PROCESSI STOCASTICI (9 cfu) - Laurea in Statistica, Economia, Finanza e Assicurazioni
Terzo anno, primo semestre (23/09/2024 al 20/12/2024), A.A. 2024/2025: il programma del corso di Processi Stocastici è costituito dagli argomenti svolti a lezione, così come riportato nel Diario che si trova in fondo alla pagina.
Obiettivi formativi: durante il corso sarà ampiamente discussa la teoria dei processi aleatori a tempo continuo. In particolare, il Moto Browniano ed il Calcolo Stocastico rappresenteranno gli argomenti principali delle lezioni. Tali strumenti sono fondamentali per la comprensione delle moderna Finanza Quantitativa e delle Scienze Attuariali. Inoltre, saranno messi in evidenza gli aspetti intuitivi e applicativi delle tematiche introdotte durante il corso.
Orario lezioni: Lunedì, Martedì e Giovedì (Aula XIII), ore 8-10. A partire dall'18/11: Martedì ore 12-14 (Aula V), Giovedì ore 8-10 (Aula XIII) e ore 12-14 (Aula XIV).
Libri di riferimento:
P. Baldi, Stochastic Calculus, Springer 2017
S.E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Springer 2004
J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000
D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge 1991
Per ulteriori approfondimenti sulle applicazioni finanziarie consultare:
S.M. Iacus, Option Pricing and Estimation of Financial Models with R, Wiley 2011
J. C. Hull, Opzioni, Futures e altri derivati, Pearson 2022
Modalità d'esame: verifica scritta e orale sul programma svolto a lezione. La prova scritta prevede domande a risposta aperta; durante la prova orale vengono discussi gli argomenti dell'esame scritto ed ulteriori approfondimenti. Sono, inoltre, previste due prove di esonero durante il corso, le quali consentiranno, in caso di esito positivo, di accedere direttamente all'esame orale. Qui trovate le tracce dei vecchi esoneri: prove itinere.
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Diario delle lezioni A.A. 2024/2025:
23/09: Introduzione e primi esempi di processi aleatori. Definizione di algebra e sigma-algebra. Conseguenze delle definizioni e relazioni tra le due famiglie di insiemi. Esempi: banale, insieme delle parti. Spazio misurabile.
24/09: Sigma-algebra di Borel e esempi di boreliani. Definizione di misura e di misura di probabilità. Discussione deglia assiomi. Conseguenze della definizione: additività finita, monotonia, sub-additività, continuità dall'alto e dal basso, misura dell'unione di insiemi. Spazio di misura e di probabilità. Primi esempi: misura di Dirac, di conteggio, probabilità uniforme.
26/09: Esempi di spazi di probabilità: misura discreta, misura di Lebesgue. Funzioni misurabili, di Borel e controimmagine. Esempi di funzioni misurabili. Definizione equivalente di misurabilità. Definizione di variabile aleatoria. Funzione indicatrice. Misura di probabilità indotta su R e funzione di ripartizione.
30/09: Teoremi di caratterizzazione di una misura di probabilità mediante la fuzione di ripartizione (senza dimostrazione). Misura di Lebesgue-Stiltjes. Sigma-algebra generata da una variabile aleatoria e collegamento con i processi stocastici: discussione ed esempi. Definizione di indipendenza per sigma-algebre.
01/10: Definzione di indipedenza per varaibili aleatorie ed eventi. Equivalenza con la definizione di indipendenza basata sulla funzione di ripartizione. Esempio. Introduzione all'integrale di Lebesgue, valor medio e richiami sull'integrale di Riemann. Programma standard e integrale di Lebesgue per funzioni indicatrici.
03/10: Definizione di funzioni semplici, integrale di Lebsegue e proprietà (linearità). Definizione di integrale di Lebesgue per funzioni misurabili e non negative. Costruzione attraverso il teorema della convergenza monotona e successioni di funzioni semplici approssimanti dal basso. Parte positiva e negativa di una funzione ed integrale di Lebsegue per funzioni misurabili. Condizione per l'integrabilità e spazio L^1.
07/10: Integrale di un insieme misurabile. Uguaglianza tra due funzioni rispetto all'integrale di Lebesgue. Misura costruita attreverso l'integrale su un insime e Teorema di Radon-Nikodym. Derivata di Random-Nikodym e funzione di densità per variabili aleatorie assolutamente continue. Definizione di valor medio e di momenti. Teorema del cambio di variabile. Corollari sulle variabili assolutamente continue e quelle discrete. Esempio.
08/10: Dimostrazione del Teorema sul cambio di variabile. Estensione n-dimensionali della misura di Lebsegue e della legge di probabilità di un vetore aleatorio: cenni. Richiami sulla funzione caratteristica di una variabile aleatoria. Esempi. Indipendenza di n variabili aleatorie tramite la funzione caratteristica.
10/10: Definizione di normale multivariata. Caretterizzazione mediante la funzione caratteristica. Indipendenza delle coordinate gaussiane. Funzione di densità per una normale in R^n. Gaussiana e sue coordinate gaussiane e loro indipendenza tramite la matrice di covarianza. Definizione di filtrazione e spazio filtrato. Definizione di processo stocastico.
14/10: Controesempio gaussiana multivariata. Osservazioni sulla definizione di processo stocastico: intepretazione della filtrazione, traiettoria, spazio degli stati. Definizione di distribuzione finito-dimensionale per un processo aleatorio. Introduzione al moto Browniano. Approccio euristico mediante una passeggiata aleatoria semplice e simmetrica.
15/10: Caratteristiche della passeggiata aleatoria ed approssimazione del moto Browniano attraverso la convergenza in distribuzione della posizione della particella. Definizione di moto Browniano a valori in R. Conseguenze della definizione: indipendenza degli incrementi, stazionarietà, moto Browninano come processo gaussiano, momenti. Teorema di caratterizzazione del moto Browniano: enunciato.
17/10: Teorema di caratterizzazione del moto Browniano: dimostrazione. Leggi finito-dimensionali per il moto Browninano: densità del vettore gaussiano (con condizione di esistenza), funzione caratteristica e dimostrazione.
21/10: Analisi delle traiettorie del moto Browniano. Versione continua e criterio di Kolmogorv. Invarianza del moto Borwniano rispetto alla riflessione, al riscalamento diffusivo e alla traslazione temporale o rinnovamento. Variazione di una funzione e discussione. Variazione del moto Browniano (intepretazione) e variazione quadratica.
22/10: Dimostrazione sulla variazione. Interpretazione della variazione quadratica del moto Browniano mediante la legge dei grandi numeri ed approccio euristico. Traiettorie non differenzaibili q.c. (senza dimostrazione) e costruzione mediante il fiocco di von Koch. Definizione di tempo di arresto e di sigma-algebra stoppata. Primi esempi: tempo deterministico e tempo di primo ed ultimo passaggio per una passeggiata aleatoria.
24/10: Esempi di tempi di arresto per il moto Browniano: tempo di prima uscita da un insieme. Proprietà dei tempi di arresto. Variabile aletoria stoppata (senza dimostrazione). Discussione della markovianità semplice per il moto Browniano e rinnovo delle traiettorie. Proprietà di Markov forte e teorema di arresto per il moto Browniano.
28/10: Conclusione dimostrazione markovianità forte. Principio di riflessione: discussione intuitiva e formale. La distribuzione del massimo del moto Browniano. Massimo e minimo del moto Browniano e moto Browniano riflettente: legge di probabilità. Introduzione alla media condizionata rispetto ad una sigma-algebra.
29/10: Esempio introduttivo sulla media condizionata basato su due v.a. discrete. Definizione di media condizionata rispetto ad una sigma-algebra (e teorema per esistenza e unicità q.c. senza dimostrazione). Osservazioni generali. Congruenza della definizione con la definizione di media condizionata per due v.a. assolutamente continue.
31/10: Proprietà della media condizionata: linearità, torre, indipendenza (queste sono con dimostrazione), misurabilità, non negatività, convergenza monotona, diseguaglianza di Jensen (senza dimostrazione). Esempi: media condizionata rispetto alla sigma-algebra banale, media condizionata per il moto Browniano.
11/11: Definizione di martingala, supermartingala e submartingala e discussione delle proprietà. Martingala a tempo discreto. Osservazioni sul concetto di martingala e sulla costruzione di submartingale. Esempi: moto browniano, passeggiata aleatoria, trasformazioni esponenziali del moto browniano.
12/11: Il sup di martingale e submartingale a tempo discreto: diseguaglianza di Doob I-II e III (quest'ultima senza dimostrazione). Versione per martingale continue (senza dimostrazione).
14/11: Funzione di transizione di Markov e definizione di processo di Markov. Osservazioni: discussione della markovianità di un processo e della legge di transizione. Moto Browniano: dimostrazione della proprietà di Markov e determinazione della funzione di transizione.
19/11: Funzione di transizione del moto Browniano ed equazione di Chapman-Kolmogorov. Densità di transizione del moto Browniano e leggi finito dimensionali. Omogeneità temporale di un processo di Markov ed omegeneità spaziale. Discussione dell'omogeneirà per il moto Browniano. Definizione di processo di Markov forte.
21/11: introduzione al calcolo stocastico: modello di crescita della popolazione e costruzione euristica di un'equazione differenziale stocastica (EDS). Integrale stocastico di Ito: discussione ed approcci classici. Funzioni integrabili secondo Ito (H^2). Definizione dell'integrale di Ito per funzioni indicatrici.
21/11: Funzioni o processi semplici. Integrale di Ito per funzioni semplici. Breve discussione di alcune proprietà dell'integrale. L'isometria di Ito. Richiami su norme e spazi normati L^2. Funzioni semplici approssimanti una funzione integrabile secondo Ito. Definizione di integrale stocastico per funzioni in H^2.
26/11: Proprietà di isometria per integrali stocastici su funzioni integrabili H^2. Proprietà di linearità, media e varianza dell'integrale di Ito. Integrali stocastici come processi aleatori: definizione di integrale su un sottointervallo e proprietà di additività. Martingale e integrali di Ito.
28/11: Dimostrazione della martingalità per integrali stocastici su funzioni semplici. Limite superiore per la distribuzione del sup di integrali di Ito. Esempio di calcolo esplicito di un integrale stocastico mediante la definzione ed introduzione al lemma di Ito.
28/11: Spazio H^2 su R^+. Variazione quadratica dell'integrale stocastico (cenni). Introduzione al calcolo stocastico e al Lemma di Ito mediante la regola della catena. Enunciato del Lemma di Ito per funzioni del moto Browniano e dimostrazione (cenni). Esempio di calcolo di un integrale.
03/12: Esempi ed applicazioni del Lemma di Ito. Processi di Ito: funzioni nella classe W^1 e definizione. Primi esempi di processi di Ito. Variazione quadratica di un processo di Ito. Interpretazione euristica mediante le regole di calcolo stocastiche e variazioni del moto Browniano di ordine superiore. Integrale rispetto ad un processo di Ito.
05/12: Formula di Ito per processi di Ito: cenni di dimostrazioni. Martingala esponenziale ed integrale di Ito rispetto ad una funzione deterministica. Definizione di integrale stocastico rispetto ad un moto Browniano multidimensionale. Processi di Ito a valori nello spazio reale n-dimensionale.
05/12: Differenziale della covariazione tra due processi coordinate di Ito. Formula di Ito per processi di Ito: enunciato generale e discussione (senza dimostrazione). Lemma di Ito per un moto Browniano d-dimensionale. Integrazione per parti stocastica. Esempi ed applicazioni.
10/12: Definizione di processo soluzione di un'equazione differenziale stocastica (EDS): drift e matrice di diffusione. Osservazioni sulle EDS e condizioni di sublinearità e lipschitzianità per l'esistenza e l'unicità della soluzione (cenni). Processi di Markov forte e diffusioni omogenee temporalmente. Interpretazione euristica del drift e della diffusione. Moto Browniano Geoemetrico come soluzione di EDS.
12/12: Moto Brownianoa geometrico: discussione delle proprietà e distribuzione lognormale. Modello di Vasicek come soluzione di EDS: dimostrazione mediante la formula di Ito. Proprietà del processo di Vasicek e mean-reverting. Processo di Ornstein-Uhlenbeck (cenni).
12/12: Cenni sul modello Cox-Ingersoll-Ross. Moto Browniano sul cerchio unitario. Applicazioni del calcolo stocastico in finanza. Cenni sui contratti derivati. Opzione Europea call e put: maturity, strike price e payoff. Il problema dell'option pricing: prezzatura dell'opzione e portafoglio di copertura. Evoluzione stocastica di un portafoglio finanziario: composizione tramite un titolo privo di rischio e un'azione.
16/12: Dinamica del portafolgio e del prezzo del sottastante azionario entrambi attualizzati. Il modello di Black-Scholes-Merton (BSM) per la prezzatura delle opzioni call Europee e per la determinazione della copertura delle posizioni corte. La regola del delta-heding. Determinazione dell'equazione differenziale alle derivate parziali di BSM per la determinazione del funzionale di pricing dell'opzione. Discussione delle condizioni terminali ed iniziali.
19/12: Soluzione dell'equazione di BSM (senza dimostrazione), prezzo dell'opzione call e discussione. Cambi di misura mediante la derivata di Radon-Nikodym. Processo martingala detto di Radon-Nikodym e Teorema di Girsanov. Interpretazione e discussione dell'enunciato del teorema.
19/12: Option pricing mediante una misura neutrale al rischio. Moto Browniano geometrico generalizzato, processo tasso di interesse e processo di attulizzazione. Dinamica del prezzo azionario sotto la misura neutrale al rischio e premio di mercato del rischio. Dinamica del portagoglio di copertura. Prezzo di un contratto derivato e formule dell'option pricing mediante la misura neutrale al rischio. Caso particolare relativo al modello di BSM. Assenza di arbitraggio.