabili aleatorie: esempio. Funzioni di variabili aleatorie e determinazione della legge di probabilità. Calcolo delle densità discreta di una trasformazione discreta. Determinazione della f.r. e della densità di una trasformazione assolutamente continua. Teorema della funzione monotona. Esempi.
18/11 (Lab): Tempi di attesa e distribuzione di Weibull (programma lab). Distribuzione del max(X,0) dove X è una v.a. Un(-1,1) (programma lab). Esercizi su trasformazioni di v.a..
19/11: Dimostrazione del Teorema della funzione monotona. Esempio. Trasformazioni lineari e normale standardizzata. La distribuzione di X^2 e chi quadro con un grado di libertà. Definizione di valore atteso per una v.a. discreta.
23/11: Interpretazione del valore atteso come baricentro e mediante l'impostazione frequentista. Calcolo della media per distribuzioni notevoli: bernoulliana, uniforme, degenere, binomiale, Poisson, geometrica. Definizione di valor medio per una v.a. assolutamente continua. Calcolo della media per una: Cauchy, uniforme, esponenziale, gamma. Proprietà della media.
24/11: Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie. Esempio. Proprietà di linearità della media. Momenti e momenti centrati. Varianza e sua interpretazione come indice di dispersione della distribuzione. Diseguaglianza di Markov-Cebicev.
24/11 (Lab): Esercizi su trasformate di una v.a. e sul calcolo del valore atteso.
25/11: Discussione sulla diseguaglianza di Cebicev. Distribuzione degenere e varianza. Proprietà della varianza: varianza di una trasformazione lineare e minimo della distanza da un punto. Calcolo della varianza per una: gaussiana, esponenziale, gamma, uniforme, Poisson, Bernoulli, binomiale, uniforme discreta. Definizione di vettore aleatorio k-dimensionale. Cenni sulla classe di Borel k-dimensionale e legge di probabilità di un vettore aleatorio.
25/11 (Lab): Determinazione della distribuzione di Cauchy (programma lab). Approfondimenti sulla diseguaglianza di Cebicev. Esercizi su momenti e calcolo della varianza di una binomiale.
26/11: Legge di probabilità per vettori aleatori. Funzione di ripartizione di una v.a. bidimensionale e sue proprietà. Funzioni di ripartizione marginali. Vettori aleatori discreti (k=2). Densità discreta congiunta e distribuzione di probabilità. Densità discrete marginali. Esempio.
30/11: Distribuzione trinomiale. Richiami sugli integrali doppi: formula di riduzione. Variabile aleatoria assolutamente continua bidimensionale: definizione, funzione di densità e legge di probabilità. Calcolo per rettangoli ed interpretazione della densità.
01/12: Densità marginali. Esempio di calcolo della probabilità per vettori assolutamente continui. Distribuzione uniforme in una regione del piano. Uguaglianza, uguaglianza q.c. e in distribuzione per due variabili aleatorie. Indipendenza e condizione necessaria e sufficiente. Condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza di variabili discrete.
01/12 (Lab): Esercizi su vettori aleatori.
02/12: Densità discreta condizionata ed esempio. Condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza di variabili assolutamente continue. Densità condizionata ed interpretazione. Esempi. Funzioni di vettori aleatori. Indipendenza per trasformazioni di variabili aleatorie. Calcolo della densità di una trasformazione di un vettore aleatorio discreto.
02/12 (Lab): Esempi su indipendenza, marginali e densità condizionata. Marginali di una distribuzione uniforme in un triangolo (programma lab).
03/12: Calcolo della densità di una trasformazione di un vettore aleatorio assolutamente continuo. Studio del max e del min di n variabili aleatorie. Somma di due v.a. e formula di convoluzione. Somma di gaussiane (senza dim) e di variabili gamma indipendenti.
07/12: Somma di Poisson, binomiali (senza dim), geometriche. Valor medio di una variabile aleatoria multidimensionale. Media di una funzione di un vettore aleatorio. Proprietà delle media: linearità, monotonia, prodotto. Definizione di covarianza.
09/12: Interpretazione della covarianza come indice di dipendenza lineare. Coefficiente di correlazione lineare. Varianza della somma di variabili aleatorie. Varianza della binomiale e della binomiale negativa. Media di una ipergeometrica. Media condizionata e cenni sulla sua interpretazione come v.a..
09/12 (Lab): Densità triangolare (programma lab). Esercizi su trasformazioni di vettori aleatori.
10/12: Introduzione alla convergenza in distribuzione (c.i.d.) per successioni di variabili aleatorie. Definizione e primi esempi. Teorema di caratterizzazione della c.i.d (senza dim.), teorema per funzioni continue e per la convergenza delle coordinate di un vettore aleatorio. Esempio.
14/12: Convergenza quasi certa (c.q.c.). Proprietà e c.q.c. per funzioni continue. Teorema di caratterizzazione della c.q.c. (senza dim). Esempi. Convergenza in probabilità (c.p.) e sua interpretazione. Proprietà della c.p. e c.p. per funzioni continue. Relazione tra le tre convergenze.
15/12: Teorema di Slutsky (senza dim). Introduzione alla legge dei grandi numeri (lgn) e media campionaria. Legge debole dei grandi numeri e legge forte (quest'ultima senza dim). Teorema di Cebicev. Interpretazione della lgn e teorema di Bernoulli. Metodo Montecarlo. Cenni sulla funzione generatrice dei momenti (f.g.m.): definizione e proprietà.
15/12 (Lab): Esercizi sulle convergenze e sulla lgn.
16/12: Esempi di f.g.m.: bernoulli, gamma, normale. Introduzione al teorema del limite centrale (tlc). Enunciato e dimostrazione. Interpretazione del tlc e legame con la lgn. Esempi (De Moivre-Laplace) ed applicazioni.