Parte 3
Conceitos e Teoremas
Aqui partimos da construção dos números reais e de definições formais de limite, derivada e integral, para demonstrar formalmente os Teoremas apresentados anteriormente. Um acerto de contas com a teoria.
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Construção dos Números Reais. Demonstração da Propriedade do Supremo. Sequências e Séries. Convergência de sequências monótonas. Propriedade dos Intervalos Encaixantes. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Critério de Cauchy. Séries Absolutamente Convergentes. Raio de Convergência de Séries de Potências.
Funções Contínuas. Teorema do Máximo: se f:[a,b]->R é contínua, então f atinge em [a,b] seus valores máximo e mínimo. Teorema do Valor intermediário: se f:[a,b]->R é contínua e f(a)f(b)<0, então existe c em [a,b] tal que f(c)=0. Teorema da Continuidade Uniforme: se f:[a,b]->R é contínua, então é uniformemente contínua, isto é: para todo e.0 existe d>0 tal que |x-y|<d=> |f(x)-f(y)|<e.
Definições de Integral de Riemann. Critério de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas. Conjuntos de Medida Nula. Teorema de integrabilidade de Lebesgue-Tonelli: f:[a,b]->R limitada é Riemann-integrável se, e somente se, o conjunto de seus pontos de descontinuidade é de medida nula (só o enunciado). Exemplo de função f:R_>R cujo conjunto dos pontos de descontinuidade é Q.
Desigualdade do Valor Médio. Teorema de Borel (compacidade de fechados limitados em R)
Videoaula 21
Videoaula 21
Resolução da Prova 2 - questões de Múltipla Escolha
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