Definició de vectors i matrius

Amb Matrix crearem els vectors columna i les matrius:

• Matrix([v1,v2,..,vn])
• Matrix([[a11,a12,...,a1n],[a21,a22,...,a2n],...,[am1,am2,...,amn]])

Per exemple:

>>> init_printing(use_unicode=True) 

>>> v=Matrix([1,2])

>>> pprint(v)

⎡1⎤

⎢ ⎥

⎣2⎦

>>> A=Matrix([[1,2],[3,4],[5,6]])

>>> pprint(A)

⎡1  2⎤

⎢    ⎥

⎢3  4⎥

⎢    ⎥

⎣5  6⎦

Operacions bàsiques

Els operadors +, - i * són aplicables en el sentit habitual sempre i quan els vectors i les matrius tinguin les dimensions apropiades.

Seguint amb l'exemple anterior:

>>> A+2*A)*v

⎡15⎤

⎢  ⎥

⎢33⎥

⎢  ⎥

⎣51⎦

Altres operacions

Per conèixer la mida d'una matriu usem la propietat shape que retorna el nombre de files i columnes.

Els mètodes row(m) i col(n) retornen la fila m i la columna n respectivament. La primera fila/columna és la 0 i m i n poden prendre valors negatius.

Per afegir una fila o una columna emprarem els mètodes row_insert(posicio,matriu) i col_insert(posicio,matriu).

I per eliminar una fila o una columna emprarem els mètodes row_del(fila) i row_del(columna), respectivament.

Vegem-ho amb exemples (continuació de l'anterior):

>>> A.row(0)

[1 2]

>>> A.col(1)

⎡2⎤

⎢ ⎥

⎢4⎥

⎢ ⎥

⎣6⎦

>>> A.row(-1)

[5 6]

>>> A=A.row_insert(3,Matrix([[7,8]]))

>>> A

⎡1  2⎤

⎢    ⎥

⎢3  4⎥

⎢    ⎥

⎢5  6⎥

⎢    ⎥

⎣7  8⎦

>>> A=A.col_insert(1,Matrix([-1,-2,-3,-4]))

>>> A

⎢        ⎥

⎡1  -1  2⎤

⎢        ⎥

⎢3  -2  4⎥

⎢        ⎥

⎢5  -3  6⎥

⎢        ⎥

⎣7  -4  8⎦

>>> A.row_del(0)

>>> A

⎡3 -2 4⎤

⎢      ⎥

⎢5 -3 6⎥

⎢      ⎥

⎣7 -4 8⎦ 

>>> A.shape

(3, 3) 

Creació de matrius

Per construir matrius tenim els següents mètodes:

• eye(n) crea una matriu quadrada identitat de dimensió n.
• zeros(m,n) crea una matriu plena de 0 amb m files i n columnes.
• ones(m,n) crea una matriu plena de 1 amb m files i n columnes.
• diag(a11,a22...) crea una matriu quadrada amb els elements a11, a22... a la diagonal.

Exemples:

>>> I3=eye(3)

>>> I3

⎡1  0  0⎤

⎢       ⎥

⎢0  1  0⎥

⎢       ⎥

⎣0  0  1⎦

>>> zeros(2,4)

⎡0  0  0  0⎤

⎢          ⎥

⎣0  0  0  0⎦

⎢0  0  0  0  0  0⎥

>>> ones(3,1)

⎡1⎤

⎢ ⎥

⎢1⎥

⎢ ⎥

⎣1⎦

>>> diag(1,2,3)

⎡1  0  0⎤

⎢       ⎥

⎢0  2  0⎥

⎢       ⎥

⎣0  0  3⎦

>>> diag(ones(2,2),zeros(3,3),3)

⎡1  1  0  0  0  0⎤

⎢                ⎥

⎢1  1  0  0  0  0⎥

⎢                ⎥

⎢0  0  0  0  0  0⎥

⎢                ⎥

⎢0  0  0  0  0  0⎥

⎢                ⎥

⎢0  0  0  0  0  0⎥

⎢                ⎥

⎣0  0  0  0  0  3⎦

Per crear matrius amb entrades aleatòries cal invocar primer:

>>> from sympy.matrices import randMatrix

I el mètode constructor és radnMatrix(files,columnes,min,max) on:

• files i columnes són el nombre de files i columnes de la matriu generades, respectivament.
• min i max són els valors enters mínim i màxim, respectivament, de les entrades de la matriu.

Exemple:

>>> randMatrix(2,3,0,10)

⎡0  6  3⎤

⎢       ⎥

⎣9  3  8⎦

Determinant i matrius conjugada, trasposta i inversa

Disposem dels següents mètodes:

• det() retorna el determinant de la matriu.
• T retorna la matriu transposta.
• adjugate() retorna la matriu adjunta.
• inv() retorna la matriu inversa.
• inv_mod(m) retorna la matriu inversa mòdul m.

Exemple:

>>> A=Matrix([[2,0,-1],[-1,3,0],[-1,2,1]])

>>> A

⎡2   0  -1⎤

⎢         ⎥

⎢-1  3  0 ⎥

⎢         ⎥

⎣-1  2  1 ⎦

>>> A.det()

5

>>> A.T

⎡2   -1  -1⎤

⎢          ⎥

⎢0   3   2 ⎥

⎢          ⎥

⎣-1  0   1 ⎦

>>> A.adjugate()

⎡3  -2  3⎤

⎢        ⎥

⎢1  1   1⎥

⎢        ⎥

⎣1  -4  6⎦

>>> A.inv()

⎡3/5  -2/5  3/5⎤

⎢              ⎥

⎢1/5  1/5   1/5⎥

⎢              ⎥

⎣1/5  -4/5  6/5⎦

>>> A.inv_mod(3)

⎡0  2  0⎤

⎢       ⎥

⎢2  2  2⎥

⎢       ⎥

⎣2  1  0⎦

Recordem que:

Que si s'ho fem analitzar a Python:

>>> invA=1/det(A)*A.adjugate()

>>> invA==A.inv()

True

Altres mètodes

El mètode rref() que fa la transformació de Gauus-Jordan d'una matriu (aquest mètode retorna la matriu de la transformació de Gauss-Jordan i les columnes pivot).

Exemples:

>>> A=randMatrix(3,4,-5,5)

>>> A

⎡3   4   -4  -3⎤

⎢              ⎥

⎢3   1   -4  2 ⎥

⎢              ⎥

⎣-4  -5  -2  4 ⎦

>>> A.rref()

⎛⎡          37  ⎤           ⎞

⎜⎢1  0  0   ──  ⎥           ⎟

⎜⎢          33  ⎥           ⎟

⎜⎢              ⎥, (0, 1, 2)⎟

⎜⎢0  1  0  -5/3 ⎥           ⎟

⎜⎢              ⎥           ⎟

⎝⎣0  0  1  -5/66⎦           ⎠

Per recuperar la matriu de la transformació de Gauu-Jordan farem:

>>> A.rref()[0]

⎡          37  ⎤

⎢1  0  0   ──  ⎥

⎢          33  ⎥

⎢              ⎥

⎢0  1  0  -5/3 ⎥

⎢              ⎥

⎣0  0  1  -5/66⎦