Capítulo I - Integrais Duplas e Triplas

Dicas de estudo: Entenda a idéia intuitiva de integral dupla como soma (soma de quê?). Relacione este conceito com o de volume. Faça uma analogia entre integral simples X integral dupla, área sob o gráfico de uma função de uma única variável X volume sob o gráfico de uma função de duas variáveis.

Pratique muito, fazendo todos exercícios. Preste muita atenção em como parametrizar uma região no plano. Quando possível, parametrize nas duas ordens de integração. Entenda a diferença entre as duas ordens.

Vídeos complementares Cursos USP: Assistir de PGM 01 até PGM 10

Leitura complementar: Thomas 14.1,2,3 | Stewart 15.1,2,3 | Strang 14.1

Dicas de estudo: Saiba muito bem a definição de coordenadas polares e aprenda como parametrizar regiões no plano usando-as. Observe sempre as curvas onde o raio 'entra' e 'sai' da região. Muitas vezes é necessário transformar as equações algébricas destas curvas (envolvendo x e y) em equações polares (envolvendo r e theta).

Vídeos complementares USP: Assistir de PGM 11 até PGM 17

Leitura complementar: Thomas 14.4 | Stewart 15.4 | Strang 14.2

Dicas de estudo: Relembre os quatro passos necessários para fazer uma mudança de variáveis em uma integral dupla: 1) Escolher a mudança com base no integrando e na região de integração e determinar a mudança inversa, 2) Calcular o Jacobiano, 3) Determinar a região no plano das novas variáveis, 4) Montar a nova integral com todos os ingredientes. Para o passo 3), lembre-se que a transformação leva fronteira em fronteira. Portanto, transforme as equações para os lados da região original, em equações nas novas variáveis, obtendo assim equações para os lados da nova região.

Vídeos complementares USP: Assistir de PGM 11 até PGM 17

Leitura complementar: Thomas 14.8 | Stewart 15.10 | Strang 14.2

Dicas de estudo: Lembre-se sempre dos três passos necessários para montar e calcular uma integral tripla: 1) Esboçar o sólido (região de integração) e escolher um plano para projetá-lo, 2) Determinar a projeção no plano escolhido, 3) Determinar as "tampas" relativas ao plano escolhido.

Em cada exercício, faça as projeções em todos os planos (xy, xz e yz) e determine as tampas relativas, para observar as diferenças entre cada escolha.

Muito cuidado ao montar a integral tripla. Em cada uma das integrais iteradas, começando de dentro para fora, uma das variáveis irá "sumir" após a integração. Ao final, o resultado deve ser um número.

Vídeos complementares USP: Assistir de PGM 18 até PGM 20

Leitura complementar: Thomas 14.5 | Stewart 15.7 | Strang 14.3

Dicas de estudo: A dica principal aqui é praticar.

Coordenadas cilíndricas: é possível usar coordenadas polares em outro plano, diferente do plano xy. Você sabe como fazer isso? Pratique também como descrever, em coordenadas polares, discos cujo centro não é a origem. Por que isto é importante para o uso de coordenadas cilíndricas?

Coordenadas esféricas: faça um gráfico semelhante ao feito no vídeo e no cartão, contendo os eixos x,y e z, um ponto (x,y,z) no espaço, os ângulos theta e phi, e os raios rho e r. Usando o desenho, o Teorema de Pitágoras, e trigonometria básica, deduza as fórmulas para coordenadas esféricas, tanto (x,y,z) em termos de (rho,theta,phi), quanto o contrário. Obtenha também fórmulas relacionando r com rho e phi, e r com x, y e z.

Nos exercícios, cuidado para não errar a variação do ângulo phi. Tente visualizar o "ponteiro" saindo do eixo z e descendo à medida que phi aumenta. Descreva em coordenadas esféricas, conjuntos como esferas com centro no eixo z, fora da origem, "casquinhas de sorvete", etc.

Vídeos complementares USP: Assistir de PGM 21 até PGM 25

Leitura complementar: Thomas 14.7 | Stewart 15.8,9 | Strang 14.4

Dicas de estudo: A parte mais difícil aqui não envolve propriamente as aplicações, uma vez que elas envolvem simplesmente utilizar as fórmulas dadas para calcular massa, centro de massa, momentos, etc. Na maioria dos exercícios, a maior dificuldade é descrever corretamente a região de integração ou modelar a função densidade, de acordo com os enunciados dados. Para isto, leia com atenção os enunciados e faça alguns desenhos das regiões de integração, para ter certeza que você interpretou certo o enunciado.

Vídeos complementares USP: Assistir de PGM 30 até PGM 35 (Revisão e Aprofundamento sobre Integrais Duplas, Triplas, e Aplicações)

Leitura complementar: Thomas 14.6 | Stewart 15.5 |