※ 本文同時刊登於教育部高中數學學科中心 高中數學電子報 第 112 期 ( 2016.07.27 )
書名：畢氏定理四千年
作者：Eli Maor
出版社：三民書局
出版日期：2015
出版資料：平裝本，300頁
ISBN：978-957-14-4843-5
序言一開始就道：「迄今為止，畢氏定理還是整個數學領域中最重要的單一定理」，開門見山的說出了畢氏定理的重要性－它是數學領域中最著名的定理、它幾乎深入了所有科學分支當中，作者Maor指出，在許多應用上，這個定理發揮了核心的角色，雖然今日我們將畢氏定理視為一個代數關係式－只要給定直角三角形的某兩個邊長，我們就可以找到另一個邊長，然而畢達哥拉斯並非如此看待它，對他來說，這是一個關於面積的幾何命題。
這是一本寫給對數學史有興趣的讀者看的書，這本書追溯了畢氏定理的演化流變，從四千年前的巴比倫人開始，一直到我們自己的時代為止，它對數學與人類文化所帶來的衝擊，作者Eli Maor 指出閱讀本書只需對中學代數與幾何學有充足的知識，以及會一點微積分即可。在他的介紹下，我們可以發現畢氏定理與數學各支系都有很深的淵源，包含座標系裡的距離公式、圓錐曲線方程式、微積分計算曲線長的方法等。
本書共分成16章，需要比較細緻的數學處理的主題，作者將之移至附錄之中，共有八則附錄，現將之分述如下：
序曲－本書以1993年6月24日〈紐約時報〉頭版故事開場，當天，一位四十歲出身於英國劍橋，任教於紐澤西普林斯頓大學的的數學家安德魯．懷爾斯博士以「根據這個方式，表示費馬最後定理為真。Q.E.D」，瞬間這個新聞傳遍全世界。
費馬最後定理之所以被挑選成為數學中最著名的未解問題，是因為它的簡單性：任何人都能理解它。而費馬的神祕註記，更是對這個故事憑添風味，但是這類研究的同一類型方程式，早在四千年前的巴比倫人已經研究過了，而這本書的故事就從這裡真正展開。
第１章－「美索不達米亞」：第一章以古代偉大文明之一的美索不達米亞，在四千多年前躍上卓越的地位揭開序幕，過去兩世紀在這被發現成千上萬陶土泥板，證明了一個民族曾經在商業及建築上十分發達。在獲得特別關注的泥版當中，有一塊貼著低調的標示： ＂YBC 7289＂，意指耶魯大學巴比倫收藏品中，編號7289的那一塊泥版，它顯示了一個小正方形及其兩條對角線沿著其中一邊即水平線的對角線下，有一些標記。
有關著這塊泥版有兩件事特別值得注意：一是它證明了巴比倫人如何計算一個數的平方根到令人驚異的精確度，其精確度等於現代八位數的計算器，二則是這份文件它極可能提供一個例證，說明如何找到任意正方形的對角線；同時期另一塊黏土泥板被稱為普林頓322，這一塊泥版包含四行的數表，深入研究的結果是畢氏三數組，因而顯示巴比倫人不僅熟悉畢氏定理，而且也知道數論的一些初階知識，這是相當不凡的。
第２章－「畢達哥拉斯」：這一章引進了本書的主角－畢達哥拉斯，並介紹他的生平與成就。畢達哥拉斯是歷史上最神秘的角色之一，有關他的許多資訊多是幾百年後的史家所寫成的，因此虛構多於事實。按傳統說法，畢達哥拉斯曾投入著名哲學家泰利斯的門下學習，後來畢達哥拉斯到古代世界的文明主要中心遊學，吸收它們的文學、宗教、哲學和數學，但當畢達哥拉斯回到他的出生地時，家鄉已被暴君波里克拉所統治，他離開了家鄉沙摩斯，在克羅頓安頓下來，並建立學校／學派，這個學派裡的成員密守他們的討論內容，而由於出自對領導者的尊崇，畢氏學派所完成的發現也都歸功給畢達哥拉斯，因此它們的真正發現者可能永遠不會為人所知，但這些成就深深影響接續兩千年的數學及科學的發展。
畢達哥拉斯在科學上也有一些成就與發現：包含聲學－物體越大，音調越低；弦的振動－音調和弦長成反比，這個發現是人類第一次以精確量化的術語描述自然現象，就某個意義來說，它標誌著數學物理的起源。回到數學方面，畢氏學派特別感興趣的是擬形數(figurative numbers)，以及畢氏三數組。但畢氏學派在歷史上深刻影響未來數學發展的事件是無理數的發現，這立即撼動了他們對於有理數至高無上的信仰，畢氏學派拒絕將它視為一個數，而這在幾何與算數，以及延伸的幾何與代數之間出現裂縫，這裂縫在往後的兩千年間持續存在，也成為數學的未來發展的一個主要的障礙。根據傳言，畢氏學派被無理數的發現所震撼，因此他們發誓嚴守秘密，然而，一位名字叫做海巴瑟斯(Hippasus)的門徒卻將秘密洩漏出去，後被同門師兄弟將他從船上丟入海中。
第３章－歐幾里得〈幾何原本〉：這一章談的是歐幾里得與幾何原本，歐幾里得與畢達哥拉斯相同之處是我們對他的生平幾乎一無所知，雖然他寫了很多關於數學與光學方面的著作，但他最具影響力的作品是〈幾何原本〉一書。在幾何原本中，完全不曾有過把名字連結到一個特別的定理，但Eli Maor 指出原本中的第一冊命題47，其實就是畢氏定理，在這個命題中採用面積的觀點證明之，只是這個證明有一定的困難度，而歐幾里得以這個命題總結第一冊，想必他必定認為畢氏定理是他的第一冊最適合的結論，這也是他對畢達哥拉斯這位大師的一種含蓄的敬意。在這個單元結束後的補充欄2倒提了畢氏定理親切的一面－與畢氏定理相關的藝術、詩作及文章，以及它有許多創意的名字，包含風車、新娘椅等，而文藝復興數學家佩西歐里稱它為鵝腳與孔雀尾巴。
第４章－「阿基米德」：歐幾里得之後，數學史上下一個偉大的數學家便是阿基米德－大家一致公認他是古代最偉大的科學家，而阿基米德的出現，使得希臘數學的黃金時代達到最高峰。他體現了人們心中所謂傑出數學家的形象，純粹為了科學本身而致力於研究，並將自己的發現廣泛應用到現實生活中。阿基米德在純數學領域裡，亦留下許多偉大的成就，而Eli Maor之所以將之納入本書，有一個很重要的原因是阿基米德使用連續的畢氏定理推得內接和外切正多邊形逼近圓周計算π的近似値。
第５章－「翻譯者與注釋者」：阿基米德的出現，使得希臘數學的黃金時代達到最高峰，而第五單元介紹後希臘時期（即500~1500A.D.的場景）校注希臘的成果：包含阿波羅尼斯(Apollonius of Perga, 約西元前262－190年)寫了一本關於圓錐曲線的專書－這個歐幾里得未處理的主題，他利用一個平面截一個圓錐而得到拋物線、橢圓與雙曲線；丟番圖的〈數論〉－一本關於整數理論與代數方程的著作，裡面詳細的討論了約130個問題，這些問題當中，有許多涉及了完全平方數的加、減、乘法等不同的形式，而這也相當於證明了兩個可表示成完全平方數之和的數，其乘積可寫成兩個完全平方數之和；伊拉托森尼斯(Eratosthenes of of ,Cyrene, 約西元前275－194年)精確計算出地球的周長；托勒密(Ptolemy, 約西元前165－85年)最偉大的成就〈天文學大成〉概述了希臘世界的天體圖像；帕布斯(Pappus of Alexandria)為許多歐幾里得的著作寫注；住在亞歷山卓的席翁(Theon)在西元390年時撰寫了〈幾何原本〉的修訂版以及〈天文學大成〉的評論；還有從普羅克勒斯(Proclus, 約412－485)所著的〈歐得姆斯摘要〉一書中，發現歐幾里得有名的名言「學習幾何學無王者之路」，可以推論出畢達哥拉斯對畢氏定理可能的證明等。但始於西元前600年的泰利斯，持續了一千年的希臘數學盛事，卻也伴隨著帕布斯畫下句點。
接著，Eli Maor 順勢介紹生活在幾乎與西方隔絕的世界－中國，有一部名為〈周髀算經〉，它的第一部分記載了周公與商高之間的對話錄「句股各自乘，併之為弦時，開方除之即弦」，由此得知畢氏定理在中國，主要是為了導出使人確信的視覺化論證，透過圖形的說服力，數值關係被概括化為代數形式，其中，希臘式嚴格的邏輯演繹推理從未出現蹤跡。
而印度次大陸位處許多文明之間的交叉路口，北方是西藏和阿富汗，西北連接波斯與中亞大草原，西邊則是阿拉伯半島與地中海區域；因此印度文化深受許多不同文明的影響。在數學方面，包德哈雅納(Baudhayana)的著作中描述了畢氏定理45-45-90的特例；〈蘇爾巴斯土拉〉裡面提到了一般化的定理。這些例子清楚的說明，印度人精通畢氏定理的時代和畢達哥拉斯一樣早，而且他們知道如何應用這個定理解決許多實際問題。另一方面，這個時期，中東、阿拉伯半島及地中海區域一方面除了進行翻譯希臘作品，也進行自己的創作，特別是代數及技術系統，其中塔必特(al-Harrani, 826-901) 對畢氏定理提出了歸納。這些成果後來傳到歐洲，成為黑暗時代的明燈。
一直到1454 年，古騰堡發明活字印刷術後，科學家們開始以各自國家語言寫書，使得數學得以成為各個國家裡，一般民眾都有機會接觸的一門學問，人類文明至此已走到近代的門口。
第６章－「韋達創造歷史」 ：這一張主要談論數學進展的下一步－符號化，這件工作主要的推手是韋達(Viète, 1540~1603)。文章中以「無限」做為開端，內文提到希臘人雖然察覺到無限的存在，但是缺乏處理無限的代數工具，於是在他們的數學世界裡避談無限，而後的兩千年「無限」持續成為具爭議性以及數學家迴避的話題，而韋達在某個代數公式後面加上「等等」，使這個公式的程序性可以持續重複，也打破了這個古老的禁忌。
然而，對於後世的數學家而言，韋達最重要的貢獻在於他引進了代數的符號系統，他是最早將言辭代數轉變為符號代數的數學家，而這樣的過渡被視為數學史上最重要的發展之一；而透過符號的代數功能，他把三角函數從解三角形的學科，轉變為分析學科，他也藉著畢氏定理及半角公式，於西元1593年發現了一個開創性的公式：
第７章－「從無窮大到無窮小」：第七章談論的是微積分的基礎，這個基礎是由英國的牛頓以及萊布尼茲兩位數學家所完成的，也造就了1666年至1676年這個數學史上具有劃時代意義的十年。
萊布尼茲讓函數中的x與y分別增加一個微小量dx與dy (今日我們則稱之為微分量)，而這兩個增量間的比值，今日將之稱為「f(x)的導數(derivative)」，這個比值處理了函數圖形及曲線上兩點間的長度問題，而曲線上兩點間的長度問題所得到的近似公式被稱為微分版的畢氏定理；後來托里切利利用這個概念以及畢氏定理，求出了對數螺線的總弧長。
曾經「無限」是希臘具爭議性而且避談的問題，如今卻成為處理實際問題－計算長度的利器，我想，這是希臘人從沒想過的發展。
第８章－「371個證明和其他」：第八章的主軸主要圍繞著羅密士(Elisha Scott Loomis)所蒐集且分類的 371 種畢氏定理的證明方法：包含「代數的」與「幾何的」兩大類，「幾何的」依機械式操作再細分成「向量的」和「動態的」兩類。而畢氏定理為何有著大量證明的原因？主因為中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對畢氏定理提出一個原創的新穎證明，本書中取自羅密士書中部分證明作介紹，包含最短的證明、最長的證明、托勒密的證明、達文西的證明，以及１６歲的高中女生安．康地(Ann Condit)的證明，而羅密士讚揚她：「這個十六歲的女孩做了印度、希臘，甚至是當代偉大數學家都未曾做到的事」。
第９章－第九章為「主題與變奏」：內容主要介紹由畢氏定理衍生出來許多的注釋、變形、應用和珍品：包含應用在正五邊形、半圓形、圓形等的畢氏定理（在幾何原本第Ⅵ冊命題31闡述了這個定理的一般化版本：允許我們用任意圖形－多邊形或者不是多邊形取代直角三角形邊上的正方形）；在這些應用中令我印象深刻的是：當畢氏定理應用在圓形中，可以引發出一個有趣的結果，「不共線的相異三點，只能做出一個通過這三點的圓，假設這三個頂點形成一個直角三角形時，可以得知直角會正對著外接圓的直徑，也就是直徑和斜邊重合」。而他提到還有一個更有趣的例子是希波克拉特斯新月形，這個新月形可以與一個直角三角形有相同的面積，所以，它可以正方形化，但反過來說，圓是不能被正方形化的。
另外從畢氏定理還可以推得一些重要的結論：「若直角三角形的三邊長為整數，且兩股之和減掉斜邊的值為偶數時，則內切圓半徑亦會是整數」、「若a,b為直角三角形的兩股，d是此直角三角形斜邊上的高，則（Maor將它稱作小畢氏定理）」，以及餘弦定律、平行四邊形定律、海龍公式等。
第10章－第十章介紹「奇特的坐標系」：文章中談到十九世紀初期，微積分的普及及抽象代數的誕生，加上笛卡爾於1637年發明解析幾何（或為座標幾何）後，徹底改變幾何的本質，有效將它與代數統一，從此再也不需要直尺和圓規來解決幾何問題，這些傳統的工具就這樣被代數方程式取而代之，幾何逐漸被歸類在邊緣學科。
但以法國和德國為主的少數幾何學家重新對綜合幾何（純幾何）產生興趣，於1796年，18歲的高斯用歐幾里得工具做出正十七邊形，隔年1797年義大利幾何學家馬斯卻隆尼證明了每一個用直尺和圓規所作出的圖形，都能只用圓規完成，而不需要用直尺，他們兩個的發現說明了古老的經典幾何學尚未枯竭。數學的發展，在解析幾何、微積分及抽象代數成為主流，傳統歐氏幾何看似沒落時，完全不同於歐氏幾何學的幾何學分支－射影幾何異軍突起，射影幾何是用數學的語言研究圖形投影到畫布時，那些保持不變的性質（不變量），而這也標幟著從超過兩千年的歐氏幾何學第一次重大的脫離。
第11章－第11章談論「符號！符號！符號！」：文中介紹了各種符號的引進，而在引進的過程中，平面上的畢氏定理扮演了非常重要的角色。文中談到一個好的符號體系是重要的，由於缺少一個好的符號體系，因此古希臘數學走不出數論與幾何，但在數學史上，從語詞代數成長到字母代數（用字母和記號取代口語的代數）耗費近千年，到西元1600年臻至成熟；爾後許多數學家建立一系列的符號系統，包括：韋達建立一套符號體系、萊布尼茲繼續進行代數符號化工程、1843年愛爾蘭數學家漢密爾頓（Rowan Hamilton, 1805-1865）嘗試把尋常的複數擴張到三維時，發現了四元數（Quaternion）、向量符號的引進對物理定律的描述助益良多，也讓爾後的向量分析成為物理學不可或缺的工具，以及Hilbert 空間 (無限多維向量空間)在許多現代數學物理領域扮演要角，亦見證了數學提升曾經具體的概念，到遠超過這些概念元創者所預期的抽象高度的能力等。
第12章－「從直線空間到彎曲時空」：這一章的引言開門見山的提到在1800年代早期，雖然綜合幾何和射影幾何對幾何的尋常物件等新的性質引進一股發現潮，但卻沒有根本改變數學的本質。而這種狀況在1830年，當時數學的兩個新支系－微分幾何與非歐幾何的創立，影響了數學往後的發展。
接下來Maor以球面的經緯度為例，說明了畢氏定理不適用於球面上的直角三角形，也藉此表示大家熟悉的正交坐標系加上極坐標後，雖然已經足夠應付大部分平面曲線，但是要給三維空間的點定位，需要引入更好的坐標系。所以在彎曲空間裡，畢氏定理必須調適為更一般的形式。而Riemann 是這個概念的設計師，他提出了兩個概念－任意維度的空間和變動不居的幾何，他將曲面自身當作一個空間，這樣的空間與平直空間的歐氏幾何不同，認為每個位置都會有其幾何性質、度量，以及畢氏定理的表達式，這對任何維度都適用。只是很可惜的是，大家都認為黎曼會在數學尚待探索的未知領域中創造出豐富多產的學術理論時，以不到40歲的年紀就過世了。
在這一章後附錄了一則很有趣的補充欄－地圖的誤導：用麥卡托投影繪製的平面地圖，導致了高緯度地區面積的膨脹現象，讓許多人會以為格陵蘭比美國大。
第13章－第13章談「相對論的序奏」：Eli Maor 從介紹萊茵河做起頭，描述了萊茵河從一個蜿蜒的阿爾卑斯細流，急轉向北，變為一道滾滾洪流，而在奔騰500哩後穿越西歐的心臟地帶，最後在鹿特丹附近注入北海。Eli Maor在這裡第一次捕捉到相對論的意涵，接下來他從渡河小艇在萊茵河兩岸穿梭談起，用向量的觀點解釋船身對水流的相對速度，後將兩艘船換為光線，解釋電磁波像聲波般，必須有傳導的介質才能傳播出去，進而發明「以太」假設，並以「以太」假設的興衰引出相對論的萌芽。
第14章－「從伯恩到柏林」：這個單元較深入的探討相對論。文章中介紹了一位重量級的大師－愛因斯坦，他在十九世紀尾聲還是默默無聞，當時他的認知是：每個觀察者有他自己的時間，並於1905年將他的理論發表於物理學報的第17卷；不久之後，從他的教授閔可斯基的構造擴展廣義相對論，他利用黎曼的彎曲ｎ維空間的微分幾何產生數學的新領域：張量(tensor)；但是張量是一個高度抽象的領域，愛因斯坦缺乏對這領域的熟悉，因此他轉往求助於學生時代的好朋友葛拉斯曼，最後，他終於在1916年正式發表相對論，這個被譽為有始以來最傑出的物理論文。
本章最後，Eli Maor 以一段話做為總結，「薩莫斯的畢達哥拉斯證明了一個關於直角三角形的定理，讓他的名字永垂不朽；另一位偉大的智者－愛因斯坦，利用畢氏定理來形容他自己的宇宙星塵」。
第15章－本章談論「這是通天的道理嗎？」：Eli Maor以凡爾納(Jules Verne)的科幻小說〈從地球到月球〉為例，描述有一位德國的數學家計畫用發光的材料構築一些巨大的幾何圖形（包括直角三角形斜邊上的正方形），並以巨大的加農砲發射到月球，他認為如果月球上有智慧生物的存在，便能理解那些圖形的科學意涵，也必能回應以類似的圖形表示他們的理解。
無論真假，但是數學家思考數學的方式，都是建立在所居處的物理世界，並受到很大的影響。就如同畢氏定理，它只適用於平面，或者不須撕扯即能展成平面上的曲面才有效，在球面上是不適用的；〈幾何原本〉雖視為嚴密數學的典範，但所討論的素材都是取自於日常物件，但在日常生活中我們很少感覺到我們居住在一個球體上，因此〈幾何原本〉所論及的三維空間物件，如立方體、八面體等都有可以用二維剪貼架構起來的平直表面。
因此數學到底只是描述物理世界的工具，還是這個世界的必然結局？幾個世紀以來，數學家與哲學家都為它爭議不休。
第16章－「事後反思」。作者以第十六章對數學本質內涵進行反思，作為本書的總結。Eli Maor認為數學的本質是一門探求模式、規則的學問，並且連結了許多真實或者抽象、看似無關的物件，因此Maor認為數學和藝術中的音樂特別相似－某種旋律會重複出現在音樂裡，而許多代數式也重複出現在不同的領域裡。
Maor從這個觀點引出了數學各支系裡，畢氏定理的形式扮演重要份量的角色：直接與畢氏定理連結，這對微積分而言也是對的，好比只要與三角函數有關，就會現身，並穿梭在許多的積分式子中。
Eli Maor 以一篇到畢達哥拉斯的故鄉Samos 島的訪故之旅謝幕。他提及有ㄧ本導覽手冊把畢氏定理中的直角三角型誤植為等腰三角形，數學做為商品是如此不堪，令人感慨！
初拿到這本書的時候，看到本書的目錄及架構，很難猜測這些目錄的內容和畢氏定理的關聯性，但是閱讀後，對於作者Eli Maor廣博的背景知識由衷佩服－他擅長在文化史的脈絡中，讓數學知識活動變得立體。整本書經過Eli Maor巧妙安排的架構下，呈現有系統性的描述，更利用追溯畢氏定理的演化流變出發，將每個章節主題的描述放在數學史的脈絡之中，藉此也描繪出數學史的輪廓。
Eli Maor從歐幾里得的〈幾何原本〉一書中談到畢氏定理開始，它被眾人視為一種描述直角三角形各邊長上所建立正方形面積之間純幾何的關係，到後來透過各章節的描述，包含介紹希臘數學史、中世紀歐洲，以及印度與阿拉伯數學史，進而進入微積分主導的近世數學，他引進創立代數符號法則的韋達，從解三角形的學問，轉變成為與分析學有關的學門，畢氏定理漸漸與三邊長的代數關係連結，最後它被應用來求任意曲線的長度（如果我們可以知道該曲線方程式），透過閱讀本書，讀者得以認識畢氏定理與數學發展的密切關係。