撰稿人:(2022-23) 4D 黃學軒
祖沖之
(公元後429年-公元後500年)
祖沖之(公元後429年-公元後500年)出生於丹陽郡建康縣(今江蘇南京)。他既是一位數學家,同時也是一位科學家,亦對於機械製造有所造詣。其家族歷代對於天文曆法方面頗有研究,使得祖沖之從小便得以接觸天文、數學相關知識。
祖沖之利用劉徽割圓法以 24576 邊的多邊形計算(亦有學者認為是使用調日法),得出圓周率近似值為 355/113 (約為3.1415929),此數值與當今公認的圓周率數值3.14159265......,誤差不足8億分之一(~0.0000002668)。
另外,他亦使用 22/7 和 355/113 這兩個有理數近似值。22/7 為約率、355/113 為密率,並寫出了著名的圓周率不等式:
3.1415926 < π < 3.1415927,
準確至小數點後七位數,此壯舉可謂是中國數學史的一塊里程碑。
此外,祖沖之與其兒子祖暅更以巧妙的方法求得球體體積4/3πr3。
牟合方蓋是兩個等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分。因為像是兩個方形的蓋子合在一起,所以被稱作「牟合方蓋」。
早在二百年前的東漢時代,另一數學家劉徽在《九章算術注》已指出:
牟合方蓋體積和球體體積之比
= 正方形與其內切圓的面積之比
= 4 : π
可惜當時劉徽並不懂得計算牟合方蓋的體積,因此球體的體積也就成謎。
兩百年後,祖沖之及其兒子祖暅研究牟合方蓋時,提出了
「冪勢既同,則積不容異。」
意思是 「等高處橫截面積常相等的兩個立體,其體積也必然相等」,更因此順利得出了牟合方蓋的體積為 16/3r3。由此,巧妙的得出:
球體體積
= π/4× 16/3r3
= 4/3πr3。
為紀念他們的貢獻,此原理現在被尊稱為「祖暅原理」(Cavalieri's Principle)。
牟合方蓋
Steinmetz solid
司南車
South-pointing chariot
祖沖之在天文曆法、機械製造及文學上也有很大的貢獻。
在曆法上,祖沖之編有《大明曆》,比起以往的《元嘉歷》更為準確;
他的機械作品包括了:水碓磨、改造的司南車、千里船;
在文學方面,他著有《安邊論》、《述異記》、《綴術》等書籍。其中《綴術》一書中囊括了祖沖之及其兒子祖暅的數研成果,可惜此書已失傳。
在祖沖之所在的時代裡,珠算尚未出現,使用的乃是算籌。算籌通常以竹枝製成,把算籌以不同的擺法放在地面上,代表著不同的數字。這種方法不僅麻煩而且很耗時間,一但出現任何差錯就只能重新擺放進行計算,需要進行多次運算才可以得出答案。
祖沖之每次計算圓周率要準確到下一小數位所需的時間起碼需要翻倍,運用著這種繁複的方法依舊能夠計算出精確至小數點後7數位的圓周率,實為難得。他的探究精神、保持尋根究底的心及毅力值得我們學習。
古人籌算的畫面
籌算
Rod calculus