※ 本文同時刊登於教育部高中數學學科中心 高中數學電子報 第 121 期 ( 2017.04.25 )
書名：你沒看過的數學
作者：吳作樂、吳秉翰
出版社：五南文化事業
出版日期：2015年9月
出版資料：平裝本，253頁
ISBN：978-957-11-8241-4
當前數學教育過於著重數學的計算、快速解題、應付考試，導致忽略了數學素養的重要性。學生在被迫做太多機械式的練習與記憶各種題型的標準解法，因而沒有足夠的時間學習正確推理的方法及內涵，使得數學脫離豐富的文化內涵亦扭曲其真實面貌，造成大多數人認為數學既枯燥又無味、難學也難懂。有別於其它相關的科普書籍描述學習數學的功用，本書是一本敘述數學之美的書，作者認為數學雖然是所有科學的語言，然其本質和內涵比較貼近於藝術，反而與科學的本質相去甚遠，因此本書嘗試從人類的文明發展脈絡說明數學的本質，更像是培養藝術素養般，是人類文化中深具想像力及美感的一部份。
這本書分成幾個主軸敘述，首先，按照歷史發展的脈絡分成「數學與藝術」及「數學與音樂」兩個方面來告訴讀者什麼是數學，指出數學令人賞心悅目及美感之處；其次，說明數學是西方文明的產物，其影響性擴及哲學思想和推理方法；再次，說明數學與邏輯的關係，有鑑於生活中所見所聞都是邏輯，作者認為可與學習數學的邏輯相聯結；最後，將數學放回人類文明中，認識生活中的數學，期望幫助許多人克服學習數學恐懼的情緒。現將內容分述如下：
第1章－什麼是數學：每個人對於「什麼是數學 ？」這個問題的答案都不盡相同，作者由人類文明進展的脈絡來探討這個問題。從西元前五百年的實用及經驗法則的數學時代談起：這個時代的數學發展只侷限於數字及簡單幾何圖形的實際生活應用（例如建造金字塔、建築城牆、劃分農地等），但在西元前五百年到西元後三百年的這段期間，希臘人對數學和科學哲學的貢獻是人類文明發展的重要關鍵，從幾何及公理系統的建立，推導出許多像是畢氏定理等重要的數學結果，進而利用這些結果估算出諸如地球的半徑為3944.3英里（這個數字與現代高科計測量出的3961.3英里的誤差不到0.4%）、地球與月球的距離為238000英里（這個數字與現代高科計測量出的240000英里的誤差不到0.8%）等數據，足以說明以演繹推理所建立的數學威力。到了中世紀，西方數學進入了停頓期，由於羅馬文化和基督宗教的影響，希臘數學的演繹精神在中世紀消失殆盡。隨著主角的腳步來到了東方的印度、阿拉伯和中國，發現中世紀的東方數學傾向計算法則，也有不錯的進展，包含阿拉伯開創了代數學、印度人建立了十進位制、回教文化發展出豐富的幾何藝術，以及中國發展出機械化、演算法化的特點等。由此可知，在中世紀的數學研究發展歷程裡，印度與阿拉伯扮演著承先啟後的地位。
十二世紀時期，歐陸學者到西班牙和西西里島尋找阿拉伯的科學書籍，其中花拉子米的《還原與對消計算概要》與歐幾里得的《幾何原本》開啟了數學精神的復甦，義大利數學家費波納西的《算書》有系統的介紹印度－阿拉伯計數系統，改變了歐洲數學。1453年，君士坦丁堡被土耳其佔領，迫使希臘學者帶著古典希臘著作逃往義大利，將希臘原著翻譯成拉丁文後，使得歐陸學者能直接領悟希臘文明的精隨，加上印刷術的傳入，啟動了文藝復興，造成許多承襲古典希臘推理精神的著作出版，用推理的方式重建所有的知識，包含義大利數學家卡當的《大術》、比利時解剖學家維薩里的《人體結構》、波蘭天文學家的《天體運行論》等。這時期的科學家以數學家的角度，從事對大自然的研究，為了發現所有自然現象的數學關係，以解釋所有的自然現象。
十七、八世紀時期，費馬和笛卡兒分別發明了解析幾何，使得代數和幾何結合在一起，讓代數方程式能夠準確描述各種幾何圖形及曲線，反之各種幾何圖形及曲線也能寫出對應的代數方程式。解析幾何的發明使得牛頓和萊布尼茲分別發明了微積分，而微積分研究動態工具的發明，促成了各種科學的突飛猛進，演繹數學所展現的「推理」威力成就了當代的思想家為所有問題尋求數學的解決方法，這個時期也被稱為理性（演繹數學的推理精神和方法）的時代或啟蒙時代。
西元二十世紀時期，數學開始做為研究型態與樣式的科學。數學家們開始研究各種形態，例如：算數及數論研究數字與計數形態、幾何學研究形狀的形態、微積分研究運動的形態、數理邏輯研究推理的形態、統計與機率學研究隨機事件的形態等，期望從渾沌的世界中，找出秩序和事物的道理，用創造力和想像力將現象「歸序」，這種從美學出發的數學研究，加上人類文明數位化的普及及深入，數學與人類文明的關係更是與日俱增，包含利用數學概念做出的貝茲曲線以及電腦繪製的數學圖案等，讀者們有興趣都可以詳見本書。
西元二十世紀末，電腦科技的進步促成了電腦動畫及碎形藝術的蓬勃發展。西元二十一世紀初，數學與藝術創作融合的更加緊密，也形成輔以數學演算法，使用自動化系統產生之後，再經由藝術家選擇和修正後創作藝術的新方向－衍生藝術，成為第二波文藝復興。
作者由文明進展與數學歷史來回答「什麼是數學 ？」，讓讀者能夠了解數學不僅是研究數字的學問，更是各時期研究型態與樣式的科學，數學歷經抽象化和演藝推理的過程，從計數、測量、形狀及運動的有系統研究，進展成研究型態及樣式的學問。一直到今日，數學已經滲進我們生活的每個層面，加上數位科技的普及，小到筆電與手機，大到通訊系統和網路，這些都是數學形態應用的具體化。
第2章－數學與理性精神：大家都說數學很重要，但是卻沒幾個人說得出個所以然來。這一章作者從「為什麼學數學」談起，接著分別從數學與民主、數學與科學、數學與哲學、數學與藝術、數學與工作等方面來闡述數學的重要性。
「為什麼要學數學？學數學有什麼用？還有為什麼要學這麼多的數學？」這個疑問一直存在許多人的心裡。記得前陣子有某知名補教界老師開玩笑說了：「買菜的時候你會設二元一次聯立方程式去解嗎？你會去開根號嗎？」，這個「數學無用論」經過新聞媒體的大肆報導後，引起軒然大波，但是諸如此類的話多年來不斷成為許多人茶餘飯後聊天的話題，所以許多作家都將「為什麼學數學」列入數學科普書必談的主題，各自闡述自己的看法。
究竟什麼是數學呢？數字的命名源自希臘文mathema，其意義是「學習」、「學問」、「科學」，而後演變為利用符號語言去研究數量、結構、變化、空間，其中利用語言表達之間的關係、抽象化與邏輯推理，拓展出科學、邏輯觀、天文等學問，所以數學是一切學問的基礎，含蓋的範圍很廣，不單只是算術與圖形研究。作者也認為數學是研究規律的科學，透過經驗、觀察及推論的邏輯思考，進而發現真理，因此數學不只是一個計算的工具，它與所有的事情都相關，更是認識世界的方法。
作者在談「數學與民主」這個主題時，也間接回答上面所談到的補教界名師所開的玩笑：「數學教育並非只是重視計算，更重要的是數學素養（正確的推理能力）對民主社會的重要性，正確的邏輯推論能力是民主社會的遊戲規則」。書中曾提到一段話：
早在西元前500年，希臘文明就已深刻瞭解到邏輯推理是實踐民主的必要條件，因此希臘時期的數學教育主要目的是為了促使公民經由邏輯推論的訓練而增強對民主制度的信念和實踐，使得公民只接受經由正確邏輯推理得出的 論點。
由上述可知，正確的邏輯推理能力是民主社會的遊戲規則，良好的數學教育可以訓練學生正確且有效去進行推論的素養，難怪柏拉圖曾說：「學習數學是通往民主的唯一道路」，希臘人靠學習數學來訓練民主，認為正確的邏輯推論能力是民主社會的遊戲規則，也是實踐民主的必要條件，而數學教育除了生活上基本數學技巧（加減乘除）的訓練外，更重要的是培養現代公民的數學與民主素養，也就是正確推理及獨立思考的能力，學生能瞭解在數學課堂中沒有權威，有追根究柢的權力，有獨立思考的責任，當大家具備這些能力時，民主制度才能具體實踐。
同時作者也指出了現在教育的問題－當今的數學教育只著重數學的計算，卻忽略了數學素養對民主社會的重要性。學生在被迫做太多機械式的練習，記憶各種題型的標準解法因而沒有足夠的時間學習正確推理的方法及內涵，在「老師永遠有標準流程與答案」和「學生缺乏信心推理出不同的解法」的惡性循環下，學生無法領悟數學推理的威力，也無法培養獨立思考的能力，這樣的數學教育與民主精神背道而馳；在這種情況下，使得民主實踐只剩下空殼。
另外，在《幹嘛學數學》一書中，作者將數學按照深淺分成六個層次，並將職業依所需數學能力分類（第一類包含工程師、精算師、自然科學家等數理專業人員，第二類包含建築師、測量員、健康診斷人員等非數理專業人員，第三類含決策者、主管、經理等管理人員，第四類為教師，第五類為行銷人員、收銀人員、售貨員，第六類是文書、櫃檯人員，第七類為警衛、保全等基礎勞工階級，以及第八類為作家、運動員、藝人等），發現生活上的工作與處理事情上面有其各自對應的數學能力，位置越高的人越需要較高等的數學能力，作者也認為我們沒辦法保證會永遠在同一個工作待一輩子，但數學能力高的人可以從事數學能力低的工作，但是數學能力低的人卻無法從事數學能力高的工作，因此在求學時期腦袋相對靈活的階段，應該好好把數學、邏輯學好，對於未來選擇工作比較有幫助。
作者談完了「為什麼學數學」後，再拉回到這一章的核心－數學與理性精神，所謂「理性」是能夠以合乎邏輯的方式思考及理解的心智能力，其意涵重點在於「能以合邏輯的方式思考及理解」，此又稱為數學素養。正確的數學教育應該在教導基本的數學技巧外，同時培養出數學素養，正如上述所言，現實的數學教育只教導學生套公式、背題型以應付考試，多數的學生也花了很多時間應付考試，卻未培養出現代公民必備的數學素養及邏輯推理，最後所看到的就是產生了沒有正確邏輯的社會，從不斷出現的各式媒體、政府官員、學者專家及電視名嘴所說的邏輯謬論可見一般。
第3章－數學與邏輯：什麼是邏輯呢？作者引用劉福增教授的分法：邏輯可以分成三大種類，包含由語言與生活對話經驗所產生的「語言邏輯」、使用嘗試錯誤的方式發展出科學結構的「科學邏輯」，以及判斷前提到結論之因果關係的推論有沒有問題的「演繹邏輯」。作者認為邏輯是理性的基礎，它不是數學中的專有名詞 ，小從生活中的對話都是邏輯的一種，人與人的交流要讓對方接受自己的言論，最好的方式就是用合乎邏輯講道理的方式說服對方，而數學就是學習邏輯最快的道路。作者也認為雖然大部分的數學最後會因不常用而忘掉，但至少要學會邏輯與理性基礎，其能帶來民主、平等、自由、法治，以及正常的溝通，所以有必要學習數學中的邏輯。
第4章－如何降低數學恐懼，認識生活中的數學。這一章作者談到大家對數學的焦慮不是一天造成的，因此治療它也要循序漸進要先去除對於數學的誤解及恐懼，然後再服用解藥。
作者提出幾個方式：首先，他認為應該先將數學放回人類文明中，了解數學家在想什麼？並告訴學生數學家在思考一個問題時，會嘗試各種結果，過程中會遇到許多的挫折與錯誤，最後透過整理後才產生規律與完美的式子，把數學家走過的歷史痕跡勾勒出來，引導學生從錯誤的過程裡去了解數學是非常重要的；其次，教師數學教學的重點是要讓學生感覺到數學很有趣，而不是一味的強調它的重要性，因為對於學生來說，他不會因為數學很有用而喜歡數學，他們對於數學的愛好往往來自於好的老師從數學奇妙的原理中引導出好奇心，因此我們應該用努力與優秀的教材與教師來教學生；再者，我們要鼓勵學生有馬蓋先的精神，學會挑戰權威，讓自己的人生更加有創意、更有想法，不會被別人牽著鼻子走，並擁有自己獨立的思考性。
最後，讓學生克服數學恐懼的情緒：學生時常會有「出社會後數學很多都用不到，為什麼要大家學這麼多？」的念頭，這個問題的答案也因人而異，作者從「增加學數學的人數」、「數學是科技之母」，以及「公平的的受教權」談起，其說法是：以數字來說，假設天才的比率是0.01%，所以讓一億人學習後產生天才的可能性遠比讓一百萬人學習來得大，盡可能讓大家都學數學，以期待越多喜歡數學的人出現，讓科學進步；另外，相信大家都知道高斯的故事，有一天高斯的導師給了他三個數學問題，其中的第三道問題是用尺規作圖作出正十七邊形，這個問題高斯剛開始毫無進展，但是最後仍然用幾個晚上完成了，當導師接過作業時，驚訝的說：「這是你一個人想出的嗎？你知道你解開了一道從希臘時期到現在的千古難題！阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然幾個晚上就解出來了，你是個真正的天才！」從高斯的故事告訴我們，很多事情在不清楚有多難時，往往我們會以為是能力範圍內，然後使用一切方法，進而創造出新的方法完成。因此，真正的問題並不是難不難，而是我們怕不怕，以及能不能活用一切的工具與基礎觀念，所以我們要避免被恐懼抹煞了創造力，身為老師的我們更不應該在學生還沒進行思考時就跟學生說這一題很難，而抹煞了學生的信心與勇氣。
筆者在數學學科中心的高中數學電子報第94 期「微積分的歷史步道」專書推薦文中提到許多人對數學的觀感是：「學數學有什麼用？以後又用不到？」，探究其原因是因為教師在教學時，無法讓學生瞭解數學的本質與內涵，以及它與人類歷史的互動。該書作者蔡聰明教授透過微積分的發展史來呈現微積分的探索與發現過程，其中羅列許多數學家對於數學思考的過程，包含推測、歸納、演繹、類比、特殊化、與一般化等組合，反觀現今數學教育，邏輯演繹法已為數學理論發展的主流，多數課本教材受此影響，並將數學知識以最簡潔、精準的方式呈現，卻遮蔽了過去數學家思考時所面臨的掙扎與嘗試試探過程，整個數學知識探究的歷程消失殆盡。
正如數學家龐加萊所說：「如果我們想要遇見數學的將來，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。」因此老師在面對教學的過程中，可利用數學史的概念引導學生學習動機，從而使保持師生對數學的興趣和熱情。為數學調味，使它易於親近。使學生體驗各種有關於數學的歷史、文化、與科學演變的過程，使得他們能夠欣賞當代社會發展中，數學所扮演的角色；從數學自身的發展以及對人類文化與生活的衝擊中，讓學生瞭解數學和歷史情境的互動。同時，教師也可以從數學思想發展過程中瞭解學生的學習困難，參考歷史發展作為計劃課題安排的指引。鑑於往事，有資於了解數學整體較全面的看法，進一步了解數學與社會發展的關係，並提供跨科合作的教育方向。