Capítulo II - Integrais de Linha

Dicas de estudo: O segredo desta parte da matéria é praticar. Apesar da ideia de parametrizar uma curva parecer simples, é um dos pontos em que os alunos tem mais dificuldade.

Faça alguns exercícios dos livros complementares.

Tente repetir a teoria do vídeo e do resumo com suas palavras. O que são: parametrização? componentes? parâmetro? curva no espaço? curva parametrizada?

Tente construir você mesmo alguns exemplos, tomando interseções entre superfícies como planos, cones, esferas, parabolóides, cilindros.

Modificando os exemplos do vídeo, construa outras hélices, espirais, etc.

Para algumas curvas planas, como retas, parábolas, elipses, hipérboles, circunferências, tente reproduzir as ideias do vídeo, representando-as das três formas possíveis: gráfico de função, curva de nível, e curva parametrizada.

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 26 até PGM 29

Leitura complementar: Thomas 12.1-2 | Stewart 13.1-2 | Strang 15.1-2

Dicas de estudo: A partir desta parte, começam a surgir muitas notações, portanto, é importante ter a teoria muito bem compreendida. O que é o elemento de comprimento de arco ds? Qual a forma de se calcular uma integral de linha de 1a espécie? Porque ela também é chamada integral de linha de campo escalar?

As aplicações destas integrais para encontrar o comprimento e a massa de uma curva são imediatas. Tente refazer as deduções destas fórmulas. Isto o ajudará a entender e fixar ideias sobre o ds, e sobre a forma de se calcular uma integral de linha.

Argumentando que a norma do vetor velocidade r'(t) é a velocidade escalar, explique porque ds é o comprimento de arco.

Para a área de uma cerca ou cortina, a visualição não é tão imediata. Tente construir você mesmo alguns exemplos, da seguinte forma: escolha uma curva C no plano xy (ela não deve ser muito complicada); escolha uma função z=f(x,y) cujo gráfico você conhece (plano, parabolóide, cone, esfera); imagine e tente esboçar a superfície cuja base é a curva C e cuja altura em cada ponto (x,y) é f(x,y). Cálcule a área desta superfície, por meio da integral de linha de f(x,y) em C.

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 26 até PGM 29, e PGM 36

Leitura complementar: Thomas 12.3, 15.1 | Stewart 13.3, 16.2 | Strang 15.1-2

Dicas de estudo: Esta seção envolve muitas definições e conceitos que precisam ser bem compreendidos pois serão utilizados nas próximas seções. Reveja as definições e responda as perguntas abaixo usando como exemplos os exercícios da apostila.

O que é um campo vetorial em R2? E em R3? O que são as trajetórias de um campo vetorial? Como podemos encontrar uma parametrização para elas? O que é o gradiente de uma função? E um campo gradiente? Dado um campo F, você saberia dizer como verificamos se ele pode ou não ser gradiente? Se puder ser gradiente, sabe como tentar encontrar uma função potencial? Aliás, o que é função potencial? O que são as curvas equipotenciais de um campo gradiente? Como encontrá-las?

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 37 até PGM 39

Leitura complementar: Thomas 15.2 | Stewart 16.1 | Strang 15.1-2

Dicas de estudo: A notação começa a ficar confusa e acumular. É importante dominar os conceitos básicos, para não se confundir na hora da prova. Reveja quem é o ds (seção 2.2) e o dr, e entenda a diferença entre eles. A partir daí, tente entender a diferença entre integrais de linha de 1a e 2a espécie. Reforce em sua mente que nas integrais de 2a espécie, integramos o produto escalar entre dois vetores, F e dr. E na 1a espécie?

Outro ponto importante aqui é saber fazer as parametrizações corretamente. Faça vários exemplos para praticar. Muitas vezes os alunos erram a parametrização, e com isso, a integral de linha.

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 37 até PGM 39

Leitura complementar: Thomas 15.2 | Stewart 16.2 | Strang 15.1-2

Dicas de estudo: Esta seção, apesar de curta, possui muitos conceitos importantes. Reveja cada um deles: definição do vetor gradiente, analogias geométricas entre o gradiente de f(x,y) e a derivada de f(x), condição necessária para ser gradiente, definição de função potencial, procedimento para encontrar função potencial, e Teorema Fundamental das Integrais de Linha.

Responda: é pedido o cálculo da integral de linha de um campo F sobre uma curva C. O cálculo direto desta integral parece ser complicado, devido à expressão de F e/ou à parametrização de C. Como fazer para contornar esta dificuldade e usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha? Apresente as etapas envolvidas neste procedimento, citando com detalhes como passar por cada uma delas.

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 40 até PGM 45

Leitura complementar: Thomas 15.3 | Stewart 16.3 | Strang 15.1-2

Dicas de estudo: O Teorema de Caracterização de Campos Conservativos apresenta a equivalência entre 4 propriedades. Quais são elas?

Como utilizar este Teorema para calcular a integral de um campo F ao longo de uma curva F qualquer ligando pontos A e B? Primeiro, usamos uma das propriedades para investigar se o campo F é conservativo. Depois, se ele for mesmo conservativo, usamos outra propriedade para calcular a integral. Nesta etapa existem duas possibilidades: ou encontramos a função potencial f para o campo F, e a integral será dada por f(B)-f(A), ou calculamos a integral de linha em outra curva, mais simples, por exemplo, a reta ligando A e B. Por que esta segunda possibilidade é válida? Tente aplicar as duas aos exercícios.

Quais são as hipóteses sobre o conjunto D no Teorema de Caracterização de Campos Conservativos? O que significa, de maneira intuitiva, cada uma delas? É possível usar o Teorema no caso em que uma delas não é satisfeita?

Porque a palavra conservativo para definir campos gradientes? Você entendeu o exemplo físico?

Vídeos complementares Cursos USP: PGM 40 até PGM 45

Leitura complementar: Thomas 15.3 | Stewart 16.3 | Strang 15.1-2