Derivadas

Cómo utilizar la tabla de derivadas

En la tabla de derivadas hay dos zonas claramente diferenciadas: la primera son las reglas de derivación y la segunda zona son las derivadas de funciones elementales

Para saber utilizar la tabla, es fundamental conocer la función que queremos derivar y la variable con respecto a la que derivamos. Por ejemplo, si tenemos la función:

Y lo que queremos calcular es la derivada de esta función con respecto a x, que escribimos:

Es lo mismo que si nos dan la función

Y lo que intentamos es calcular la derivada de y con respecto a u, que escribimos:

En ambos casos, estamos ante una función de un solo paso (una sola operación), elevar la variable independiente ( la podemos llamar x, u o como queramos) al número tres. Es lo que se llama una función elemental en la tabla. Para calcular su función derivada usamos la siguiente entrada de la tabla:

En el caso que nos ocupa, n = 3 y la función derivada es:

Para el primer caso, y

Para el segundo caso

Lo mismo para cada una de las funciones elementales que aparecen en la tabla:

Por ejemplo, dada la función:

Si queremos calcular la derivada de z con respecto a u, la entrada de la tabla que tenemos que utilizar es la última:

La función derivada que buscamos es:

¿Qué pasa si la función que queremos derivar no aparece entre las funciones elementales de la tabla? Por ejemplo, una función tan sencilla como esta

No aparece como una función elemental en la tabla. Si analizamos la función, podríamos considerarla como de un solo paso: dividimos 3 por x; pero también podríamos considerarla como el producto de3 (una constante) por la inversa de x ( 1 partido por x). En este último caso habría que aplicar las reglas de derivación y la entrada de la tabla que habría que utilizar es:

Y en este caso la derivada es:

Las reglas de derivación que aparecen en la tabla son:

Las cuatro primeras reglas: producto de una constante por una función de x, la suma-resta de varias funciones de x, el producto de dos o más funciones de x y el cociente de dos funciones de x, son muy sencillas de aplicar

Por ejemplo, sea la función:

Si queremos calcular la derivada de z con respecto a u

Estamos ante un cociente de dos funciones de u y las entradas de la tabla que tenemos que utilizar son:

Y después, para calcular las derivadas del numerador y del denominador

Si aplicamos estas reglas a nuestra función, teniendo en cuenta que en nuestro caso la variable independiente en lugar de x es u, tenemos

Cómo utilizar la tabla de derivadas para derivar funciones compuestas

La entrada

De la tabla de derivadas se utiliza para derivar funciones compuestas. Para aplicar esta regla de derivación tenemos que saber identidficar a una función compuesta. Una función es compuesta cuando se puede construir una cadena de funciones elementales en las que la variable que entra en cada función es exactamente la que sale de la función precedente. En el esquema que sigue las funciones elementales son los recuadros sombreados

Por ejemplo, sea la función:

Para construir la cadena de funciones elementales que componen esta función, tenemos que identificar cuál es la primera de la cadena; para ello tenemos que identificar la primera operación que debemos hacer con la variable independiente cuando queremos calcular el valor de la función

En el caso de la función propuesta, la variable independiente es x y la primera operación que tenemos que hacer para calcular el valor que toma la función para cada valor de x, es multiplicar x por dos. La segunda sería restar 1 al resuntado anterior, como son dos operaciones que se derivan muy fácilmente, podemos considerar como primera función, multiplicar x por dos y restarle al resultado uno. La siguiente operación es elevar el resultado al cubo y la siguiente, extraer la raíz cuadrada. La cadena de funciones queda:

Hemos descompuesto la función en tres funciones más simples que podemos derivar aplicando las reglas de la tabla de derivadas

Y la derivada con respecto a x es

Es compuesta la función

No. Es un producto de funciones de x. Si queremos calcular el valor de esta función, tenemos que empezar calculando la raíz cuadrada de x, en el siguiente paso tenemos que multiplicar el valor obtenido por x y extraer la raíz cuadrada del resultado. por lo tanto la entrada de esta segunda función no es la salida de la primera

Para derivar esta función como un producto, ponemos: