PROCESSI STOCASTICI PER LA FINANZA E LE ASSICURAZIONI (6 cfu) - Laurea Magistrale in Scienze Attuariali e FinanziariePrimo anno, secondo semestre (26/02/2025 al 30/05/2025), A.A. 2024/2025: il programma del corso è costituito dagli argomenti svolti a lezione, così come riportato nel Diario che si trova in fondo alla pagina.
Obiettivi formativi: durante il corso saranno introdotti alcuni strumenti avanzati per lo studio dei processi aleatori e delle loro applicazioni in ambito attuariale e finanziario. In particolare sarà discusso il legame tra le equazioni differenziali alle derivate parziali e i funzionali del moto Browniano (ad esempio, verrà introdotto il funzionale di Feynman-Kac). In seguito saranno definiti i processi di Lévy e le diffusioni con salti, che rappresentano uno strumento molto utile nelle applicazioni.
Materiale didattico: consultare la seguente pagina e-learning https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=19591
Orario lezioni: Martedì (Aula 13), ore 8-10 - Mercoledì (Aula V), ore 10-12.
Libri di riferimento:
R. Cont, P. Tankov, Financial modeling with jump processes, Chapman & Hall 2004
S.E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Springer 2004
J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000
Modalità d'esame: la prova d'esame prevede la discussione di due tesine sugli argomenti del corso. Gli studenti svilupperanno mediante approfondimenti autonomi le tematiche assegnate (le tracce delle tesine sono disponibili qui https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=19591). Gli elaborati dovranno essere inviati al docente entro la scadenza dei termini per l'iscrizione all'esame.
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Diario delle lezioni A.A. 2024/2025:
04/03: Alcuni richiami sui processi aleatori: spazio filtrato, definizione di processo aleatorio, definizione di moto Browniano, definizione di martingala. Estensione dello spazio delle funzioni integrabili secondo Ito mediante le funzioni di quadrato integrabile q.c. Definizione di tempo di arresto.
05/03: Definizione di martingala locale e alcune proprietà: integrale stocastico, martingala limitata, martingala locale con variazione finita. Equazioni differenziali alle derivate parziali: alcuni cenni teorici. Equazione del calore o di diffusione e problema di Cauchy associato. Determinazione della soluzione mediante metodi analitici: trasformata di Fourier.
11/03: Determinazione (mediante il prodotto di convoluzione di funzioni) dell'equazione del calore e interpretazione in termini stocastici rispetto a funzionali del moto Browniano. Analisi del problema di Cauchy associata all'equazione di diffusione e soluzioni classiche. Soluzione come martingala locale. Unicità della soluzione enunciato e teorema di convergenza per martingale (solo enunciato).
12/03: Dimostrazione unicità. Verfiica dell'esistenza della soluzione classica per il problema di Cauchy associato all'equazione del calore. Osservazione sul rilassamento dell'ipotesi di limitatezza della condizione iniziale ed estensione al caso multidimensionale. Equazione del calore generalizzata e legame con il modello di Black-Scholes-Merton (BSM).
18/03: Equazione parabolica a coefficienti costanti: metodo dei moltiplicatori e soluzione mediante l'equazione del calore. Applicazione: equazione di BSM e determinazione della soluzione. Moto Browniano ucciso: definizione.
19/03: Moto Browniano ucciso e valor atteso di un suo funzionale come soluzione di un'equazione diffusiva generalizzata. Il problema di Feynman-Kac. Formula di Feynman-Kac come valore atteso di un opportuno funzionale: esistenza ed unicità della soluzione e condizioni su f e c.
25/03: Condizione iniziale per il problema di Feynman-Kac e soluzione dell'equazione associata (senza dimostrazione). Generalizzazione della formula di Feynma-Kac per funzioni continue a tratti e riduzione dell'equazione alle derivate parziali mediante la trasformata di Laplace. Applicazione: Il tempo di permanenza del moto Browniano su valori positivi.
26/03: Dimostrazione della legge dell'arcsin di Lévy mediante il Teorema di Feynma-Kac. Processi di diffusione: drift e coefficiente di diffusione e loro interpretazione. Equazioni di Kolmogorov in avanti e all'indietro per i processi diffusivi. Equazione differenziale stocastica e sua soluzione come processo di diffusione.
01/04: Introduzione ai processi di Lévy. Convoluzione di misure e loro proprietà. Radice n-esima di convoluzione: esempio sulla legge gamma. Variabili aleatorie infinitamente divisibili: definizione. Condizioni equivalenti sull'infinita divisibilità.
02/04: Dimostrazione delle condizioni equivalenti sull'infinita divisibilità. Definizione di misura infinitamente divisibile e sua caratterizzazione tramite la funzione caratteristica. Esempi: gaussiana, Poisson, Poisson composto, somma di una gaussiana e di un Poisson composto. Definizione di misura di Lévy. Teorema di Levy-Khintchine: enunciato.
09/04: Misura di Lévy e discussione. Teorema di Levy-Khintchine: dimostrazione. Caratteristiche della distribuzione infiinitamente divisibile ed esempi: gaussiana, Poisson, Poisson composto. Esponente di Lévy. Teorema sulla convergenza debole di misure di Poisson composto ad una legge infinitamente divisibile: enunciato.
15/04: Dimostrazione teorema sulla convergenza debole. Definizione di funzione càdlàg. Definizione di processo di Lévy e discussione della definizione. Legge infinitamente divisibile di un processo di Lévy (caratterizzazione). Funzione caratteristica e simbolo di Lévy
16/04: Dimostrazione della funzione caratteristica per un processo di Lévy. Esempi di processi di Lévy. Moto Browniano e moto Borwniano con drift. Definizione di processo di Poisson. Legge dell'istante dell'n-esimo salto. Legge di un processo di Poisson. Processo di Poisson compensato e martingala.
29/04: Processi di Poisson come processo di Lévy: incrementi indipendenti e stazionari, continuità stocastica. Distribuzioni finito dimensionali del processo di Poisson e funzione caratteristica. Definizione di processo di Poisson composto. Funzione caratteristica e martingalità del processo.
30/04: Processo di Poisson composto e dmostrazione delle proprietà del processo di Lévy. Processi auto-simili e auto-simili in senso ampio. Definizione di processi stabili e strettamente stabili. Definizione equivalente e teorema del limite centrale generalizzato. Indice di stabilità. Variabili stabili, inifinatamente divisibili e funzione caratteristica al variare dell'indice di stabilità.
06/05: Funzione di densità esplicita di variabili stabili al variare dei parametri: gaussiana, Cauchy, legge di Lèvy. Processi di Lévy stabili e strettamente stabili: definizione. Esempi. Autosimilarità dei processi e stabilità: risultato di equivalenza. Martingalità di processi di Lévy esponenziali.
07/05: Dimostrazione per martingala esponenziale e centrate. Processi di Markov e funzioni di transizione: richiami. Proprietà di Markov per processi di Lévy. Propietà di omogeneità temporale. Introduzione allo studio dei salti di un processo di Lévy.
13/05: Misura dei salti di un processo di Lévy: definizione ed intensità. Discussione ed interpretazione. Misura finita su insiemi limitati dal basso, tempi di salto e processo di Poisson. Misura aleatoria di Poisson e misura compensata. Integrale di una funzione rispetto alla misura dei salti.
14/05: Integrale di Poisson: definizioni alternative ma equivalenti. Proprietà dell'integrale di Poisson: legge di Poisson composto, momenti, processo di Poisson composto. Integrale di Poisson compensato.
20/05: Definizione di salti grandi e dei salti piccoli di un processo di Lévy mediante gli integrali di Poisson. Intensità come misura di Lévy e funzione caratteristica dell'integrale compensato dei salti infinitesimi. Enunciato del Teorema di decomposizione di Lévy-Ito e discussione delle componenti del processo.
21/05: Funzione caratteristica di un processo di Lévy come applicazione del teorema di decomposizione. Processi a variazione finita e condizioni; costruzione di un processo con salti. Risultati sulle traiettorie di un processo di Lévy a seconda delle caratteristiche della misura (enunciato): traiettorei continue, costanti a tratti, tempi di salto densi. Esempi.
22/05: I processi stabili e loro caratteristiche. Le diffusioni con salti (modelli di Merton e Kou) e generalizzazione della modellazione finziaria di Black-Scholes. Il modello per lo studio del capitale di una compagnia assicurativa e processi di Lévy.
27/05: Definzione di subordinatore e caratterizzazione (solo enunciato) medinate l'esponente di Laplace. Osservazioni generali. Esempi: processi di Poisson e Poisson composto, subordinatori stabili, tempi di primo passaggio di processi gaussiani inversi.
28/05: Subordinatore gamma. Composizione tra un processo di Lévy e un subordinatore: costruzione di altri processi di Lévy (dimostrazione stazionarietà). Esempi di processi subordinati: processi 2\alpha-stabili e processi con varianza gamma.