LABORATORIO DI PROCESSI STOCASTICI (3 cfu) - Laurea Magistrale in Scienze Attuariali e Finanziarie
RISULTATI ESAME 24/11: è possibile consultare l'elenco degli studenti idonei al seguente link: idonei. Gli studenti, inoltre, possono visionare il proprio elaborato previo appuntamento da concordare con il docente.
Primo anno, primo semestre (23/09/2024 al 20/12/2024), A.A. 2024/2025: il programma del corso è costituito dagli argomenti svolti a lezione, così come riportato nel Diario che si trova in fondo alla pagina.
Obiettivi formativi: il corso ha l'obiettivo di fornire i concetti basilari della teoria dei processi aleatorio in tempo continuo. Gli argomenti principali delle lezioni saranno il Moto Browniano e il Calcolo Stocastico. Tali strumenti sono essenziali per comprendere la moderna Finanza Quantitativa e le Scienze Attuariali. In particolare, saranno messi in evidenza gli aspetti intuitivi e applicativi delle tematiche introdotte durante il corso.
Orario lezioni: Martedì (Aula V) e Giovedì (Aula XIV), ore 12-14. Le lezioni termineranno il 7/11.
Libri di riferimento:
P. Baldi, Stochastic Calculus, Springer 2017
S.E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, Springer 2004
J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer 2000
D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge 1991
Modalità d'esame: verifica scritta sul programma svolto a lezione. La prova scritta prevede domande a risposta aperta. Qui di seguito ci sono alcuni testi d'esame: cartella esami.
Ricevimento: previo appuntamento da concordare con il docente.
Diario delle lezioni A.A. 2024/2025:
24/09: Introduzione ai processi aleatori e primi esempi informali. Definizione di algebra e sigma-algebra. Discussione delle proprietà e conseguenze delle definizioni. Esempi di sigma-algebra: banale, insieme delle parti.
26/09: Classe di Borel e identificazione dei boreliani. Discussione del concetto di misura e definizione. Conseguenze della definizione e prime proprietà. Spazio di misura. Definizione di misura di probabilità. Esempi di misure.
01/10: Esempi di spazi di probabilità: probabilità discreta, misura di Lebesgue. Funzioni misurabili ed esempi di funzioni misurabili. Definizione di controimmagine e di variabile aleatoria. Esempio sulla Bernoulli. Legge di probabilità di una variabile aleatoria. Funzione di ripartizione, proprietà e caratterizzazione della legge di probabilità.
03/10: Misura di Lebesgue-Stiletjes associata ad una funzione di ripartizione. Sigma-algebra generata da una variabile aleatoria: definizione, discussione ed esempio. Sigma-algebra generata da una famiglia di variabili aleatorie: esempi. Indipendenza per sigma-algebre e variabili aleatorie. Equivalenza con la definizione di indipendenza per variabili aleatorie basata sulla fattorizzazione della legge congiunta. Cenni sull'integrale di Riemann. Introduzione all'integrale di Lebesgue.
08/10: Cenni sulla costruzione dell'integrale di Lebesgue mediante il programma standard. Condizione di integrabilità. Valor medio e teorema del cambio di variabile. Variabile aleatoria assolutamente continua e discreta: definizione e valor medio. Cenni su classe di Borel, misura di Lebesgue e legge di probabilità in R^n.
10/10: Definizione di filtrazione e spazio filtrato. Definizione di processo stocastico. Osservazioni: interpretazione della filtrazione, traiettoria del processo. Distribuzioni finito dimensionali di un processo. Introduzione euristica al moto Browniano: modello di passeggiata aleatoria semplice simmetrica e convergenza in disrtribuzione della posizione della particella ad una gaussiana.
15/10: Definizione di moto Browniano. Conseguenze della definizione: incrementi independenti, processo gaussiano, stazionarietà, momenti. Enunciato del teorema di caratterizzazione del moto Browniano: in particolare discussione sulla covarianza. Distribuzioni finito-dimensionali e densità del moto Browniano.
17/10: Proprietà e discussione delle traiettorie del moto Browniano. Continuità ed invarianza rispetto alla riflessione, riscalamento, rinnovo temporale. Variazione di una funzione. Variazione quadratica del moto Browniano e variazione prima illimitata. Traiettorie q.c. non differenziabili. Definizione di moto Browniano multidimensionale.
22/10: Interpretazione della variazione quadratica del moto Browniano. Definizione, interpretazione e proprietà della media condizionata rispetto ad una sigma-algebra. Definizione di martingala e moto Browniano. Definizione di processo di Markov. Introduzione al calcolo stocastico: modello di crescita della popolazione.
24/10: Introduzione euristica all'integrale stocastico. Definizione di funzioni semplici ed integrale di Ito per funzioni semplici. Discussione e prime proprietà. Funzioni integrabili secondo Ito e lemma per funzioni approssimanti. Definizione di integrale stocastico e sue proprietà essenziali. Esempio di integrale di Ito.
29/10: Calcolo di un integrale di Ito mediante la definizione. Regola della catena nel calcolo classico. Lemma di Ito e sua discussione (considerando anche la sua versione differenziale). Esercizi sulle applicazioni del lemma di Ito.
31/10: Esempi sul calcolo stocastico mediante il lemma di Ito. Definizione di processo di Ito ed esempi. Integrale rispetto ad un processo di Ito e variazione quadratica. Lemma di Ito per processi di Ito. Esempi ed esercizi.
05/11: Esercizio su trasformazione esponenziale di un processo di Ito. Equazioni differenziali stochastiche: discussione. Interpretazione della deriva e del coefficiente di diffusione. Modello di crescita della popolazione, determinazione della soluzione e moto Browniano geometrico.
07/11: Osservazioni sul moto Browniano geometrico. Il modello di Vasicek: soluzione e caratteristiche (ad esempio mean reverting). Processo di Ornstein-Uhlenbeck come caso particolare di Vasicek. Cenni sul modello di Cox-Ingersoll-Ross.