Parte 5
Séries de Fourier e Integral de Lebesgue
Discutimos a origem das Séries de Fourier e as questões de convergência por elas suscitadas. Em particular, abordamos, sem fazer as demonstrações, a construção da Integral de Lebesgue e o Teorema de Riesz-Fischer
Séries de Fourier versus Séries de Newton. Séries de Newton e resolução de Equações Diferenciais Ordinárias. Fourier e a Equação da Difusão. As Séries de Fourier. A dedução de Fourier e o Truque de Fourier. Um pouco de História
Videoaula 33
Problema físico da propagação do calor. Fórmula dos coeficientes. Produto Escalar de Fourier. Espaços de Funções. Tipos de Convergência. Espaços L². Teorema de Aproximação de Weierstrass. Questão: a toda série de Fourier corresponde uma função? A Integral de Lebesgue. Convergência pontual de séries de Fourier
Convergência pontual de séries de Fourier. Fórmulas trigonométricas. Núcleo de Dirichlet e suas propriedades. Lema de Riemann-Lebesgue. Teorema: Se f é periódica, contínua e tem derivada em x, então a série de Fourier de f converge em x para f(x).
Conjuntos de Medida Nula. Teorema de Borel. Integrabilidade das funções contínuas. Critério de Integrabilidade de Lebesgue. Espaços Lp
A Integral de Lebesgue. Conjuntos de Medida Nula (Borel). Medida de Lebesgue. Teorema da Convergência Monótona e Teorema da Convergência Dominada (só os enunciados). Questão: sequências de Cauchy na norma L² têm limite na norma L²?
Convergência L². Critério de Cauchy L². Produto Escalar L². Ortogonalidade
Produto Escalar de Fourier e Teorema de Pitágoras. Aproximção de Fourier como Projeção Ortogonal. Convergência L²: Teorema de Riesz-Fischer (enunciado). Identidade de Parseval. Somatório de 1/n²=pi²/6.
Comentários sobre Séries de Fourier e suas variantes mais recentes (ondelettes - wavelets, em inglês - "ondinhas"(?), em portugiês). Média móvel e aproximações por convolução.