Seguem pdfs da versão para Smartphones, Tablets e ebook readers contendo somente exercícios e respostas. Prático para o estudo. Mesmo texto da 3a edição de outubro de 2012. Por favor deem retorno por email para os autores do livro sobre este formato, dizendo o que foi bom, o que pode ser melhorado.

Pode-se ver como gerar utilizando LaTeX este formato em Dicas para LaTeX em Smartphones

1. Exercícios do Capítulo 1: Introdução (para Smartphones)

2. Exercícios do Capítulo 2: Sistemas Lineares (para Smartphones)

3. Exercícios do Capítulo 3: Espaços Vetoriais (para Smartphones)

4. Exercícios do Capítulo 4: Transformações Lineares (para Smartphones)

5. Exercícios do Capítulo 5: Produto Interno (para Smartphones)

6. Exercícios do Capítulo 6: Determinante (para Smartphones)

7. Exercícios do Capítulo 7: Autovalores e Diagonalização (para Smartphones)

Os slides estão divididos seguindo a ordem dos capítulos do livro.

1. Introdução

   • Introdução Parte 1: Vetores do Rn e Operações. O que é o Rn? Respondemos à esta pergunta logo no início do video. Definimos as operações de soma de vetores do Rn e multiplicação de um vetor por um escalar (número). Interpretamos geometricamente estas operações: embora isto não seja utilizado diretamente na sequência, é importante desenvolver intuição geométrica para compreensão de dimensões maiores que 3.

   • Introdução Parte 2: Equações Cartesianas e Parametrizações. Apresentamos a parametrização de retas e planos no R2 e R3. A base é a compreensão das operações de soma de vetores e produto de vetor por escalar (número) geometricamente.

   • Introdução Parte 3: Combinações Lineares e Espaço Gerado. Apresentamos combinações lineares, conjuntos Linearmente Dependentes (LD) e Independentes (LI), Espaços Gerados e dimensão. Tudo somente no contexto de Rn. Mais tarde apresentaremos em outros contextos.

2. Sistemas Lineares

   • Sistemas Lineares Parte 1: Introdução à solução de SLs. Exemplos de problemas cuja solução passa por resolver sistemas lineares (SLs). Discussão sobre existência e unicidade de soluções. Sistemas equivalentes e operações elementares. Matriz aumentada (representação matricial de SLs). Sistemas fáceis de serem resolvidos: matriz de coeficientes diagonal ou triangular. Introdução ao Algoritmo da Eliminação de Gauss: Como produzir sistemas equivalentes com matriz de coeficientes diagonal.

   • Sistemas Lineares Parte 2: Algoritmo da Eliminação de Gauss. Parte I (escalonamento -- forma triangular inferior): forma escalonada, pivots, existência e unicidade de soluções. Parte II (escalonamento total -- forma tipo diagonal): forma totalmente escalonada. Determinando parametrização do conjunto-solução de SLs consistentes.

   • Sistemas Lineares Parte 3: Combinações Lineares e conjunto-solução de SLs. Duas interpretações do conjunto-solução: (a) lado direito é combinação linear das colunas da matriz de coeficientes; (b) interseção de hiperplanos.

   • Sistemas Lineares Parte 4: Produto Matriz-Vetor e sistemas não-homegêneos e homogêneos. Duas interpretações para o Produto matriz-vetor: (a) combinação linear das colunas da matriz; (b) produto escalar com linhas da matriz. Linearidade do produto matriz-vetor. SLs e produto matriz-vetor. SLs homogêneos e relação do conjunto-solução de SLs não-homogêneos com o SL homogêneo associado.

3. Espaços Vetoriais

   • Espaços Vetoriais: (a) Definição e exemplos de Espaço e subespaço vetorial. Além do Rn apresentamos espaços das matrizes, dos polinômios e das funções. Núcleo (que é igual a solução de sistema homogêneo) e Imagem da matriz como exemplos de subespaços vetoriais. (b) Combinação linear, espaço gerado, dependência e independência linear. Apresentamos exemplo em Rn e no espaço das funções. Apresentamos mais de uma forma de determinar se um conjunto de vetores do Rn é LI ou LD: escalonamento da matriz onde as linhas (ou colunas) são os vetores que queremos determinar se formam um conjunto ordenado LI ou LD. São 2 métodos para o mesmo resultado. (c) Base e dimensão, incluindo algoritmo para determinação da base. Definimos o que é coordenada numa base e mostramos como o mesmo vetor pode possuir coordenadas distintas dependendo da base. (d) Teorema: Número de vetores de uma base num espaço de dimensão finita é sempre o mesmo. Além disso todo conjunto em espaço de dimensão n com: menos de n vetores não é gerador mais de n vetores não é LI n vetores é LI se, e só se, é gerador.

4. Transformações Lineares

   • Transformações Lineares Parte 1: Introdução a TLs e Matrizes com exemplos de TLs Geométricas. Conceitos sobre funções: domínio, contra-domínio, imagem. Definição de transformação linear (TL). Caracterização de TLs pela sua ação em uma base. Relação entre TLs e matrizes. Exemplos de TLs Geométricos: matriz de rotação no plano; projeção ortogonal; mudança de escala; reflexão; cisalhamento.

   • Transformações Lineares Parte 2: Teorema do Núcleo-Imagem. Subespaços vetoriais: Núcleo e Imagem de uma TL e de matrizes. Como determinar bases para núcleo e imagem. Posto de uma matriz. Teorema do núcleo-imagem.

   • Transformações Lineares Parte 3: Espaço vetorial das TLs e das matrizes. Base e dimensão destes espaços vetoriais.

   • Transformações Lineares Parte 4: Produto de matrizes e composição de TLs. Propriedades do produto de matrizes.

   • Transformações Lineares Parte 5: Matriz Inversa, TLs e SLs. Conceitos sobre funções: Função injetiva e sobrejetiva; Função inversa; Propriedades. Inversa da função composta. Aplicação para TLs. Propriedades de TLs injetivas e sobrejetivas. Matriz inversa: definição e cálculo por escalonamento. Sistemas lineares e matriz inversa.

   • Transformações Lineares Parte 6: Matriz que representa uma TL e paralelo com coordenadas de um vetor em uma base. Matriz de Mudança de coordenadas.

5. Produto Interno

   • Produto Interno Parte 1: Produto Interno, Norma, Distância, Ângulo. Complemento ortogonal. Gram-Schmidt. Quatro espaços fundamentais. Norma, distância, ângulo em espaços vetoriais. Começamos em R2 e R3, passamos a R^n e depois apresentamos o que é um Espaço Vetorial com Produto interno, com exemplos em espaços de funções. Conjunto ortogonal e base ortonormal. Como calcular coordenadas em base ortogonal é fácil. Apresentamos o processo de Gram-Schmidt de ortogonalização de bases de subespaços. Complemento ortogonal de subespaço com exemplos em R2 e R3. Terminamos com o Lema que relaciona os 4 subespaços fundamentais de uma matriz A utilizamdo o complemento ortogonal: Ker A, Im A, Ker A^T, Im A^T. Este lema possui diversos corolários importantes, incluindo o método de se determina a base do complemento ortogonal, sua dimensão, e uma outra prova que o espaço-linha possui mesma dimensão que o espaço-coluna de uma matriz.

   • Produto Interno Parte 2: Projeção Ortogonal e Reflexão. Mínimos quadrados (solução aproximada de sistema linear). Apresentamos Teorema de Pitágoras, Projeção Ortogonal em subespaço vetorial como menor distância com aplicações em aproximação de funções por polinômios e série de Fourier. Como calcular matriz de projeção ortogonal no Rn. O que é Reflexão e sua relação com a Projeção. Apresentamos a teoria de mínimos quadrados: como determinar solução aproximada de sistema linear. Explicamos sua conexão com a Projeção ortogonal em subespaços: minimizar o erro. Apresentamos uma aplicação.

6. Determinante

   • Determinante Parte 1: O que são hiperparalelepípedos e como determinar seu hipervolume? Quais propriedades o (hiper)volume deve possuir? Definimos determinante através destas propriedades. Deduzimos a Regra de Sarrus para o cálculo do determinante. Provamos que det(A) = det (A^T).

   • Determinante Parte 2: Como o determinante se altera com as operações elementares em uma matriz? Apresentamos o algoritmo (eficiente) do cálculo do determinante por escalonamento. Determinante e invertibilidade da matriz. Determinante do produto de matrizes. Determinante de matriz triangular por bloco. Determinante de uma TL é definida por uma representação matricial qualquer. Determinamos a relação entre o (hiper)volume de uma região Omega e T(Omega) para uma transformação linear T.

7. Autovetores e Diagonalização

   • Autovetores e Diagonalização Partes 1,2,3: Definição de autovalores, autoespaços, polinômio característico e multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores. Definimos autovalores, autoespaços e polinômio característico. Damos exemplos simples de cálculo de autovalores e autovetores. Provamos que polinômio característico independe de base. Autoespaços de Projeção ortogonal e reflexão em R4. Autofunções (autovetores em espaços de funções): derivada e derivada segunda. Apresentamos o Teorema Fundamental da Álgebra (Gauss), que garante a existência de n raízes (contando multiplicidade) de todo polinômio de grau n com coeficientes complexos. Quando o polinômio possui coeficientes reais raízes aparecem em pares conjugados. Apresentamos o problema da inexistência de fórmula para polinômios com grau maior ou igual a 5 (Galois e Abel). A apresentamos os conceitos de multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores, com exemplos em projeções, reflexões, mudanças de escala anisotrópicas e cisalhamento. Terminamos com breve exemplo de autovalor complexo (em Cn) associado a autovalor complexo não-real de uma rotação de 90 graus no plano.

   • Autovetores e Diagonalização Parte 4: Diagonalização e Potências de Matrizes. Definimos potências de matrizes e verificamos que é trivial calcular potências de matriz diagonal. Provamos condições para diagonalizibilidade de uma TL, incluindo relação entre multiplicidades geométrica e algébrica. Apresentamos exemplos de diagonzalização de matrizes.

   • Autovetores e Diagonalização Parte 5 e 6 : Teorema Espectral e Aplicações. Apresentamos resultados sobre matrizes simétricas e o Teorema Espectral. Aplicamos na classificação de forma quadrática, mostrando sua relação com a classificação de pontos críticos no cálculo de várias variáveis.

Seguem TODOS slides com o fonte (LaTeX) que gerou eles.

O livro está sendo adotado atualmente nas seguintes Universidades:

1. UFRJ - RJ (Universidade Federal do Rio de Janeiro, Campus Rio de Janeiro) pela equipe responsável pela Álgebra Linear unificada na Escola de Engenharia da UFRJ.

2. UFU - MG - (Universidade Federal de Uberlândia) pela profa. Vanessa Bertoni.

3. UNEMAT - MT (Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus de Sinop) pelo prof. Emivan Ferreira da Silva.

4. UNEMAT - MT (Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus de Tangará da Serra) pelo prof. Robinson Lemos.

5. UFSC - SC (Universidade Federal de Santa Catarina, Campus Florianópolis) pelo Prof. Martin Weilandt.

6. IFES - ES (Instituto Federal do Espírito Santo) pela Profa. Elvira Padua Lovatte.

7. PUC - RJ (Pontifícia Universidade Católica) pela equipe de Álgebra Linear: Thomas Lewiner, Jyrko Correa Morris, Christine Sertão Costa, Marcelo Dreux, Alessandro Gaio Chimenton, Agnaldo Esquincalha, Miguel Koiller Schnoor, Rodrigo Pacheco.

8. UFC - CE (Universidade Federal do Ceará, Campus Fortaleza). Bibliografia básica da disciplina "Álgebra Linear para Engenharias de Energias e Meio Ambiente" dos cursos de engenharias de energias e meio ambiente.

9. UFRRJ - RJ (Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro) pelo Prof. Renan Vicente Pinto.

10. UFF-RJ (Universidade Federal Fluminense) pela prof. Renata de Freitas.

11. UFRRJ (Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro) pelo prof. Benaia Sobreira de Jesus Lima.

Você está adotando na sua Universidade? Entre em contato com os autores para incluirmos seu nome aqui.

Este livro tem como foco o aluno e suas dificuldades.

Alguns números deste livro: são cerca de 230 exemplos resolvidos e cerca de 430 exercícios, com respostas de todos exercícios de fixação e Problemas. Procuramos destacar no texto os erros mais comuns dos alunos.

Existem exercícios divididos em 4 grupos:

1. exercícios de fixação: são para serem feitos imediatamente após a leitura do texto. São de resposta imediata (mental) sem necessidade de fazer conta.

2. problemas: São os principais exercícios do capítulo.

3. problemas extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas, ou talvez estudando de forma mais intensa, tenha mais alguns problemas para resolver.

4. desafios: para os que querem entender a disciplina de forma mais profunda.

Algumas escolhas importantes foram feitas:

• Capítulo inicial apresenta conteúdo principal do curso: vetores e operações no R^n, espaços gerados (retas e planos), dependência e independência linear. Estes temas são retomados no capítulo de Espaços Vetoriais, mas acreditamos que é importante uma exposição, logo no início, destes conceitos.

• A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de Cramer é uma seção opcional do capítulo de Determinantes.

• Espaços vetoriais de polinômios e funções não são meros exemplos, são centrais para a formação de engenheiros, matemáticos e físicos. Algumas aplicações importantes são: equações diferenciais, aproximação de funções por polinômios e métodos numéricos como elementos finitos.

• Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver sistemas. Após apresentar transformações lineares (TLs) e composição de TLs, introduzimos o produto de matriz como consequencia da composição de TLs. Fica claro que o produto de matrizes não é comutativa pois a composição de função não comutativa. A matriz inversa é calculada por escalonamento.

• Determinante é apresentado desde o início relacionado com área (volume) com sinal, para depois ser apresentado como função multilinear (alternada). Optamos por focar no algoritmo de cálculo utilizando operações elementares por ser mais eficiente e ligada diretamente aos conceitos. Apresentamos a conexão com mudança de variáveis na integração múltipla.

• Enfatizamos ao longo do texto (capítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante, Autovalores e Autovetores) a visão moderna de uma matriz por blocos, fundamental para a computação científica. Apresentamos duas interpretações (e consequências) do produto matriz-vetor e três interpretações do produto matriz-matriz.

• No capítulo de produto interno, focamos em projeções e no método de mínimos quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funções como forma de aproximá-las, preparando o aluno para métodos numéricos em engenharia.

• O escalonamento é o algoritmo principal do curso, pois através dele: resolvemos sistema, determinamos se vetores são linearmente dependentes, determinamos coordenadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante, encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos projeção ortogonal.

As principais novidades são:

• Versão para Smartphones, tablets e ebook readers com exercícios e respostas. O tamanho da fonte e pagina é apropriado para estes dispositivos. Além disso tem um exercício por página, com resposta na página seguinte em letra menor.

• Capítulo de produto interno foi ligeiramente reorganizado, tornando mais clara a apresentação. Incluímos a reflexão (ortogonal) neste capítulo.

• O pdf agora tem hiperlinks dentro do índice e do texto.

• Inclusão de um apêndice com um Tutorial do Software Maxima para Álgebra Linear. O Software Maxima permite resolver, de forma literal ou numérica, problemas de Álgebra Linear, Cálculo, Física, etc. É um software livre e pode ser obtido na Internet de graça. Existem versões para Windows, Linux e MAC OS (chama-se WxMaxima).

O livro Curso de Cálculo de Uma Variável por Marco A. P. Cabral está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Compartilhamento pela mesma Licença 3.0 Brasil.

De forma resumida, esta licença permite que outros possam copiar ou redistribuir esta obra sem fins comerciais, adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem fins comerciais, contanto que atribuam crédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licença, ou sob uma licença similar à presente.

2a Edição (2012)

A 2a edição saiu em setembro/2012. A principal modificação com relação a 1a edição foi a junção em um único capítulo de Matrizes e Transformações Lineares. Além disso enfatizamos TLs geométricas e deixamos como seções opcionais coordenadas e mudança de base.

• Deixamos disponível a 2a edição do Curso de Álgebra Linear (set/2012) bem como as Erratas da 2edição Setembro de 2012 (já incorporadas na 3a edição).

1a Edição (2008)

• Deixamos disponível a 1a edição do Curso de Álgebra Linear (jul/2008)