PROBABILITA' - I modulo del corso Probabilità e Statistica (6 cfu) - Laurea Magistrale in Scienze Statistiche
Primo anno, primo semestre (25/09/2023 al 22/12/2023), A.A. 2023/2024: il programma del corso di Probabilità è costituito dagli argomenti svolti a lezione, così come riportato nel Diario che si trova in fondo alla pagina.
Orario lezioni: Lunedì, ore 16-18, Aula 2; Martedì, ore 16-18, Aula 14; Mercoledì, ore 8-10, Aula 24; Venerdì, ore 10-12, Aula VI.
Libri di riferimento:
P. Baldi, Calcolo delle Probabilità, McGraw-Hill 2011
Materiale didattico: le slide delle lezioni sono disponibli al seguente link: https://elearning.uniroma1.it/course/view.php?id=17042
Modalità d'esame: La prova d'esame è articolata in una verifica scritta, contenente domande su argomenti del corso, ed una orale. E' prevista una prima prova d'esame al termine del corso (novembre).
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Diario delle lezioni A.A. 2023/2024:
25/09: Il concetto di incertezza. Calcolo delle probabilità e fenomeni aleatori. Prova, spazio campionario, evento ed evento elementare. Primi esempi. Alcune operazioni con gli eventi: negazione, evento certo ed impossibile, unione ed intersezione di eventi.
27/09: Proprietà commutativa, associativa e distributiva sugli insiemi. Eventi disgiunti. Definizione di algebra e sigma-algebra. Esempi. Classe degli eventi come sigma-algebra. Cenni sull'interpretazione della probabilità: classica, frequentista e soggettiva. Definizione assiomatica della probabilità e commenti. Prime conseguenze della definizione: probabilità evento impossibile.
29/09: Prime conseguenze della definizione: additività finita. Spazio di probabilità ed esempi. Norme di calcolo: probabilità dell'evento complementare, monotonia, probabilità della differenza. Spazi di probabilità uniformi. Esercizio sul lancio di due dadi.
02/10: Richiami di calcolo combinatorio: principio fondamentale, permutazioni semplici, disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici. Esempi per il calcolo della probabilità uniforme. Probabilità dell'unione di due e tre eventi. Interpretazione intuitva.
03/10: Esermpio sulla probabilità dell'unione di eventi. Continuità dal basso e dall'alto. Sub-additività della probabilità. Probabilità condizionata: esempio introduttivo e definizione. Osservazioni. Legge delle probabilità composte e regola del prodotto.
04/10: Esercizio sulla regola del prodotto. Formula di disintegrazione e legge delle probabilità totali. Teorema di Bayes e sua interpretazione (cause, effetto, probabilità a priori e a posteriori). Esempio applicativo sull'affidabilità di un test. Definizione di indipendenza per due eventi.
06/10: Esercizio su Teorema di Bayes. Esempi su due eventi indipendenti. Definizione di indipendenza per tre eventi, n eventi e per una successione di eventi. Indipendenza per le negazioni ed esempi. Sotto-esperimenti indipendenti, schema delle prove ripetute.
09/10: Esempi di modelli probabilistici e schema delle prove ripetute: estrazione con reinserimento di palline da un'urna (distribuzione binomiale e probabilità di un numero prefissato di successi) e tempo di attesa del primo successo. Indipendenza condizionata. Variabile aleatoria ed esempi introduttivi. Cenni sulla sigma-algebra di Borel sui reali.
10/10: Probabilità indotta e legge di probabilità di una variabile aleatoria. Spazio di probabilità su R. Esempio di variabile aleatoria. Funzione di ripartizione e proprietà. Calcolo della legge di probabilità mediante la funzione di ripartizione.
11/10: Osservazioni sulla funzione di ripartizione. Esempio. Variabili aleatorie discrete: definizione e primi esempi. Densità discreta e sue proprietà. Determinazione della distribuzione di probabilità di una variabile discreta mediante la densità. Esempio di densità discreta.
13/10: Funzione di ripartizione per variabili discrete: esempio. Famiglie notevoli di variabili aleatorie discrete: degenere, uniforme, bernoulli, binomiale, geometrica. Discussione ed esempi.
16/10: Proprietà di mancanza di memoria per una v.a. geometrica. Variabili di Poisson e legge degli eventi rari. Ipergeometrica ed estrazioni da un'urna senza ripetizioni. Variabili aleatorie assolutamente continue: definizione, densità e sue proprietà. Osservazioni. Probabilità per variabili assolutamente continue su un intervallo ed interpretazione.
17/10: Legge di una v.a. continua. Interpretazione della funzione di densità in termini di massa di probabilità. Famiglie di v.a. assolutamente continue: distribuzione uniforme, esponenziale, gamma, normale.
18/10: Osservazioni sulla distribuzione gaussiana. Funzione C^1 a tratti e determinazione della densità. Trasformazioni di una v.a.: metodo diretto mediate il calcolo della funzione di ripartizione. Esempio. Trasformazione lineare di una v.a. e applicazione alla normale. Il quadrato di una normale standardizzata.
20/10: Definizione di media per una v.a. discreta e sua interpretazione come baricentro e mediante l'impostazione frequentista della probabilità. Media di una Bernoulli, uniforme, degenere, binomiale, Poisson, geometrica. Definizione di media per una v.a. assolutamente continua. Esempio di una v.a. che non ammette media (Cauchy). Media di un'esponenziale, gamma, uniforme. Valore atteso per una trasformazione di una v.a. ed esempio. Legame della condizione di esistenza del valore atteso con la media del modulo di una v.a.. Proprietà di linearità del valore atteso e variabile centrata.
23/10: Momenti e momenti centrati. Definizione ed interpretazione del concetto di varianza. Diseguaglianza di Markov/Cebicev e relazione con la dispersione della distribuzione. Variabile degenere e varianza. Varianza della combinazione lineare. Media e varianza di una gaussiana. Varianza di una Bernoulli.
24/10: Varianza di una Poisson, Gamma, Binomiale, Esponenziale. Variabili aleatorie in n dimensioni e coordinate aleatorie. Legge su R^n. Funzione di ripartizione per n=2. Proprietà e funzioni di ripartizione marginali. Vettore aleatorio bidimensionale discrete: insieme dei valori assumibili dalla v.a.. Esempi.
25/10: Densità discreta congiunta, legge e densità marginali. Esempio. Vettori aleatori discreti n-dimensionali (cenni). Richiami sul calcolo degli integrali doppi mediante la formula di riduzione (domini normali). Variabile aleatoria assolutamente continua in R^2. Densità congiunta e proprietà. Legge di probabilità.
27/10: Legge di probabilità per vettori aleatori assolutamente continui in R^2 e sua interpretazione come volume. Densità congiunta e massa di probabilità. Densità marginali. Esempio di calcolo della probabilità mediante integrali doppi. Distribuzione uniforme in R^2 ed esempio. Cenni sui vettoria aleatori continui in n dimensioni.
30/10: Variabili aleatorie uguali, uguali q.c. e somiglianti. Indipendendenza per 2 ed n v.a. e condizioni necessarie e sufficienti. Variabili aleatorie discrete e condizione equivalente per l'indipendenza, densità discreta condizionata. Esempi. Variabili aleatorie assolutamente continue e condizione equivalente per l'indipendenza, densità condizionata. Esempi.
31/10: Esempio di calcolo della densità condizionata. Trasformazioni di vettori aleatori e indipendenza. Esempio per il calcolo della legge di una funzione di un variabile aleatoria bidimensionale. Somma di variabili aleatorie indipendenti: normali, gamma (chi quadro), Poisson, binomiali. Media di un vettore aleatorio. Calcolo della media di una trasformazione di una variabile n-dimensionale. Proprietà di linearità della media.
03/11: Proprietà di linearità della media per n variabili aleatorie. Definizione di covarianza come indice di dipendenza lineare. Coefficiente di correlazione lineare e sue proprietà. Varianza della somma di 2 e n variabili aleatorie. Applicazione: media e varianza di una binomiale. Convergenza di successioni di variabili aleatorie. Definizione di convergenza in distribuzione e primo esempio.
06/11: Esempio di convergenza in distribuzione. Teorema di caratterizzazione e convergenze per funzioni continue. Convergenza in distribuzione per vettori aleatori. Definizione di convergenza quasi certa. Proprietà della convergenza quasi certa ed esempio. Convergenza in probabilità e sua interpretazione; proprietà. Relazione tra le varie forme di convergenza. Introduzione al calcolo di un integrale mediante il metodo Monte Carlo.
07/11: Introduzione alle Legge dei grandi numeri e media campionaria. Legge debole dei grandi numeri (con dimostrazione) e legge forte. Esempi, legame con l'interpretazione frequentista della probabilità e metodo Monte Carlo. Teorema del limite centrale, discussione ed interpretazione. Applicazione per il calcolo approssimato della probabilità della somma di variabili aleatorie.