Segue o livro (PDF): 3a edição do Curso de Álgebra Linear (2021) (junho de 2021) de Paulo Goldfeld e Marco Cabral. Você pode imprimi-lo, copiá-lo e distribuí-lo à vontade. Pode ser comprado na forma impressa aqui na UFRJ na xérox do TÉRREO do bloco D do CT em espiral em formato de livrinho.

• Veja os SLIDES , VIDEO-AULAS e versão para CELULAR dos exercícios mais abaixo nesta página.

• Para complementar o livro escrevemos sobre autovalores complexos (não-reais) de matrizes reais. Este material (modificado de alguma forma) será incorporado na 4a edição.

• Código Fonte (LaTex) do Livro e  dos Slides no GitLab (zip e tar.gz) 

ERRATAS:

• (página 21) capítulo 1, seção 1.3, Exemplo 1.49: (1,1,1,1) pertence.... o correto (1,3,1,3) pertence..

• Caso encontre outros erros ou queira oferecer sugestão para o texto,  preencha este formulário.

  Os slides estão divididos seguindo a ordem dos capítulos do livro.  

1. RN 

   • RN Parte 1: Vetores do Rn e Operações. O que é o Rn? Respondemos à esta pergunta logo no início do video. Definimos as operações de soma de vetores do Rn e multiplicação de um vetor por um escalar (número). Interpretamos geometricamente estas operações: embora isto não seja utilizado diretamente na sequência, é importante desenvolver intuição geométrica para compreensão de dimensões maiores que 3.

   • RN Parte 2: Equações Cartesianas e Parametrizações.  Apresentamos a parametrização de retas e planos no R2 e R3. A base é a compreensão das operações de soma de vetores e produto de vetor por escalar (número) geometricamente.

   • RN Parte 3: Combinações Lineares e Espaço Gerado.  Apresentamos combinações lineares, conjuntos Linearmente Dependentes (LD) e Independentes (LI), Espaços Gerados e dimensão. Tudo somente no contexto de Rn. Mais tarde apresentaremos em outros contextos.

   • RN Parte 4: Produto Interno e ortogonalidade.  Definições. Interpretação de conjunto-solução de equação cartesiana como vetores ortogonais ao vetor dos coeficientes da equação.

2. Sistemas Lineares

   • Sistemas Lineares Parte 1:  Introdução à solução de SLs. Exemplos de problemas cuja solução passa por resolver sistemas lineares (SLs). Discussão sobre existência e unicidade de soluções. Sistemas equivalentes e operações elementares. Matriz aumentada (representação matricial de SLs).  Sistemas fáceis de serem resolvidos: matriz de coeficientes diagonal ou triangular. Introdução ao Algoritmo da Eliminação de Gauss: Como produzir sistemas equivalentes com matriz de coeficientes diagonal.

   • Sistemas Lineares Parte 2: Algoritmo da Eliminação de Gauss. Parte I (escalonamento -- forma triangular inferior): forma escalonada, pivots, existência e unicidade de soluções.  Parte II (escalonamento total -- forma tipo diagonal): forma totalmente escalonada.  Determinando parametrização do conjunto-solução de SLs consistentes.

   • Sistemas Lineares Parte 3:  Combinações Lineares e conjunto-solução de SLs. Duas interpretações do conjunto-solução: (a) lado direito é combinação linear das colunas da matriz de coeficientes; (b) interseção de hiperplanos.

   • Sistemas Lineares Parte 4: Produto Matriz-Vetor e sistemas não-homegêneos e homogêneos. Duas interpretações para o Produto matriz-vetor: (a) combinação linear das colunas da matriz; (b) produto escalar com linhas da matriz.  Linearidade do produto matriz-vetor. SLs e produto matriz-vetor.  SLs homogêneos e relação do conjunto-solução de SLs não-homogêneos com o SL homogêneo associado.

3. Espaços Vetoriais

   • EV Parte 1 Definição e exemplos de Espaço e subespaço vetorial. Além do Rn apresentamos espaços das matrizes, dos polinômios e das funções. Interseção de subespaços vetoriais.

   • EV Parte 2 Combinação linear, espaço gerado, dependência e independência linear. Apresentamos exemplo em Rn e no espaço das funções. Apresentamos mais de uma forma de determinar se um conjunto de vetores do Rn é LI ou LD. Soma de subespaços vetoriais.

   • EV Parte 3 Base e dimensão, incluindo algoritmo para determinação da base.  Definimos o que é coordenada numa base e mostramos como o mesmo vetor pode possuir coordenadas distintas dependendo da base.  Qual a base e dimensão do espaço vetorial {0}?

   • EV Parte 4  Todo conjunto em espaço de dimensão n com: menos de n vetores não é gerador mais de n vetores não é LI n vetores é LI se, e só se, é gerador. TEOREMA: Dimensão está bem definida, isto é, o número de vetores de uma base num espaço de dimensão finita é sempre o mesmo.

4. Transformações Lineares

   • Transformações Lineares Parte 1:  Introdução a TLs e Matrizes com exemplos de TLs Geométricas. Conceitos sobre funções: domínio, contra-domínio, imagem.  Definição de transformação linear (TL). Caracterização de TLs pela sua ação em uma base.  Relação entre TLs e matrizes.  Exemplos de TLs Geométricos: matriz de rotação no plano; projeção ortogonal; mudança de escala (anisotrópica); reflexão; cisalhamento.

   • Transformações Lineares Parte 2: Teorema do Núcleo-Imagem.  Subespaços vetoriais: Núcleo e Imagem de uma TL e de matrizes.  Como determinar bases para núcleo e imagem.  Posto de uma matriz. Teorema do núcleo-imagem.

   • Transformações Lineares Parte 3: Função injetiva e sobrejetiva; Caracterização e propriedades de TLs injetivas e sobrejetivas. SLs e TLs injetivas/sobrejetivas.

   • Transformações Lineares Parte 4: Produto de matrizes e composição de TLs.  Propriedades do  produto de matrizes. Exemplos. Álgebra de matrizes.

   • Transformações Lineares Parte 5: Matriz Inversa, TLs e SLs. Função inversa; Propriedades. Inversa da função composta.  Aplicação para TLs.  Matriz inversa: definição e cálculo por escalonamento.  Sistemas lineares e matriz inversa.

5. Produto Interno (ao longo de maio/2023 será modificado... aguarde)

   • Produto Interno Parte 1:  Produto Interno, Norma, Distância, Ângulo. Complemento ortogonal. Gram-Schmidt.  Quatro espaços fundamentais.  Norma, distância, ângulo em espaços vetoriais. Começamos em R2 e R3, passamos a R^n e depois apresentamos o que é um Espaço Vetorial com Produto interno, com exemplos em espaços de funções. Conjunto ortogonal e base ortonormal. Como calcular coordenadas em base ortogonal é fácil. Apresentamos o processo de Gram-Schmidt  de ortogonalização de bases de subespaços. Complemento ortogonal de subespaço com exemplos em R2 e R3. Terminamos com o Lema que relaciona os 4 subespaços fundamentais de uma matriz A utilizamdo o complemento ortogonal: Ker A, Im A, Ker A^T, Im A^T. Este lema possui diversos corolários importantes, incluindo o método de se determina a base do complemento ortogonal, sua dimensão, e uma outra prova que o espaço-linha possui mesma dimensão que o espaço-coluna de uma matriz.

   • Produto Interno Parte 2: Projeção Ortogonal e Reflexão. Mínimos quadrados (solução aproximada de sistema linear). Apresentamos Teorema de Pitágoras, Projeção Ortogonal em subespaço vetorial como menor distância com aplicações em aproximação de funções por polinômios e série de Fourier. Como calcular matriz de projeção ortogonal no Rn. O que é Reflexão e sua relação com a Projeção.  Apresentamos a teoria de mínimos quadrados: como determinar solução aproximada de sistema linear. Explicamos sua conexão com a Projeção ortogonal em subespaços: minimizar o erro. Apresentamos uma  aplicação.   

6. Determinante

   • Determinante Parte 1:  O que são hiperparalelepípedos e como determinar seu hipervolume?  Quais propriedades o (hiper)volume deve possuir? Definimos determinante através destas propriedades. Deduzimos a Regra de Sarrus para o cálculo do determinante. Provamos que det(A) = det (A^T).

   • Determinante Parte 2: Como o determinante se altera com as operações elementares em uma matriz? Apresentamos o algoritmo (eficiente) do cálculo do determinante por escalonamento. Determinante e invertibilidade da matriz. Determinante do produto de matrizes. Determinante de matriz triangular por bloco. Determinante de uma TL é definida por uma representação matricial qualquer. Determinamos a relação entre o (hiper)volume de uma região Omega e T(Omega) para uma transformação linear T.

7. Autovetores e Diagonalização ao longo de maio de 2023 será modificado... aguarde)

   • Autovetores e Diagonalização Parte 1:  Definição de autovalores, autoespaços e polinômio característico.  Exemplos simples de cálculo de autovalores e autovetores.

   • Autovetores e Diagonalização Parte 2: Exemplos de autovalores e autoespaços. Autoespaços de Projeção ortogonal e reflexão em R4. Autofunções (autovetores em espaços de funções): derivada e derivada segunda.

   • Autovetores e Diagonalização Parte 3:  Multiplicidade algébrica e geom[étrica. Geometria e autovalores/autovetores. Apresentamos o Teorema Fundamental da Álgebra (Gauss). Multiplicidade algébrica e geométrica de autovalores, com exemplos em projeções, reflexões, mudanças de escala anisotrópicas e cisalhamento. Terminamos com breve exemplo de autovalor complexo (em Cn) associado a autovalor complexo não-real de uma rotação de 90 graus no plano. 

   • Autovetores e Diagonalização Parte 4:    Diagonalização e Potências de Matrizes. Definimos potências de matrizes e verificamos que é trivial calcular potências de matriz diagonal.  Provamos condições para diagonalizibilidade de uma TL, incluindo relação entre multiplicidades geométrica e algébrica.  Apresentamos exemplos de diagonzalização de matrizes.

   • Autovetores e Diagonalização Parte 5:   Teorema Espectral e Aplicações. Matriz transposta. Apresentamos resultados sobre matrizes simétricas e o Teorema Espectral. Aplicação: Classificação de forma quadrática em 2 variáveis. 

   • Autovetores e Diagonalização Parte 6:  Aplicamos na classificação de forma quadrática, mostrando sua relação com a classificação de pontos críticos no cálculo de várias variáveis. Prova do Teorema Espectral.

Seguem pdfs da versão para Smartphones, Tablets e ebook readers contendo somente exercícios e respostas. Prático para o estudo. Mesmo texto da 3a edição de outubro de 2012. Por favor deem retorno por email para os autores do livro sobre este formato, dizendo o que foi bom, o que pode ser melhorado.

Pode-se ver como gerar utilizando LaTeX este formato em Dicas para LaTeX em Smartphones

1. Exercícios do Capítulo 1: Introdução (para Smartphones)

2. Exercícios do Capítulo 2: Sistemas Lineares (para Smartphones)

3. Exercícios do Capítulo 3: Espaços Vetoriais (para Smartphones)

4. Exercícios do Capítulo 4: Transformações Lineares (para Smartphones)

5. Exercícios do Capítulo 5: Produto Interno (para Smartphones)

6. Exercícios do Capítulo 6: Determinante (para Smartphones)

7. Exercícios do Capítulo 7: Autovalores e Diagonalização (para Smartphones)

O livro está sendo adotado atualmente nas seguintes Universidades:

1. UFRJ - RJ (Universidade Federal do Rio de Janeiro, Campus Rio de Janeiro) pela equipe responsável pela Álgebra Linear unificada na Escola de Engenharia da UFRJ.

2. UFU - MG - (Universidade Federal de Uberlândia) pela profa. Vanessa Bertoni.

3. UNEMAT - MT (Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus de Sinop) pelo prof. Emivan Ferreira da Silva.

4. UNEMAT - MT (Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus de Tangará da Serra) pelo prof. Robinson Lemos.

5. UFSC - SC (Universidade Federal de Santa Catarina, Campus Florianópolis) pelo Prof. Martin Weilandt.

6. IFES - ES (Instituto Federal do Espírito Santo) pela Profa. Elvira Padua Lovatte.

7. PUC - RJ (Pontifícia Universidade Católica) pela equipe de Álgebra Linear: Thomas Lewiner, Jyrko Correa Morris, Christine Sertão Costa, Marcelo Dreux, Alessandro Gaio Chimenton, Agnaldo Esquincalha, Miguel Koiller Schnoor, Rodrigo Pacheco.

8. UFC - CE (Universidade Federal do Ceará, Campus Fortaleza). Bibliografia básica da disciplina "Álgebra Linear para Engenharias de Energias e Meio Ambiente" dos cursos de engenharias de energias e meio ambiente.

9. UFRRJ - RJ (Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro) pelo Prof. Renan Vicente Pinto.

10. UFF-RJ (Universidade Federal Fluminense) pela prof. Renata de Freitas.

11. UFRRJ (Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro) pelo prof. Benaia Sobreira de Jesus Lima.

Você está adotando na sua Universidade? Entre em contato com os autores para incluirmos seu nome aqui.

Este livro tem como foco o aluno e suas dificuldades.

Alguns números deste livro: são cerca de 230 exemplos resolvidos e cerca de 430 exercícios, com respostas de todos exercícios de fixação e Problemas. Procuramos destacar no texto os erros mais comuns dos alunos.

Existem exercícios divididos em 4 grupos:

1. exercícios de fixação: são para serem feitos imediatamente após a leitura do texto. São de resposta imediata (mental) sem necessidade de fazer conta.

2. problemas: São os principais exercícios do capítulo.

3. problemas extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas, ou talvez estudando de forma mais intensa, tenha mais alguns problemas para resolver.

4. desafios: para os que querem entender a disciplina de forma mais profunda.

Algumas escolhas importantes foram feitas:

• Capítulo inicial apresenta conteúdo principal do curso: vetores e operações no R^n, espaços gerados (retas e planos), dependência e independência linear. Estes temas são retomados no capítulo de Espaços Vetoriais, mas acreditamos que é importante uma exposição, logo no início, destes conceitos.

• A solução de sistemas lineares é feita através da eliminação de Gauss. A regra de Cramer é uma seção opcional do capítulo de Determinantes.

• Espaços vetoriais de polinômios e funções não são meros exemplos, são centrais para a formação de engenheiros, matemáticos e físicos. Algumas aplicações importantes são: equações diferenciais, aproximação de funções por polinômios e métodos numéricos como elementos finitos.

• Matriz aparece, inicialmente, somente como forma conveniente de resolver sistemas. Após apresentar transformações lineares (TLs) e composição de TLs, introduzimos o produto de matriz como consequencia da composição de TLs. Fica claro que o produto de matrizes não é comutativa pois a composição de função não comutativa. A matriz inversa é calculada por escalonamento.

• Determinante é apresentado desde o início relacionado com área (volume) com sinal, para depois ser apresentado como função multilinear (alternada). Optamos por focar no algoritmo de cálculo utilizando operações elementares por ser mais eficiente e ligada diretamente aos conceitos. Apresentamos a conexão com mudança de variáveis na integração múltipla.

• Enfatizamos ao longo do texto (capítulos de Sistemas Lineares, Matrizes, Determinante, Autovalores e Autovetores) a visão moderna de uma matriz por blocos, fundamental para a computação científica. Apresentamos duas interpretações (e consequências) do produto matriz-vetor e três interpretações do produto matriz-matriz.

• No capítulo de produto interno, focamos em projeções e no método de mínimos quadrados. Apresentamos projeção ortogonal de funções como forma de aproximá-las, preparando o aluno para métodos numéricos em engenharia.

• O escalonamento é o algoritmo principal do curso, pois através dele: resolvemos sistema, determinamos se vetores são linearmente dependentes, determinamos coordenadas de vetores, mudamos de base, invertemos matriz, calculamos determinante, encontramos autovetores, calculamos solução de mínimos quadrados, calculamos projeção ortogonal.

As principais novidades são:

• Versão para Smartphones, tablets e ebook readers com exercícios e respostas. O tamanho da fonte e pagina é apropriado para estes dispositivos. Além disso tem um exercício por página, com resposta na página seguinte em letra menor.

• Capítulo de produto interno foi ligeiramente reorganizado, tornando mais clara a apresentação. Incluímos a reflexão (ortogonal) neste capítulo.

• O pdf agora tem hiperlinks dentro do índice e do texto.

• Inclusão de um apêndice com um Tutorial do Software Maxima para Álgebra Linear. O Software Maxima permite resolver, de forma literal ou numérica, problemas de Álgebra Linear, Cálculo, Física, etc. É um software livre e pode ser obtido na Internet de graça. Existem versões para Windows, Linux e MAC OS (chama-se WxMaxima).

O livro Curso de Cálculo de Uma Variável por Marco A. P. Cabral está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Compartilhamento pela mesma Licença 3.0 Brasil.

De forma resumida, esta licença permite que outros possam copiar ou redistribuir esta obra sem fins comerciais, adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem fins comerciais, contanto que atribuam crédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licença, ou sob uma licença similar à presente.

3a Edição (2012)

Segue a 3a edição do Curso de Álgebra Linear (versão de outubro de 2012). 

2a Edição (2012)

A 2a edição saiu em setembro/2012. A principal modificação com relação a 1a edição foi a junção em um único capítulo de Matrizes e Transformações Lineares. Além disso enfatizamos TLs geométricas e deixamos como seções opcionais coordenadas e mudança de base.

• Deixamos disponível a 2a edição do Curso de Álgebra Linear (set/2012) bem como as Erratas da 2edição Setembro de 2012 (já incorporadas na 3a edição).

1a Edição (2008)

• Deixamos disponível a 1a edição do Curso de Álgebra Linear (jul/2008)