Cunoașterea domeniului-timp, a domeniului-frecvență și a FFT

Transformata Fourier poate fi puternică în înțelegerea semnalelor de zi cu zi și depanarea erorilor din semnale. Deoarece transformata Fourier este o funcție matematică complicată, nu este un concept complicat de înțelegere și de raportare la semnalele măsurate. În esență, se ia un semnal și se descompune în unde sinusoidale de diferite amplitudini și frecvențe. Să aruncăm o mai profundă privire la ceea ce înseamnă și de ce este utilă.

a. Toate semnalele sunt sume de sinusoide

Când vă uitați la semnalele lumii reale, le vedeți de obicei ca o tensiune variind în timp. Acesta este numit domeniul timp. Teorema lui Fourier afirmă că orice formă de undă din domeniul timp poate fi reprezentată prin suma ponderată a sinusurilor și cosinusurilor. De ex., luați două unde sinusoidale, unde una este de trei ori mai rapidă decât cealaltă - sau frecvența este de 1/3 din primul semnal. Când le adunați, puteți vedea că primiți un semnal diferit.

Figura 1. Atunci când adunați două semnale, primiți un nou semnal.

Acum imaginați-vă că cea de-a doua undă avea, de asemenea, 1/3 din amplitudine. De data aceasta, doar vârfurile sunt afectate.

Figura 2. Reglarea amplitudinii la adaosul de semnal afectează vârfurile.

Imaginați-vă că ați adăugat un al treilea semnal care are 1/5 din amplitudinea și frecvența semnalului original. Dacă ați continuat în acest mod până când atingeți pragul de zgomot, s-ar putea recunoaște forma de undă rezultată.

Figura 3. O undă dreptunghiulară este suma sinusurilor.

Ați creat acum o undă dreptunghiulară. În acest fel, toate semnalele din domeniul timpului pot fi reprezentate de o serie de sinusuri.

Deși este destul de elegant că puteți construi semnale în acest mod, de ce vă pasă de fapt? Deoarece dacă puteți construi un semnal folosind sinusuri, puteți, de asemena, să descompuneți semnalele în sinusuri. Odată ce un semnal este descompus, puteți vedea și analiza diferitele frecvențe care sunt prezente în semnalul original. Uitați-vă la câteva exemple în care a fost utilă descompunerea unui semnal:

■ Dacă descompuneți undele radio, puteți alege care frecvență specifică - sau stație - doriți să o ascultați.

■ Dacă descompuneți undele audio în diferite frecvențe, cum ar fi basul și înaltele, puteți modifica tonurile sau frecvențele pentru a amplifica anumite sunete pentru a elimina zgomotul nedorit.

■ Dacă descompuneți vibrațiile cutremurului cu diferite viteze și amplitudini, puteți optimiza designul clădirilor pentru a evita vibrațiile cele mai puternice.

■ Dacă descompuneți datele computerului, puteți ignora frecvențele cel mai puțin importante și puteți duce la reprezentări mai compacte în memorie, cunoscută și sub numele de compresia fișierelor.

b. Descompunerea semnalelor utilizând FFT

Transformata Fourier descompune o reprezentare a unui semnal din domeniul timp în reprezentarea în domeniul frecvență. Domeniul frecvență arată tensiunile prezente la frecvențe variabile. Este un mod diferit de a privi același semnal.

Un digitizor eșantionează o formă de undă și o transformă în valori discrete. Din cauza acestei transformări, transformata Fourier nu va lucra pe aceste date. În schimb, se folosește transformata Fourier discretă (DFT), care produce ca rezultat componentele în domeniul frecvență în valori discrete, sau binare. Transformata Fourier rapidă (FFT) este o implementare optimizată a unui DFT care are nevoie de mai puține calcule pentru a efectua, dar, în esență, doar descompune un semnal.

Uitați-vă la semnalul din figura 1 de mai sus. Există două semnale la două frecvențe diferite; în acest caz, semnalul are două vârfuri în domeniul frecvență - unul la fiecare din cele două frecvențe ale sinusurilor care au compus semnalul în primul rând.

Figura 4. Când se adună două unde sinusoidale cu amplitudine egală, acestea au două vîrfuri în domeniul frecvență.

Amplitudinea semnalului original este reprezentată pe axa verticală. Dacă vă uitați la semnalul din figura 2 de mai sus unde există două semnale diferite la diferite amplitudini, puteți vedea că cel mai proeminent vârf corespunde frecvenței semnalului sinusoidal cu tensiunea cea mai mare. Privind la un semnal în domeniul timp, puteți obține o idee bună despre semnalul original, știind la ce frecvențe apar cele mai mari semnale de tensiune.

Figura 5. Cel mai mare vârf este frecvența celei mai mari amplitudini.

De asemenea, poate fi util să priviți la forma semnalului în domeniul frecvență. De exemplu, să aruncăm o privire asupra undei dreptunghiulare în domeniul frecvență. Am creat unda dreptunghiulară utilizând multe unde sinusoidale la frecvențe variabile; ca atare, v-ați aștepta la multe vârfuri în semnalul din domeniul frecvență - unul pentru fiecare semnal adăugat. Dacă vedeți o rampă frumoasă în domeniul frecvență, știți că semnalul original a fost o undă dreptunghiulară.

Figura 6. Domeniul frecvență al unei unde dreptunghiulare arată ca o rampă.

Deci, cum arată aceasta în lumea reală? Multe osciloscoape cu semnal mixt (MSO) au o funcție FFT. Mai jos, puteți vedea cum arată un FFT al unei unde dreptunghiulare pe un grafic de semnal mixt. Dacă măriți, puteți vedea efectiv vîrfurile individuale din domeniul frecvență.

Figura 7. Unda sinusoidală originală și FFT corespunzătoare lui sunt afișate în A,
în timp ce în B este mărită o porțiune a FFT unde puteți vedea vârfurile individuale.

Privirea semnalelor din domeniul frecvență poate ajuta la validarea și depanarea semnalelor. De exemplu, spuneți că aveți un circuit care ar trebui să emită o undă sinusoidală. Puteți vedea semnalul de ieșire pe osciloscop în domeniul timp în figura 8 de mai jos. Arată destul de bine!

Figura 8. Dacă aceste două unde au fost adunate, ar arăta ca o undă perfect sinusoidală pentru că sunt atât de asemănătoare.

Cu toate acestea, când vizualizați semnalul în domeniul frecvență, vă așteptați la un singur vârf, deoarece vă așteptați să transmiteți o singură undă sinusoidală la o singură frecvență. Cu toate acestea, puteți vedea că există un vârf mai mic la o frecvență mai mare; acest lucru vă spune că unda sinusoidală nu este la fel de bună cum credeați. Puteți lucra cu circuitul pentru a elimina cauza zgomotului adăugat la acea frecvență. Domeniul frecvență este excelent în a arăta dacă un semnal curat în domeniul timp conține de fapt interferențe, zgomot sau jitter.

Figura 9. Privind la unda sinusoidală aparent perfectă din figura 8, puteți vedea aici că există de fapt un glitch.

Funcția fereastră (windowing)

Deși efectuarea unui FFT pe un semnal poate oferi o înțelegere mare, este important să se cunoască limitele FFT și cum să îmbunătățească claritatea semnalului folosind ferestre.

a. Ce este fereastra

Când utilizați FFT pentru a măsura componenta de frecvență a unui semnal, bazați analiza pe un set finit de date. Actuala transformare FFT presupune că este un set de date finit, un spectru continuu care este o perioadă a unui semnal periodic. Pentru FFT, atât domeniul timp cât și domeniul frecvență sunt topologii circulare, astfel încât cele două puncte finale ale formei de undă în timp sunt interpretate ca și cum ar fi fost conectate împreună. Atunci când semnalul măsurat este periodic și un număr întreg de perioade umple intervalul de timp de achiziție, FFT se termină cu bine, deoarece se potrivește cu această ipoteză.

Figura 10. Măsurarea unui număr întreg de perioade (A) oferă un FFT ideal (B).

Cu toate acestea, de multe ori, semnalul măsurat nu este un număr întreg de perioade. Prin urmare, limitarea semnalului măsurat poate avea ca rezultat o formă de undă trunchiată, cu caracteristici diferite față de semnalul inițial continuu în timp, iar limitarea poate introduce schimbări de tranziție ascuțite în semnalul măsurat. Tranzițiile ascuțite sunt discontinuități.

Când numărul de perioade din achiziție nu este un număr întreg, punctele finale sunt discontinue. Aceste discontinuități artificiale apar în FFT ca componente de înaltă frecvență care nu sunt prezente în semnalul original. Aceste frecvențe pot fi mult mai înalte decât frecvența Nyquist și apar false între 0 și jumătate din rata de eșantionare. Spectrul pe care îl obțineți prin utilizarea unui FFT, prin urmare, nu este spectrul real al semnalului original, ci o versiune falsă. Se pare că energia la o frecvență se scurge între alte frecvențe. Acest fenomen este cunoscut sub numele de scurgere spectrală, care determină ca liniile spectrale fine să se răspândească în semnale mai largi.

Figura 11. Măsurarea unui număr neîntreg de perioade (A) adaugă scurgere spectrală la FFT (B).

Puteți minimiza efectele executării unui FFT asupra unui număr neîntreg de cicluri, utilizând o tehnică denumită windowing. Windowing reduce amplitudinea discontinuităților la limitele fiecărei secvențe finite dobândite de digitizor. Windowing constă în înmulțirea înregistrării în timp cu o fereastră cu lungime finită, cu o amplitudine care variază lin și treptat spre zero la margini. Aceasta face ca punctele finale ale formei de undă să se întâlnească și, prin urmare, duce la o formă de undă continuă fără tranziții ascuțite. Această tehnică este menționată și ca aplicarea unei ferestre.

Figura 12. Aplicarea unei ferestre minimizează efectul scurgerii spectrale.

b. Funcțiile fereastră

Există mai multe tipuri diferite de funcții ferestre pe care le puteți aplica în funcție de semnal. Pentru a înțelege modul în care o anumită fereastră afectează spectrul de frecvențe, trebuie să înțelegeți mai multe despre caracteristicile de frecvență ale ferestrelor.

Un grafic real al unei ferestre arată că caracteristica frecvenței unei ferestre este un spectru continuu cu un lob principal și mai mulți lobi laterali. Lobul principal este centrat la fiecare componentă de frecvență a semnalului din domeniul timp, iar lobii laterali se apropie de zero. Înălțimea lobilor laterali indică efectul pe care îl are funcția fereastră asupra frecvențelor din jurul lobilor principali. Răspunsul lobului lateral al unui semnal sinusoidal puternic poate depăși răspunsul lobului principal al unui semnal sinusoidal slab din apropiere. În mod tipic, lobii laterali inferior reduc scurgerea în FFT măsurat, dar crește lățimea de bandă a lobului major. Rata de roll-off a lobului lateral este rata de decădere asimptotică a vârfurilor lobului lateral. Prin creșterea ratei roll-off a lobului lateral, puteți reduce scurgerile spectrale.

Selectarea unei funcții fereastră nu este o sarcină simplă. Fiecare funcție fereastră are propriile caracteristici și adecvare pentru diferite aplicații. Pentru a alege o funcție fereastră, trebuie să estimați conținutul de frecvență al semnalului.

■ Dacă semnalul conține componente de frecvență cu interferențe puternice distanțați-le de frecvența de interes, alegeți o fereastră de netezire cu o rată roll-off mare a lobului lateral.

■ Dacă semnalul conține semnale puternice de interferență în apropierea frecvenței de interes, alegeți o funcție fereastră cu un mic nivel de lob lateral maxim.

■ Dacă frecvența de interes conține două sau mai multe semnale foarte apropiate unu de celălalt, rezoluția spectrală este importantă. În acest caz, este cel mai bine să alegeți o fereastră de netezire cu un lob principal foarte îngust.

■ Dacă acuratețea amplitudinii unei componente cu o singură frecvență este mai importantă decât locația exactă a componentei într-un bin de frecvență dat, alegeți o fereastră cu un lob principal larg.

■ Dacă spectrul de semnal este destul de plat sau bandă largă în conținut de frecvență, utilizați fereastra uniformă, sau fără fereastră.

■ În general, fereastra Hanning (Hann) este satisfăcătoare în 95% din cazuri. Are o rezoluție bună în frecvenței și o reducere a scurgerilor spectrale. Dacă nu cunoașteți natura semnalului, dar doriți să aplicați o fereastră netedă, începeți cu fereastra Hann.

Chiar dacă nu utilizați nici o fereastră, semnalul este în convoluție cu o fereastră de formă dreptunghiulară de înălțime uniformă, prin natura de a lua un instantaneu în timp al semnalului de intrare și de a lucra cu un semnal discret. Această convoluție are un spectru caracteristic funcției sinusoidale. Din acest motiv, nici o fereastră nu este numită adesea fereastra uniformă sau dreptunghiulară, deoarece există încă un efect de fereastră.

Funcțiile ferestre Hamming și Hann au o formă sinusoidală. Ambele ferestre au ca rezultat un vârf lat, dar lobii laterali mici. Cu toate acestea, fereastra Hann atinge zero la ambele capete eliminând întreaga discontinuitate. Fereastra Hamming nu ajunge la zero și are astfel o ușoară discontinuitate în semnal. Din cauza acestei diferențe, fereastra Hamming face o treabă mai bună de a anula cel mai apropiat lob lateral, dar o activitate mai slabă de anulare a altora.

Aceste funcții ferestre sunt utile pentru măsurătorile de zgomot în cazul în care se dorește o rezoluție de frecvență mai bună decât unele dintre celelalte ferestre, dar lobii laterale moderați nu prezintă o problemă.

Figura 13. Funcțiile fereastră Hamming și Hann rezultă într-un vârf larg, dar frumoși și mici lobi laterali.

Fereastra Blackman-Harris este similară ferestrelor Hamming și Hann. Spectrul rezultat are un vârf larg, dar compresia lobului lateral bun. Există două tipuri principale ale acestei ferestre. Blackman-Harris pe 4 perioade este o bună fereastră de scop general, având rejecția lobului lateral în înaltele 90s dB și un lob principal moderat larg. Funcția fereastră Blackman-Harris pe 7 perioade are toată gama dinamică pe care ar trebui să o aveți oricând, dar vine cu un lob principal larg.

Figura 14. Blackman-Harris are un lob lat, dar compresia lobului lateral bun.

O fereastră Kaiser-Bessel înregistrează un echilibru între diferitele obiective conflictuale ale preciziei amplitudinii, distanței lobului lateral și înălțimii lobului lateral. Se compară aproximativ cu funcțiile fereastră Blackman-Harris, dar pentru aceeași lățime a lobului principal, lobii laterali apropiați au tendința de a fi mai înalți, dar lobii laterali de mai departe sunt mai mici. Alegerea acestei ferestre arată adesea semnale apropiate de noise floor. (suma tuturor zgomotelor și semnalelor nedorite).

Fereastra plată superioară este sinusoidală, dar de fapt traversează linia zero. Acest lucru determină un vârf mult mai larg în domeniul frecvență, care este mai aproape de amplitudinea adevărată a semnalului decât de alte ferestre.

Figura 15. Fereastra superioară plată are ca rezultat informație mai precisă de amplitudine.

Acestea sunt doar câteva dintre posibilele funcții fereastră. Nu există o abordare universală pentru selectarea unei funcții fereastră. Cu toate acestea, tabelul de mai jos vă poate ajuta în alegerea inițială. Comparați întotdeauna performanța diferitelor funcții fereastră pentru a găsi cea mai bună pentru aplicație.

Rezumat

■ Toate semnalele din domeniul timp pot fi reprezentate de o serie de sinusuri.

■ O transformată FFT descompune o reprezentare a unui semnal din domeniul timp în reprezentarea din domeniul frecvență pentru a analiza diferitele frecvențe dintr-un semnal.

■ Domeniul frecvență este excelent pentru a vă arăta dacă un semnal curat în domeniul timp conține, de fapt, crosstalk, zgomot sau jitter.

■ Pierderea spectrală este cauzată de discontinuități în numărul neîntreg de perioade, dintr-un semnal original și poate fi îmbunătățită prin utilizarea funcțiilor fereastră.

■ Funcția fereastră reduce amplitudinea discontinuităților la limitele fiecărei secvențe finite achiziționate de digitizor.

■ Nici o fereastră nu este adesea numită fereastră uniformă sau dreptunghiulară deoarece există încă un efect de fereastră.

■ În general, fereastra Hanning este satisfăcătoare în 95% din cazuri. Are o rezoluție bună de frecvență și o pierdere spectrală redusă.

■ Ar trebui să comparați performanța diferitelor funcții ale ferestrei pentru a găsi pe cea mai bună pentru aplicație.

Bibliografie

Transformata Fourier

Signals and systems

Proccesarea semnalelor digitale (DSP)