Definició de matrius

Hi ha diverses maneres de definir una matriu. Els següents exemples produeixen una matriu:

   1   2   3

   4   5   6

Opció 1. Introduir la matrius per files

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6]

en aquest cas fem servir la coma per separar les columnes i el punt i coma per separar les files. Per separar les columnes també podem fer servir l'espai. És a dir, la línia anterior és equivalent a:

A=[1 2 3; 4 5 6]

Opció 2. Introduir la matriu per columnes

A=[[1; 4], [2; 5], [3; 6]]

Opció 3

fila1 = [1, 2, 3]

fila2 = [4, 5, 6]

A = [fila1; fila2]

Opció 4

col1 = [1; 4]

col2 = [2; 5]

col3 = [3; 6]

A = [col1, col2, col3]

Amb les funcions zeros(files, columnes) i ones(files, columnes) podem definir matrius plenes de 0 o 1, segons el cas, amb el nombre de files i columnes indicats com a paràmetres. Per exemple:

matriuNulla3x3 = zeros(3, 3)

matriuUns5x3 = ones (5, 3)

La matriu identitat (tot 0 excepte 1 a la diagonal principal) es defineix amb la funció eye(files, columnes). Per exemple, la identitat 3x3 es pot definir com:

identitat3x3 = eye(3, 3)

També podem definir una matriu diagonal que contingui a la diagonal principal els valors d'un vector fila. Això ho farem amb la funció diag(vector). Per exemple:

v = [2, 3, 4, 5]

matriuDiagonal = diag(v)

produeix:

   2   0   0   0

   0   3   0   0

   0   0   4   0

   0   0   0   5

De manera inversa podríem obtenir la diagonal principal d'una matriu fent diag(matriu). Seguint amb el cas anterior:

u = diag(matriuDiagonal )

retornarà

   2

   3

   4

   5

Accedir als elements d'una matriu

Podem accedir a l'element i,j d'una matriu com nomMatriu(i, j). També podem accedir a subrangs d'una matriu amb nomMatriu(rangFiles, rangColumnes). Vegem-ho amb exemples:

Sigui A la matriu:

A = [1:5;6:10;11:15;16:20]

A =

    1    2    3    4    5

    6    7    8    9   10

   11   12   13   14   15

   16   17   18   19   20

En fer

A(2, 3)

retorna 8

I si fem

A(2:4,2:3)

retorna

7 8

   12   13

   17   18

Per altra banda, en fer:

A([1,4], [2,5])

produeix com a sortida

2 5

   17   20

D'aquesta manera també podem canviar elements concrets d'una matriu. Així si fem

A(2,3)=-8

A =

    1    2    3    4    5

    6    7   -8    9   10

   11   12   13   14   15

   16   17   18   19   20

on hem canviat l'element de la 2a fila i 3a columna per -8.

Per obtenir la 2a columna farem

A(:,2)

i per obtenir la 3a fila farem

A(3,:)

Per obtenir la 2a i la 3a columnes farem

A(:,[2,3])

Operacions entre matrius

Les operacions amb matrius són la suma (+), resta (-), multiplicació (*), multiplicació per escalars (*), transposició ('), potència (^), divisió per la dreta (/) i divisió per l'esquerra (\) Només cal tenir en compte les dimensions de les matrius per poder fer les operacions.

Exemple

Si volem resoldre el sistema:

2x+3y+z=7

x+y+z=2

x+2y-z=6

Podríem fer:

A=[2, 3, 1; 1, 1, 1; 1, 2, -1]

b=[7; 2; 6]

XYZ = A^-1*b

que produeix el resultat

   1

   2

  -1

Hi ha una manera ràpida i més eficient de resoldre això que és fer la divisió per l'esquerra:

XYZ = A\b

Exemple

Observa el següents exemple:

octave:1> A=ones(5, 5)

A =

   1   1   1   1   1

   1   1   1   1   1

   1   1   1   1   1

   1   1   1   1   1

   1   1   1   1   1

octave:2> B=2*eye(5)

B =

Diagonal Matrix

   2   0   0   0   0

   0   2   0   0   0

   0   0   2   0   0

   0   0   0   2   0

   0   0   0   0   2

octave:3> C=[1:1:5]'

C =

   1

   2

   3

   4

   5

octave:4> D=A+B*C

D =

    3    3    3    3    3

    5    5    5    5    5

    7    7    7    7    7

    9    9    9    9    9

   11   11   11   11   11

octave:5> D(1:2,1:3)=zeros(2,3)

D =

    0    0    0    3    3

    0    0    0    5    5

    7    7    7    7    7

    9    9    9    9    9

   11   11   11   11   11

Funcions amb matrius

Algunes funcions bàsiques:

• det(A) retorna el determinant d'A.
• inv(A) retorna la matriu inversa d'A.
• rank(A) retorna el rang d'A.
• rref(A) retorna la transformació de Gauss-Jordan d'A.
• size(M) retorna la mida del vector o matriu M com un vector fila on la 1a dada representa les files i la segona les columnes del vector.
• sum(M) retorna una matriu fila on cada columna és la suma de les files d'A.

Operacions element a element

Amb els operadors .+, .-, .*, ./, .\ i.^ podem fer operacions element a element dins una matriu. Vegem-ho amb alguns exemples:

A = [1:5;6:10;11:15;16:20]

Elevem al quadrat tots els elements de la taula:

A.^2

ans =

     1     4     9    16    25

    36    49    64    81   100

   121   144   169   196   225

   256   289   324   361   400

Sumem 2 a tots els elements:

A.+2

ans =

    3    4    5    6    7

    8    9   10   11   12

   13   14   15   16   17

   18   19   20   21   22

Desem la columna 1a i 2n en dues variables:

col1 = A(:,1)

col1 =

    1

    6

   11

   16

col2 = A(:,2)

col2 =

    2

    7

   12

   17

Multipliquem 1 a 1 els elements de la 1a i la 2a columnes:

col1.*col2

ans =

     2

    42

   132

   272

Sumem la 1a columna a tots els elements de la taula:

A.+col1

ans =

    2    3    4    5    6

   12   13   14   15   16

   22   23   24   25   26

   32   33   34   35   36