Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
Univesridade Federal do Rio de Janeiro
Engenharia Matemática & Matemática Aplicada
Professor Felipe Acker
Informações Gerais
MAE115 turma 14435 2021/2
terças e quintas, 10:00-12:00
https://meet.google.com/syc-ycej-ehu
monitoria: segundas, 15:00-17:00
https://meet.google.com/fix-ffiw-ofy
Testes semanais (valem nota):
início nas quintas, 15:00; final sextas, 12:00
Provas: começam às 15:00, com entrega até às 24:00 do dia seguinte
P1 - 22 de dezembro de 2021
P2 - 03 de fevereiro de 2022
P3 - 24 de fevereiro de 2022
Extra - 8 de março de 2022
As notas das provas vão de 0 a 10, mas é possível ganhar mais do que 10 (felizmente não é possível ganhar menos do que zero - a Professora Cláudia Guerreiro dizia que para certas provas zero é uma nota muito alta). A média das provas, P, será ponderada:
P: (11 N1+9 N2+6 N3)/26
Cada teste confere uma nota a ser somada à nota final. A nota do teste pode ser negativa (-0.2), caso @ alun@ não entregue o teste, ou não negativa (0, +0,1 ou +0,2), caso @ alun@ entregue o teste (0, se for ruim ou em branco; +0,1, se for razoável; +0,2, se for bom).
A média final, N, é dada por
N=max(min(10,P+T),0),
sendo P a média das notas das provas e T a soma das notas dos testes. Aprovação: N>4,9.
As provas e testes são individuais. No caso dos testes, mas não no das provas, é permitida a troca de ideias, mas cada um(a) deve entregar a sua versão.Todos os procedimentos honestos são permitidos; os desonestos, não.
Programação
Esta edição do curso não está estruturada em semanas (embora haja testes semanais). A apresentação, aula a aula, será um pouco diferente da da edição anterior. Mesmo assim, você encontrará o material da edição anterior nos links a seguir.
PARTE I (ABERTURA)
PARTE II (CÔNICAS)
PARTE III(ESPECTROS)
PARTE IV (MOVIMENTOS)
Parte I: Vetores, Números Complexos, Quatérnions
1. Vetores no plano e no espaço
Conceito, operações. Reta e Segmento de Reta. Animações. Rn e morphing. Curvas de Bézier
2. Sistemas de coordenadas
O Mistério da Santíssima Trindade. Independência Linear. Lema Fundamental, base e dimensão
3. Transformações Lineares
Exemplos geométricos: rotações, homotetias, mudanças de escala, cisalhamentos, translações com aumento da dimensão. Matriz da transformação linear. Produto de matrizes e composição de transformações. Áreas, volumes e determinante. SVD em dimensão 2
4. Produto escalar
Projeção sobre reta. Equação da reta e do plano. Bases ortogonais e truque de Fourier. Otimização linear. Média, variância e desvio padrão. Matrizes de Markov
5. Números complexos
Operações: produto, inverso, conjugado, potências e raízes. Subgrupos de C. Transformações de Möbius
6. O Teorema Fundamental da Álgebra
7. Quatérnions
Produto escalar e produto vetorial. Perspectiva cônica. teorema da Bola Cabeluda
8. Compactificações do plano
Projeção estereográfica e plano projetivo. Quocientes de polinômios como funções de S2 em S2.
Parte 2: Cônicas
9. Círculo de Apolônio, Elipse, Hipérbole e Parábola
Definições como lugares geométricos, propriedades básicas, equações cartesianas e em coordenadas polares. Diâmetros conjugados e Teorema de Apolônio
10. Seções Cônicas
Teoremas de Dandelin-Quetelet
11. Cônicas e Equações do segundo grau
Translações e rotações do sistema de coordenadas. Imagem de cônica por transformação linear. Interseção de duas cônicas
12. Cônicas em Perspectiva
Vista em Perspectiva de cônica
Parte III: Teorema Espectral e Decomposição em Valores Singulares
13. O Teorema Espectral
Cônicas, Quádricas e o Teorema Espectral. Demonstração do teorema
14. A Decomposição em Valores Singulares
15. O Teorema de Aproximação de Schmidt
16. Determinante
Parte IV: Movimentos
17. Movimentos
Curvas parametrizadas: velocidade, aceleração, comprimento de arco, área varrida e variação de ângulo
18. Campos Centrais
Planaridade do movimento; conservação do momento angular e Lei das Áreas
19. Equações Diferenciais Lineares a coeficientes constantes
Oscilador harmônico e "elipses de Hooke"; transformação de Jukóvski
20. Elipses de Hooke e Elipses de Kepler
Conversão das trajetórias em um campo central F(w)=-k²w nas trajetórias em um campo central F(z)= -(GM/|z|³)z, por meio da transformação z=w²
Resultados a serem demonstrados no curso:
Muitos dos tópicos incluídos na ementa serão apenas mencionados. Os resultados abaixo, porém, serão demonstrados.
Dimensão de Espaço Vetorial
Condição necessária e suficiente para convergência de processo markoviano
Teorema Fundamental da Álgebra
Teorema de Brouwer em dimensão 2 (caso C¹)
Teoremas de Dandelin-Quetelet
Toda equação do segundo grau define em R² uma cônica
Existência e unicidade de cônica passando por 5 pontos em posição geral
Vista em perspectiva de cônica
Teorema Espectral em Rn e Cn
Decomposição em Valores Singulares
Teorema de Aproximação de Schmidt
Planaridade de movimentos em campos centrais e Lei das Áreas
Conversão de Elipses de Hooke em Elipses de Kepler
Material de Apoio
I.VIDEOS
Esta disciplina vem sendo ministrada e documentada ao longo dos anos. A partir de 2015, as aulas foram filmadas (exceto as de 2017, em que foi feito um experimento de usar as aulas filmadas dos dois anos anteriores, e as de 2020, por conta das dificuldades do ensino remoto). Todos os vídeos estão em
As de 2015 e de 2018, em particular, têm índices detalhados das aulas, o que ajuda a localizar as exposições sobre tópicos específicos. Acho que é uma boa dica. Em 2020, gravei um vídeo de apresentação do curso, de 5 minutos
Pode ser útil, também, para ter uma noção da organização do curso, dar uma olhada nos 5 minutos iniciais da apresentação de 2016
II. TEXTOS
O texto original era manuscrito, com figuras também feitas a mão
O manuscrito evoluiu (?) para 4 livros
Livro 1: o plano
Livro 2: o espaço e outros espaços
Livro 3: cônicas & Teorema Espectral
Livro 4: curvas parametrizadas
Dois outros textos interessantes:
Huyghens and Barrow, Newton and Hooke
III. SOFTWARE
Você deve(ria) ser capaz de criar animações a partir das coisas que vai aprendendo (e aprender criando animações das coisas). A UFRJ tem uma licença do Mathematica que você pode usar (use o seu email institucional). Você pode, claro, usar seu software favorito, ou falar diretamente com seu computador em linguagem de máquina. Uma opção básica mas muito simpática é o geogebra. No geogebra foram feitos os applets do Waldecir, sob medida para este curso. Temos também o TFA, específico para o Teorema Fundamental da Álgebra.
(Prof. Waldecir Bianchini)
Teorema Fundamental da Álgebra(Windows)
IV. EXERCÍCIOS
Quizzes, listas de exercícios e provas antigas podem ser encontrados nas páginas de anos anteriores, em