※ 本文同時刊登於教育部高中數學學科中心 高中數學電子報 第 94 期 ( 2015.01.29 )
書名：微積分的歷史步道
作者：蔡聰明
出版社：三民書局
出版日期：2013
出版資料：平裝本，408頁
ISBN：978-957-14-5804-5
本書作者蔡聰明是台灣大學數學系退休教授，多年來從事數學教育與普及數學的工作，對於推動及普及數學知識不遺餘力，選題讀到講解清楚，並且反映出廣博的文化素養。他也著有《數學拾貝》、《數學的發現趣談》、《從算術到代數之路》等多本針對中學學生及教師閱讀的科普書， 取材上廣且豐富，很適合中學教師閱讀，亦可做為學生課外閱讀的專書。
這是一本為學習微積分的人而寫的微積分發展史，無論是初學者或是學過微積分的讀者，這本書都是不錯的選擇。蔡教授鑑於目前所存的微積分發展史文獻，幾乎都是為數學史家而寫的，不適合學生研讀，加上一般的微積分教科書通常都是逆著歷史的發展順序書寫，缺乏微積分的探索發現過程，因此蔡教授根據多年的教學經驗，決定透過微積分的發展史來呈現微積分的探索發現過程，本書談的是微積分的歷史與素養，可貴之處在於取材面廣又鉅細靡遺，學子看了對微積分的整體概念必定獲益良多：第3章〈阿基米德的巧思妙想〉談的是思想、第4章〈求積方法的演進〉及第5章〈求切線方法的演進〉談的是技術、第7章〈運動現象的研究〉談的是運動，而第10章〈牛頓如何發現微積分〉與第11章〈萊布尼茲如何發現微積分〉讓微積分正式登場。現將內容分述如下：
首先是第０章－攀登微積分聖山：蔡教授將微積分比喻成「聖山」，兩千多年來，無數的信徒來到這座山朝聖，而求積、求切、求極以及研究運動現象等四類問題促成了微積分的誕生，其中求切線與求積分皆涉及「無窮步驟」。山中住著無窮大〝∞〞與無窮小〝dx〞，這兩個精靈，神通廣大，具有超能力，能夠幫助人類解決「無窮步驟」的困境，人們留著汗，一步一腳印，攀登了兩千多年，最終由牛頓與萊布尼茲最先攻頂成功，請出了極限與兩位無窮小精靈dx與dy，合力相除，做出，發現了微分法與微積分根本定理，因此我們要攀登它，重走一趟微積分的歷史步道，並且欣賞沿途之美。
第１章－畢氏學派發現無窮：西元前六世紀，畢達哥拉斯經過一番的分析與思辯，讓畢氏學派在離散的世界觀下有了：「線段是有窮可分割」，「點的長度>0」，「任何兩線段皆可共度」，「有理數就夠幾何度量之用」。在這個基礎之上，畢氏學派探討幾何圖形的規律，建構幾何的知識系統，算是相當成功，但是幾何線段的度量問題與求積問題讓古希臘人遇到了無窮，產生許多矛盾而又無法有效的解決，震垮了畢氏學派的幾何學，導致「希臘人對無窮的恐懼」，一直到十七世紀，牛頓與萊布尼茲才找到普遍的方法，叫做「微分法」，馴服了無窮，揭開了一切求積與變化之謎，但微積分的基礎又經歷了兩百年的奮鬥，直到十九世紀末才完成，真正馴服「無窮」。整個合起來計算，微積分的發展時間至少長達2500年。
第２章－從有涯飛越到無涯之路：畢氏學派的垮台引出求積的難題，到十七世紀創立微積分，微積分最主要的困難是遇到了「無窮」，因為切線和面積的答案都躲在「無窮遙遠的彼岸」，所以都需要經過「無窮的步驟」才可以得到，清楚的瞭解這些概念後，難題才真正解決，其間跨越兩千餘年的鴻溝，這一章由「線段的長度」切入，採用萊布尼茲「無窮小」記號，看出了微分與積分的互逆性，得到了微積分根本定理，走出一條微積分的捷徑，直接飛過兩千餘年的鴻溝。
第３章－阿基米德的巧思妙想：阿基米德的數學成就讓他悄悄地來到微積分的大門口，其工作主要是解決求積的問題：面積、體積、表面積，這些在當時都是大難題，尤其是在缺乏極限概念，更沒有微積分的工具下，他利用非常巧妙的「窮盡法」與「兩次歸謬法」解決它們，這是阿基米德高明的地方。
第４章－求積方法的演進：求積問題是微積分最早的發源地，面對這個千古難題，阿基米德把拋物線弓形區域視為線段組成的，用槓桿去秤，先猜測出答案，再用嚴格的窮盡法與兩次歸謬法加以證明；然而阿基米德之後，後繼無人，一直等到文藝復興時代（約1400~1600年），西歐才從昏睡中甦醒過來，在普遍的微分法還沒出現之前，數學家設計許多求積的方案，本章介紹了克卜勒的無窮小論證法、Cavalieri的不可分割法、Wallis的無窮算數法、費瑪的動態窮盡法等，欣賞前人的創意。
第５章－求切線方法的演進：求切線問題表面上看來和求面積問題不同，但實際上緊密連通。因此這個連通關係不容易被發現，這是微積分醞釀了兩千年的主要理由，一經發現，微積分就誕生了。求切線及法線起源於：幾何學、光學，以及探求運動的方向與求極值問題等，讓我們認識到切線的重要性。解析幾何：透過曲線上一點的切線，用「點斜式」就可以掌握它的方程式，因此切線的核心在於「斜率」，掌握斜率就掌握住切線，另外求極值以及運動現象的求速度與加速度，也都屬於求切線問題，這一章就在探究這個問題的歷史演進－從阿基米德螺線、兩速度合成求切法、笛卡兒利用代數方法的圓法、費瑪的求切線法，到巴羅的無窮小法都成功的求得切線斜率。
第６章－費瑪叩敲了微積分的大門：費瑪是法國的數學家，但是他的職業是律師，因此後世尊稱他為「業餘數學之王」，他高超的求積分、求切線與求極值的方法，讓他悄悄地來到微積分的大門口，叩敲了微積分的大門，這使得一些法國的數學家宣稱費瑪發明了微積分，但是事實上，費瑪並沒有真正的發明微積分，但他卻為微積分奠下一塊極重要的基石－他在1638年的某一瞬間，為了解決一個極大值的問題，突然靈光一閃，提出考慮「無窮小的變化量ε」，費瑪是第一個讓獨立變數x作微小變化的人。雖然費瑪的想法有一些缺失，但是他探索求積與求極值的方法，讓他悄悄地來到微積分的大門口，而後牛頓讀到他求極值的著作，立即頓悟出微分法的概念，這是微積分史上的偉大時刻。
第７章－運動現象的研究：在促成微積分誕生的四類問題中，運動現象的研究是一條重要的線索。這一章探討運動現象，從古希臘的亞里斯多德開始，至伽利略的「破舊立新」，最後才有牛頓成功建立牛頓力學，真正掌握住運動現象；伽利略研究運動現象，尤其是自由落體現象，得到自由落體定律與慣性定律，揭開運動現象之謎。
第８章－托里切利對微積分的驚鴻一瞥：從古希臘時代到１７世紀牛頓與萊布尼茲之前，微積分已經發展到相當程度了，而看出「微分與積分的互逆性，並且體認到它的重要性」，微積分才算是真正誕生。關於微分與積分的互逆性，其實有兩個古老的線索，那就是圓與球的周長、面積與體積公式之間的關係，但歷來的人都「習焉不察」，能看出微分與積分的互逆性的是伽利略的學生托里切利，而這一章在談托里切利的貢獻。
第９章－巴羅看見了微積分基本定理：在微積分史上第一個發現並且證明微分和積分的互逆性的人是巴羅，他是牛頓在劍橋大學的老師，因他深深賞識牛頓的才華，因此在1669年他推薦牛頓來接他的位置，然後將他的餘生用在神學的研究上。他的數學工作主要是表現在Lections Geometricae一書（1670年出版），講述時間、空間與運動的一般概念。這個講稿對微分與積分的理論作了有系統的探討，他採用了當時主流的幾何形式與語言來論證，這一章就在介紹巴羅在微積分方面的工作。
第10章－牛頓如何發現微積分：牛頓是英國物理學家、數學學家、天文學家，和煉金術士。他在1687年出版了曠世名著《自然哲學的數學原理》裡提出了萬有引力定律和力學的三大運動定律，促成17世紀的科學革命，他創造了現代的物理科學、微積分與光學，其結果深刻影響人類文明生活的走向。牛頓與萊布尼茲獨立發明微積分：從研讀費瑪求極值的著作，精煉出讓微積分大放光明的流數法－即今日的微分法Ｄ，看出微分與積分的互逆性，給出演算系統，一舉解決求積與求切這兩類問題，這一章詳述了牛頓在這一方面的貢獻。
第11章－萊布尼茲如何發現微積分：萊布尼茲1646年誕生於德國的萊比錫，在1672年到16 76年，由於外交任務的關係，他被派往法國巴黎，在巴黎他遇到當時歐洲大陸最有學問的惠更斯（Huygens，1629~1695），激起他對數學的熱情，並且創造微積分，使得在巴黎的四年成為他一生當中數學原創性的巔峰時期。巴斯卡的著作讓萊布尼茲打開眼界，突然悟到一些道理，逐步經營出他的微積分理論，在1714年發表一篇文章叫做「微分學的歷史與淵源」，簡述他發明微積分的整個歷程，而他發明微積分的根源在於差和分學，差和分與微積分之間的類推關係，恆是萊布尼茲思考的核心－有了微分與積分互逆的觀點，以及差和分根本定理，很快就看出微積分基本定理，利用微分法普遍而系統的解決積分的難題，這是微積分史，乃至於人類文明史的偉大時刻。
本章尚談到牛頓與萊布尼茲都認為自己是微積分第一個發明人，牛頓由運動學切入微積分，萊布尼茲由差和分的連續化得到微積分。雖是殊途同歸，但基本思想還是有所差異，接著作者由五點來比較二人的微積分工作－記號觀、方法論、無窮小量、變量的概念、微積分的優先權之爭。
第12章－微分三角形的魅力：所謂「微分三角形」就是求過曲線上一點P之切線時，在曲線上鄰近P取一點Q，Q點沿曲線愈來愈接近P點時，線段PQ可以看作是弧PQ了，這時直線PQ就是過P之切線。過P、Q各作X軸之平行線與垂線交於R，則PQR就是微分三角形。微分三角形在微積分發展史上扮演一個關鍵的角色，這是巴斯卡（Pascal，1623~1662）在1659年研究有關於圓的求積時所發現的，在1660年巴羅也利用微分三角形搭配無窮小論證法來求切線斜率，萊布尼茲在1670年代把巴斯卡的方法，從圓推廣到一般曲線的情形，發展成為他獨特的「轉換方法」，變成很有效的積分技巧。
第13章－圖解微積分學根本定理：一個重要的定理往往具有多面性，值得從不同的角度來加以觀察，牛頓與萊布尼茲分別從不同的角度看出微積分根本定理，這一章作者改採圖解的方式來看它，希望讀者能夠對微積分有一個直觀的了解。
第14章－牛頓的定命性原理：牛頓與萊布尼茲發明微積分，掌握住運動與變化現象，從此人類對大自然才有了真實的理解；有了微積分就順理成章有微分方程，微分方程捆住了函數，它可以看成是捆住自然律的繩索，透過微分方程來掌握流變現象，這一章就要針對微分方程來進行探討。
第15章－抓住飛逝的瞬間：微分是「抓住飛逝的瞬間」，積分是「將瞬間的無窮小變化作累積」。科學的奧妙在於重建過去與預測未來，微積分相當成功的實現這件事，結晶在微分方程中。這一章主要針對牛頓與萊布尼茲登上微積分的聖山，欣賞過的美景，作個回顧與前瞻 。
第16章－跟無窮的相遇與相知：這是本書的最後一章，本書只寫到牛頓與萊布尼茲創立微積分為止，因為作者認為再寫下去就會變成羅素所說的「大書是大罪惡」，而對於本書的最後一章，作者採用「無窮」與「點的大小」這兩個觀點，有觀點才能夠看見世界，觀察到事物。「無窮」跟數學結下不解之緣，變成數學的靈魂，人類跟「無窮」搏鬥已有2500年歷史，產生了豐碩的成果；數學家追尋無窮，得到了四項成就：微積分、集合論、不完備定理以及非標準分析學，其中以微積分所花的時間最久長，充滿驚心動魄與困惑，微積分涉及的無窮，包括無窮大、無窮小、無限的接近但不能碰觸、極限、連續性及連續統等。本書皆作了總結與鳥瞰。
許多人對數學的觀感是：「學數學有什麼用？以後又用不到？」，是因為教師在教學時，無法讓學生瞭解數學的本質與內涵，以及它與人類歷史的互動。蔡教授透過微積分的發展史來呈現微積分的探索發現過程，取材面廣且詳細，學生看了對微積分的整體概念也必定有所收益。從費瑪叩敲了微積分的大門、托里切利對微積分的驚鴻一瞥、巴羅看見了微積分基本定理一直到牛頓與萊布尼茲如何發現微積分，在發展的過程中，許多數學家對於數學思考的過程包含推測、歸納、演繹、類比、特殊化、與一般化等組合，但是當今邏輯演繹法已為數學理論發展的主流，多數課本教材受此影響將數學知識以最簡潔、精準的方式呈現，而數學家思考時所面臨的掙扎與嘗試試探過程早已被遮蔽，整個數學知識的歷程消失殆盡；其實老師在教學過程中，也應該讓學生體驗各種有關於數學的歷史、文化、與科學演變的過程，使得他們能夠欣賞當代社會發展中，數學所扮演的角色；從數學自身的發展以及對人類文化與生活的衝擊中，讓學生瞭解數學和歷史情境的互動。
這本書起了最好的示範效果，學生透過閱讀，可以體認到數學其實是許多科學努力的一部份，能夠了解數學思考的本質，並且熟悉數學的關鍵概念與技巧。而教師如能在教學中協助學生閱讀這本書，並帶領學生從中了解到數學的本質與內涵，以及數學與人類歷史的互動，學生方能體認到數學的重要性與內在價值。