Capítulo IV - Cálculo Vetorial em R3

Dicas de estudo: Apesar de parecer simples, parametrizar uma superfície da maneira correta será essencial nos conteúdos futuros. Um erro nesta etapa pode comprometer todo o resto de um exercício. Procure compreender bem que em uma parametrização, os pontos (x,y,z) de uma superfície S são escritos em função de dois parâmetros, (u,v), geralmente. Cuidado para não usar três parâmetros! Faça os exercícios com cuidado, e tente mais de uma parametrização para cada superfície.

O domínio de variação de (u,v) também é extremamente importante, preste muita atenção a ele. Depois, crie você mesmo seus exemplos. Para isto, parametrize uma superfície, como um cilindro, cone, esfera, ou paraboloide, e veja o que acontece se você modificar o domínio.

Como calcular o vetor normal a uma superfície? Pratique bastante o cálculo do produto vetorial entre dois vetores, usando o método de sua preferência para calcular o determinante.

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 55 até PGM 58

Leitura complementar: Thomas 15.5 | Stewart 16.6 | Strang 15.4

Dicas de estudo: Aqui, começam a aparecer mais conceitos, que serão usados futuramente. Responda: qual é a definição de integral de superfície de uma função f(x,y,z)? Como calcular esta integral? Para que serve? Quem é o dS e como calculá-lo? Lembre-se que depois de montar uma integral de superfície, ela se torna uma integral dupla, e, a partir daí, o trabalho é apenas calcular esta integra dupla.

Ao parametrizar uma superfície usando coordenadas polares ou esféricas, lembre-se que não é preciso colocar o "jacobiano". Ele já virá "embutido" automaticamente no cálculo do dS. Quando usar estas coordenadas nos exemplos, use também coordenadas cartesianas (parametrizando como gráfico de função), e observe as diferenças. Após montar a integral dupla resultante em coordenadas cartesianas, pode ser necessário usar uma mudança de variáveis para calculá-la. Nesta hora é necessário colocar o jacobiano. Por que?

Lembre-se que parametrizações diferentes produzem dS's diferentes, mas, no final, se os cálculos estiverem corretos, o resultado de uma integral de superfície é único, independente da parametrização usada.

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 55 até PGM 58

Leitura complementar: Thomas 15.5,6 | Stewart 16.6,7 | Strang 15.4

Dicas de estudo: Aqui, os conceitos aparecem ainda mais e é fácil confundi-los. Responda: qual é a definição de integral de superfície de um campo vetorial F(x,y,z)? Como calcular esta integral? Para que serve? Quem é o dS (vetor) e como calculá-lo? O que é orientar uma superfície?

Lembre-se que agora você deverá integrar o produto escalar entre dois vetores: o campo F calculado na parametrização, e o vetor dS, que é o produto vetorial entre r_u e r_v vezes o elemento dudv. Assim, monte os dois vetores, e calcule seu produto escalar, que deve ser um número, ou melhor, uma função escalar de u e de v.

Estude o conceito de orientação de superfícies e veja se você entendeu quando se deve colocar o sinal + ou - para calcular o fluxo. Perceba que esta resposta depende da orientação descrita pelo problema, mas também depende da parametrização usada, pois em uma parametrização o vetor normal r_u x r_v pode apontar em um sentido e, em outra parametrização, ele pode apontar em outro sentido. Correto?

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 66 até PGM 70

Leitura complementar: Thomas 15.6 | Stewart 16.7 | Strang 15.4

Dicas de estudo: Compare as duas versões do Teorema de Divergência (no plano e no espaço). Como cada objeto de sua versão planar é generalizado para a versão espacial?

Considere a integral de um lado da igualdade do Teorema da Divergência (a integral que é o fluxo de F através de S). Quais ingredientes são necessários para calculá-la (parametrização, campo, etc...).

Considere a integral do outro lado da igualdade (agora a integral tripla). Quais ingredientes são necessários para calculá-la?

A superfície S precisa ser fechada? Qual sua orientação? No caso em que não é fechada, como proceder?

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 71 até PGM 74

Leitura complementar: Thomas 15.8 | Stewart 16.9 | Strang 15.5

Dicas de estudo: Compare as duas versões do Teorema de Stokes (no plano e no espaço). Como cada objeto de sua versão planar é generalizado para a versão espacial?

Considere a integral de um lado da igualdade do Teorema de Stokes (a integral que é a circulação de F ao longo de C). Quais ingredientes são necessários para calculá-la (parametrização, campo, etc...)?

Considere a integral do outro lado da igualdade (agora a integral de superfície). Quais ingredientes são necessários para calculá-la?

Você entendeu como devem ser tomadas as orientações de C e de S? Explique com suas palavras, e desenhe alguns exemplos diferentes, com cones, cilindros, etc.

O que é "O fluxo do rotacional de F através de S"? Quais possíveis formas de calculá-lo?

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 75 até PGM 84

Leitura complementar: Thomas 15.7 | Stewart 16.8 | Strang 15.6