※ 本文同時刊登於教育部高中數學學科中心 高中數學電子報 第 133期 ( 2018.04.27 )
書名：超展開數學教室：數學宅×5個問題學生，揪出日常生活裡的數學BUG
作者：賴以威
出版社：臉譜出版社
出版日期：2017年8月
出版資料：平裝本，2888頁
ISBN：978-986-23-5599-2
民國72年頒布的高級中學數學課程標準（教育部，1983）曾明確的指出要運用素養概念，來評估數學教育的成效。另一方面，十二年國教總綱的規劃也把「素養」作為教育的總願景，並提到：「素養是指一個人為適應現在生活、面對未來挑戰，所應具備的知能與態度，著重培養學生在生活情境中，真實運用知識的學習表現。」然而，要將數學知識確實結合到日常生活中的實踐與應用，卻不是一件容易的事。
《超展開數學教室》是一本以數學為題材的小說。賴以威教授以高中的校園生活及上課場景為題材，透過一群高中生和數學老師課堂及生活之中的對話，很自然地將我們熟悉的數學知識（包含進位制、等差數列、內插法、機率、統計等），實際應用於生活情境解決問題，呈現了真實運用知識的學習表現案例。雖然目前坊間有許多數學的科普書籍都會說明數學之美，亦會嘗試告訴讀者數學是一門有用的科學工具，甚至是所有科學的語言，但是，當這樣的書籍談論過多數學「知識」的時候，不免就會淪為「工具書」，甚至讓人翻閱後容易感到枯燥與畏懼。因此，當一本科普書被讀者冠上這樣的標籤時，數學的本質精神與實用性就很難傳達給讀者，遑論讓讀者感受到數學有用之處了。
由此可知，科普書籍如何能夠將數學本質及實用性，以輕鬆詼諧的方式傳遞給讀者，讓讀者了解「數學是有用的工具」，顯然是科普作家的一大挑戰，但是，《超展開數學教室》卻做到了！雖然本書以高中課堂生活切入，但是取材範圍廣泛，包含餐廳爆紅的數學秘密、百貨公司大打折扣戰背後的數學、婚友社會員邂逅的機率、男人與女人的馬桶大戰等。在本文中，筆者僅介紹推薦本書各章節中，如何巧妙利用數學知識解決生活問題。至於艱澀的數學式子推導及運算層面則不贅述，留待有興趣的讀者深入閱讀。
本書的內容淺顯易懂，很適合非數學專長的讀者閱讀，尤其適合在教學現場，作為引起學生學習動機的參考用書。謹推薦之！
本書共分成三個當作主軸，首先，以第一部《不上數學的數學課》（第1~10章）做為故事的開端 － 故事場景設定某所高中，一位對數學狂熱的教師面對一群不喜歡數學的學生，在放學的課後輔導時段，展開了「最喜歡數學老師vs.最不喜歡數學的學生」的矛盾對決。接著，第二部《你想對數學說什麼》（第11~18章)接在其後，將「數學」擬人化之後，以一段對話詮釋：
「我能理解大家討厭數學的心情，但難道你們沒想過莫名其妙就被討論的數學，也很無辜嗎？它可沒有強迫大家學它啊！各位有考慮過數學的心情嗎？」
「跟它不熟」
「數學聽到都要落淚了」
最後，由第三部《用數學搶救老師大作戰》（第19~24章)收尾 － 課輔班成績太差，數學老師要被解雇，五位學生聚集咖啡廳，討論如何讓學校改變決定，一場搶救老師大作戰即將開始！
本書一改過去數學科普書籍會讓人難以親近的刻板印象，以深入淺出的生活實例，並在每章開端以漫畫穿插的方式，將數學的實用性介紹給讀者。筆者現將本書內容逐章簡述，並扼要說明本書各章如何巧妙地將數學知識運用在生活解題之中。
第1章－搭訕，微分等於0時請轉彎
本章阿叉以（不喜歡學習的籃球校隊球員）在廣場上等孝和（愛翹課的數學天才）時，看見從腦海中走出來的百分百女孩站在紅綠燈路口，然後在兩道反方向的人潮中以直線的方式前進、為愛勇往直前，引出「直線距離雖然是最短路徑，但不一定是最快路徑」的概念，以此說明光行徑路線的「司乃爾折射」原理。
第2章－藏在餐廳爆紅現象裡的數學秘密
近年由於網路普及，許多部落客到餐廳品嘗美食後，即利用拍照、網誌的方式，分享對於該間餐廳的評價。一般大眾亦利用網路搜尋美食部落客文章做為選擇參考。這樣間接的網路互動模式，也造就了某些餐廳爆紅。這種行為模式其實和「蜜蜂跳舞」相同，蜂巢中的蜜蜂看著各隻「偵查蜂」起舞後，有興趣的加入偵查行列，也飛去那個場地看看，連帶引領更多的蜜蜂想去一探究竟。這本來只是一些簡單的行為，卻因為彼此的影響，最終形成複雜的整體。
本章透過解釋餐廳爆紅現象，介紹了蜜蜂尋找蜂巢所發展的「蜂群最佳化演算法」。「蜂群最佳化演算法」又稱為「仿生演算法」，是科學家藉由觀察生物行為，把這些行為用數學歸納、分析後，所發展出解決問題的方法。在一群物件中為了尋找出一個最適合單元時，電腦程式放出許多虛擬小蜜蜂，這些蜜蜂靠探索、跳舞找出最佳物件。類比地，消費者亦為了尋找最佳美食，透過部落客的推薦，使得消費者能找出最佳餐廳，此即藏在其中的數學秘密。
第3章－你說的話是幾進位
本章以全球化的英文「Globish」為例，引入進位制的概念，根據維基百科的定義，「Globish」是全球「global」和英語「English」兩個英文單詞縮合而成的新詞，是法國人約翰-保羅·內里埃 （曾任職美國 IBM 的副總裁）以英語為基礎所創造的一套較易掌握的語言。這套語言棄用所有成語和慣用語，宣稱僅需要運用 1500 個英文詞彙，便能完成日常生活溝通的英語；也因為這套語言僅用1500個字彙即可進行日常生活溝通，因此有時會需要以較長的字串來表示某個艱澀的詞彙，這個概念與進位制的概念相同。
以「姪子」為例，英文叫做「nephew」，但是在「Globish」裡稱為「the son of my brother」。雖然都是「姪子」，但是字數卻膨脹了，這個和進位制的概念相同：以2進位制為例，因為2進位制中，僅有0和1兩個字元，因此欲表示成10進位制中的339時，便以長字串101010011代表之（即2進位制的101010011轉換成十進位制後為339），而以16進位制轉換10進位制的339時則為153，亦即越高的進位制，可用越少的位元表示同一組數字。
第4章－計算紙裡的白銀比例
本章以大家生活中熟悉的A4影印紙為例，提到A0對裁後可以得到兩張A1，A1對裁後可以得到兩張A2，依此類推...。對於任何尺寸的A系列而言，每一種型號的長寬比都相同，皆為√2:1（某種尺寸原本的比例為√2:1，把長邊對折後會變成1:√2/2 =2:√2=√2:1），這個比例稱為「利希騰貝格比例」(Lichtenberg ratio)。其次，把兩張計算紙垂直交錯、疊在一起，一個角對齊，再裁掉重疊的正方形區域，剩下的長方形的長寬比為1:(√2-1)，亦可說是(1+√2):1，這個比例即為「白銀比例」。此比例常用在伊斯蘭風格的拼貼鑲嵌藝術的特殊菱形之中，也讓讀者知道數學亦能應用在生活美學裡。
第5章－美感也是一種數學概念
本章首先傳遞給讀者一個訊息－「美感」和「黃金比1.618」有關。大自然充斥著許多事物，如貝殼的紋路、花瓣分布、植物生長等都符合黃金比例。其次，以「為什麼大自然裡會有很多黃金比例？」引入了「費波納西契列」－1,1,2,3,5,8,13,...，並指出許多動植物的生長如花瓣、松果種子的排列等都符合「費波納契數列」。另一方面，四葉的酢漿草能帶來好運，意味著四片葉子的酢漿草是罕見的，究其原因，有可能是因為費波納契數列裡面沒有4（對符合費波納契數列的植物來說，4片葉子是違背生長定律的突變）。可見，大自然萬物處處都有費波納契數列，都是美的化身。
第6章－買千送百真的划算嗎
本章主要談百貨公司周年慶大打折扣戰背後的數學陷阱。在消費者的認知裡，百貨公司推出「買千送百」和「打九折」的促銷活動，這兩者的折扣是相同的，但事實不然，原因在於買千送百的活動對於業者的認定是花1000元購買1100元的商品，也就是實際上的折扣數為1000/1100，約為九一折而非九折，但「買千送百」的方式，不僅讓店家比用「打九折」多獲取約1%的利潤，甚至還會因為折扣門檻，讓消費者強迫買到超過的金額，才能享受到折扣。
另外，本章也談到「買三千送三百」、「買五千送五百」等活動，看起來和「買千送百」是相同的，但實際上「買三千送三百」僅獲得5.7%的折扣、「買五千送五百」更只有3.7%的折扣，甚至能讓店家在折扣消費門檻變高的情況下，讓消費者強迫消費創造更高的利潤。因此，在踏入週年慶之前，如果能懂一些數學常識，然後自己換算折扣數，就不會讓荷包大失血了。
第7章－怎麼把最多的「快樂」裝進背包裡
本章延續第6章百貨公司的話題，進一步以消費者的消費行為談論「最佳化問題」。當百貨公司周年慶時，公司除了會大打折扣戰外，還會推出來店禮、滿額禮、折扣禮、信用卡友禮等好康吸引消費者。當消費者接受到訊息後，便會開始拿著DM努力的計算，期望在有限的預算下，能夠收穫滿滿，但是，「收穫滿滿」很抽象，這種收穫其實是指「購買商品後所帶來的快樂總和」。因此，如何讓購買商品後所帶來的快樂總和達到最大，這時候需要使用「最佳化」的策略，而這個策略就是知名的「背包問題」。
「背包問題」是假設你的背包能載重Ｃ公斤，而有許多物品需要塞到背包裡，每樣物品都有自己的重量w，效益p，該放哪些物品進去才能最大化總效益u。因此，把百貨公司購物問題套到背包問題中－購物預算是背包載重、價格是物品重量、買下商品的快樂程度是物品放入包包後的效益，這樣就成為：「如何在給定預算下購物，才能得到最大的快樂」，即能在購物時，不論是心情還是價格皆能獲得最大總收益了！
第8章－展望台上的約會數學
本章中以威老師藉由男、女生在新光三越的展望台窗邊約會，浪漫的一起觀看夜景，談論站在高處究竟能夠看得多遠，進而引出圓切線的知識，說明利用畢氏定理，推斷出站在新光三越頂樓可以看到多遠的距離。
第9章－別人的運氣比較好
本章以合作社每年辦抽獎活動，某位同學竟然能夠連續兩年中頭獎，讓人聯想這位學生的家長是否和合作社有勾結為例掀起話題，討論「某個人能夠連續兩年都中頭獎的機率」，進而討論「在可以重複得獎的情況下，該位同學能夠重複得獎的機率」。這兩個問題都相當貼近生活，一般人的認定都會認為得獎的機率相當低，但是，從實際計算解說中，就可以知道不論是「某個人能夠連續兩年都中頭獎的機率」，亦或「在可以重複得獎的情況下，某位同學能夠重複得獎的機率」，都比想像中來得高。
第10章－不插隊，靠排隊理論就能早點結帳
本章以購買東西排隊為例，談到一般人到任何地方常常都需要排隊，包含到公車站等候公車需要排隊、等遊船需要排隊、喝茶需要排隊、買冰淇淋也需要排隊等，但是，如何有效率的排隊就不是這麼容易了，文章透過一連串的話題，帶出了「排隊理論」（queueing theory）。
排隊理論或稱「等候理論」，主要的研究是觀察在服務系統中排隊現象的隨機規律（維基百科）。一開始，這個理論是由哥本哈根工程師厄朗研究人們打電話的方式時，所發展出來的等待公式，他透過分析平均等候的時間，來決定是否投資更多線路成本。因此，透過此理論，利用統計學和數學模型等方法，去尋找複雜問題中的最佳或近似最佳的解答，期望能達到排隊時間縮短的最佳效益。
第11章－打工偷懶前請學內插法
本章以學生欣妤當工讀生需於每天早上七點到十二點，替廣告公司統計捷運站各時段人潮出發，談論到內插法的妙用－能「偷懶」不用長時間站著發傳單。教師雲方引導欣妤將蒐集到的資料進行分析，如果觀察出一段時間內的數據呈現近似線性變化時，就可以使用線性內插法。教師進而引出線性內插法的公式，以及數據變化為二次曲線的二次內插公式，讓欣妤不僅能預先計算出人潮變化，還可以節省時間，一舉數得的數學應用方式。
第12章－禮物我做，排列組合你算
本章以學生積木想要親手做一個禮物給欣妤為例，談二個很有趣的數學問題：「如何在兩個方塊（各六個面）的每個面上刻一個0到9的數字，然後靠兩個方塊旋轉就能夠排出1~31號的日期？」，以及「當這樣的方塊完成後，除了1~31外，還可以排出幾組數字？」教師雲方透過引導的方式，帶著學生進行一連串的思考，引導著讀者思考數學在生活中的應用。
本章也傳給讀者：「數學不一定只會用在專業的領域，連不起眼的小地方也隱藏了數學」。
第13章－權力小心機，花費最少獲得最多
本章以眾人在課堂上討論歷史劇《雍正王朝》出發，《雍正王朝》是一齣描述權力鬥爭的宮廷戲，吸引人的地方在於許多不起眼的動作，卻會牽一髮動全身，影響權力的操作與分配。眾人討論的劇情正上演著「五位阿哥在討論皇阿瑪生日要送什麼禮物？」，若五位阿哥出資相同，每個人擁有一樣的決定權，唯有超過3人贊成才能決定要送什麼；但要是出資有差異，每位阿哥說話的份量就不同了。
透過上述狀況，可以知道權力的關鍵不僅在於誰出多少，更重要的是誰能決定過半，這個稱為「權力指數」(Shapley-Shubik)－越容易左右投票結果的人，權力指數越高。因此，為了當權力者，該出多少金額，以及該拉攏什麼人就需要數學的分析。
本章透過歷史實例，讓讀者更見識到：「數學是一種語言，運算規則是文法，運算過程是描述，是極度講究精準和量化；我們一旦能理解了，即使像權力分配這麼複雜的事物也能描述清楚」。
第14章－婚姻方程式
本章以報紙的話題：「臺灣一年約有13萬對新婚夫婦，根據統計民國102年有高達53,599對夫妻離婚，平均每天有147對夫妻離婚。」開啟了課堂中的統計話題：牛津大學一位數學教授James Murray邀請了數百對的夫妻到研究室，針對特定主題對談，例如金錢、政治、兩性等，然後紀錄並分析夫妻們的聊天過程，進而以「遞迴數列」來模擬夫妻情感的互相影響，將雙方的情感量化後，提出一套婚姻方程式，可讓我們作為理解夫妻相處的參考模式。
第15章－我愛你高達100分貝
本章以量化辣椒的「辣」度出發，談論到欲量化一個東西常會遇到一個問題 － 被量化的事物之間差異性大，但是在對數轉換下，原本用乘除運算的倍數問題，可以轉換為傳統的線性刻度，用加減法運算解決。因此，透過數學的「對數」減少運算的複雜度，即可解決量化所遇到的問題。
第16章－分蛋糕是個邏輯問題
學生欣妤和積木認識紀念日的課堂中，一個用巧克力醬畫出各種數學符號的蛋糕，開啟了如何「公平切蛋糕」的話題。「公平切蛋糕」問題起源於在日常生活中，都需要將資源、預算、工作等做「公平」的分配，而這個公平也要讓大家都能夠接受。因此，數學家建立了一個平分蛋糕的模型，來描述和分析這些狀況 － 如何將一個蛋糕切成n塊，然後平分給n個人。
關於「公平」的定義有許多種，本文所採用的是「免妒忌的公平」，指的是每個人對別人得到的分配沒有妒忌之意，也就是說每個人依照自己的判斷，除了滿足公平外，亦認為沒有任何人得到的蛋糕比自己更多。在這個定義下，如何將一個蛋糕切成n塊，然後公平的平分給n個人，就需要運用數學邏輯解決問題。
第17章－用等差數列測試戀人底線
本文假設「將女朋友所不能忍受的事情設定成100點，測試底線就是找到她不能忍受的程度X的值為何？」但是測試是有限制的，如果觸碰到底線對方會生氣，生氣的次數過多就會分手，因此，如何用最少的次數測試對方的底線，就需要「等差數列」。
本章以考生應該要能揣測出題者的想法出發，談論到談戀愛時也一定要了解自己和女朋友，不然感情無法長久，正因為「知己知彼，百戰不殆；不知彼而知己，一勝一負；不知彼，不知己，每戰必殆」。利用「等差數列」測試另一半的容忍的底線，亦可見其中數學的應用。
第18章－找到人生價值的最大可能機率
本章中從教師雲方和學生們討論未來打算念什麼樣的科系談起。對於年輕的學生而言，有許多沒經歷過的事情，如何確定現在想做的事會是一輩子最想做的呢？文中教師雲方引導學生得到一條法則：「年輕時盡量體驗。過了一個特定年紀後，一遇到比之前體驗過最有趣的工作還要再更有趣，就將那份工作做為終生志業。實踐這條法則，就有最大的機率能找到最適合的工作。」
根據上述法則，可應用數學的「條件機率」設定一組方程式，以x表示特定年紀時換過的工作數目，N是一輩子會做的總工作數，進而得到「一過特定年紀，遇到的第一份比之前都還棒的工作，就一輩子做這份工作，找到最適合工作的機率P(x)」，由此可作為最適合工作的參考依據。
第19章－平均多掀了一次馬桶蓋
記得前陣子新聞上有個報導：「許多婚後的新人為了掀馬桶蓋的習慣所引發的男人與女人的馬桶戰爭」。本章雖然以《紅樓夢》的世界裡一段鮮為人知的故事出發，實質上討論的是「掀馬桶蓋次數」的問題：男子分別在「願意上完廁所後蓋回馬桶蓋」與「不願意上完廁所後蓋回馬桶蓋」兩種狀況下，使用者（不論性別）平均掀馬桶蓋的次數。透過這個問題的討論，應用「期望值」的概念，本篇文章討論的結果其實可以讓許多家庭參考，以停息所謂的「馬桶戰爭」。
第20章－賭博重要的是資本，不是運氣
本章以逢年過節時，家中常會透過小賭來打發時間為例，以探討賭博是否有必勝的策略。文中假設兩個人每一盤勝負的機率各是一半（機率為0.5）的情況下，以數學的「樹狀圖」進行分析後，最後得到「只要開局時的賭本夠多，終就會贏得對方所有的資金」，更驗證了本章的標題「賭博重要的是資本，不是運氣」。
第21章－靠矩陣分勝負
本章透過體育館內的籃球比賽難以分出晉級隊伍的困擾，談論如何利用矩陣分出勝負。本文提出了一個分組計分的「競賽矩陣」概念：透過一個能夠表示各隊勝負結果的矩陣，進行這個矩陣的平方運算後所得到「贏過的隊伍中，有幾隊贏過此隊」的競賽矩陣積分，協助分出學校體育館裡的籃球分組預賽的晉級隊伍。因此，在預算結束後若有若干隊伍的勝敗場次積分相同，而在分析這若干球隊彼此的勝負關係也沒有辦法得出結果時，這時候，就可以依據「競賽矩陣」選出晉級隊伍。
第22章－一起用機率找回遺失的記憶
本章以欣妤在養老院做志工，和養老院裡的一對老夫婦的對話互動起頭。這對老夫婦因為年紀大了，在回憶過去時往往像是拼圖的拼湊，透過七湊八湊，來喚起許多的記憶，因此，欣妤試著以上課所學到的知識：「機率」和「獨立事件」找回老夫婦遺失的記憶，並估計老夫婦之間共同的回憶的件數－「假設爺爺記得M件回憶，奶奶記得N件回憶，而兩個人擁有X件共同的回憶，當爺爺奶奶把各自的記憶拿出來比對，發現共同記得的事情是P件，則兩個人共同的回憶件數X=MN/P」，進而幫助兩位老人家，拼湊出屬於兩人的記憶。
第23章－邂逅Mr. Right的機率
本章的話題是婚友社。作者提及「媒妁之言」是一項歷史悠久的職業，古代稱為「媒婆」，其經營方式是個體戶，而發展至今即為「婚友社」，以組織的型態規模經營。婚友社為了吸引客戶，會讓每一位現場加入會員的客人，有30分鐘的時間到交誼廳認識異性，每一對會員一次相處30分鐘，還是切割成二段使每對會員見面15分鐘，抑或切割成三段，使每對見面10分鐘？其實可以利用數學理論支配及分割這30分鐘的額度，以提升會員邂逅的機率！
第24章－班佛定律挑戰你的直覺
本章以一道例子：「如果定義每一筆數字最左邊的那位數（最高位數）的數字為首數，那麼，全台灣兩千三百多萬人的存款金額首數1~9各位數字出現的機率各自是多少呢？」，這個問題用均勻分布的直覺來判斷通常都會認為每個數字出現的機率皆是1/9，但是，在本文中，作者舉了幾個例子，就看出事實並非如此，他稱之為「失靈的直覺」，此即為「班佛定律」。
班佛定律說明「以自然形式出現的數字，首數是1的機率約30%，2的機率是17.6%，依序遞減，首數是8與9的機率各自僅有5.1%與4.6%」，文中更以2012年的總統大選全國各鄉鎮區的投票票數來驗證班佛定律，其結果亦相當符合。因此，只要是自然產生的數據，且數據涵蓋範圍夠大，首數的分布即會符合「班佛定律」。
在日常生活中，舉凡高科技產業、人類面臨的種種問題，都需要借助數學的分析。儘管如此，中學的數學教育卻長期偏離了吾人的生活經驗，不免會讓人產生「學數學有什麼用」的迷思。美國數學教師協會 (National Council of Teacher of Mathematics，簡稱 NCTM)於1989年即提出「數學連結」的重要性，明確指出教學應將數學概念連結與應用於生活情境當中(NCTM, 1989)；十二年國民基本教育於數學理念中，亦強調生活經驗與數學概念之間相互關係的發掘 (教育部，2014)。
由上可知，教學現場的教師除了要注意數學課題以外，還要在實用和學生可想像的規準下，讓學生知道學習某個數學課題或概念能用來「做什麼」，方能讓學習產生效果。本書以生動的筆觸，巧妙的將數學知識應用於生活之中，用淺顯易懂的文字把數學帶進了我們習以為常的生活情境裡，讓我們發現數學在生活中也能這麼有魅力。
本書的取材中，像是第8章之展望台上的約會數學、第9章之別人的運氣比較好、第11章之打工偷懶前請學內插法、第12章之禮物我做，排列組合你算、第17章之用等差數列測試戀人底線、第18章之找到人生價值的最大可能機率，以及第23章之邂逅Mr. Right的機率等，扣合著高中的數學內容，推薦給各位讀者閱讀。
總之，筆者透過閱讀本書，再次體悟了「生活中處處有數學」的道理。因此，本書非常值得推薦中學師生，尤其是想要體會數學的實用面向的讀者。