Resúmenes

1. Estructuras de Poisson en Foliaciones de Bott-Morse de Dimensión 3

En la charla daremos una breve introducción a la Geometría de Poisson y a las foliaciones de Bott-Morse. Hablaremos del problema de encontrar estructuras Poisson en foliaciones de Bott-Morse en dimensión tres. Además de la implementación de algunas rutinas en Python que ayudaron a la resolución del problema.

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2. Geometría de Poisson Computacional (con José C. Ruíz Pantaleón)

En esta plática presentaremos y daremos un breve tutorial sobre PoissonGeometry, un módulo en Python que permite realizar cálculos (locales) de manera simbólica con objetos fundamentales para la geometría de Poisson, desarrollado de manera conjunta con Pablo Suárez Serrato y José C. Ruíz Pantaleón. Así como los avances respecto a una versión numérica del módulo y sus posibles aplicaciones en Geometría de Poisson utilizando técnicas de aprendizaje profundo, por ejemplo.

Sobre los Fundamentos de la Mecánica Lagrangiana.

En esta plática discutimos los conceptos, principios y estructuras de la mecánica Lagrangiana y su formulación invariante. En particular discutimos los conceptos de espacio fase, de sistema inercial, de fuerzas externas y así como los principios de Lagrange-D'Alembert de la dinámica Lagrangiana.

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Álgebras de Poisson Buenas

En el estudio del problema de linealización en torno a subvariedades de Poisson surge de manera natural una clase de álgebras de Poisson que denominaremos “buenas”. En la plática, presentaremos un tratamiento puramente algebraico de estas álgebras y las caracterizaremos mediante unos conjuntos de datos llamados “triples de Poisson”. Daremos también una correspondencia entre estos datos y cierto tipo de algebroides de Lie, obteniendo así una equivalencia entre álgebras de Poisson "buenas", datos de Poisson y algebroides de Lie.

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Problema de Hamiltonización sobre Variedades de Poisson de Dimensiones Bajas

Los sistemas Hamiltonianos son sistemas dinámicos que surgen a partir de la formalización matemática de problemas mecánicos. La formulación geométrica de esta clase de sistemas dió origen a la Geometría de Poisson, la cual consiste de una variedad diferencial equipada con un bivector, llamado de Poisson, el cual debe satisfacer la identidad de Jacobi. Dicha identidad para el bivector de Poisson se formula en términos del corchete de Schouten el cual está definido sobre el álgebra de multivectores de la variedad. El bivector de Poisson induce un morfismo del haz cotangente al haz tangente de la variedad el cual permite asignarle a cada función suave un campo vectorial, este recibe el nombre de campo Hamiltoniano. El problema de Hamiltonización es el problema inverso: dado un campo vectorial sobre una variedad, determinar bajo qué condiciones podemos encontrar un bivector de Poisson en la variedad con respecto al cual el campo vectorial sea Hamiltoniano. Una de las propiedades principales de los campos Hamiltonianos es que la función Hamiltoniana es siempre integral primera del campo. De esta forma, una condición necesaria para el problema de Hamiltonización consiste en que el campo vectorial posea una integral primera.

En esta plática se presenta el problema de Hamiltonización en variedades de Poisson de dimensiones bajas (tres y cuatro), así como casos en los cuales se cumple dicho problema.

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Método de Promedios para Conexiones de Poisson en Foliaciones

Dada una acción canónica y cotangencial, describiremos el método de promedios para conexiones de Poisson y mostraremos que el promedio de estas conexiones heredan algunas propiedades importantes de estructura. Este resultado generaliza resultados previos sobre conexiones de Hannay-Berry para acciones Hamiltonianas en haces fibrados de Poisson.

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Multisymplectic Structures and Lie Systems

A Lie system is a non-autonomous system of first-order ordinary differential equations whose general solution can be described as a function of a finite family of particular solutions and some constants: the so-called superposition rule. Lie systems cover as particular cases matrix Riccati equations, Smorodinsky-Winternitz oscillators, Schwarz equations, and control theory systems. The Lie--Scheffers theorem states that a Lie system amounts to a differential equation describing the integral curves of a non-autonomous vector field taking values in a finite-dimensional Lie algebra of vector fields, a so-called Vessiot-Guldberg Lie algebra.

In this talk, I will introduce and analyse a class of Lie systems admitting a Vessiot-Guldberg Lie algebra of Hamiltonian vector fields relative to a multisymplectic structure: the multisymplectic Lie systems. This shows that multisymplectic geometry, mainly aimed at partial differential equations and field theories, may be used to study systems of ordinary differential equations. More specifically, multisymplectic methods are developed to consider a Lie system as a multisymplectic one. By attaching a multisymplectic Lie system via its multisymplectic structure with a tensor coalgebra, we find geometric and coalgebra methods to derive superposition rules, constants of motion, and invariant tensor fields relative to its evolution. This extends the so-called coalgebra symmetry method for studying constants of motion of Hamiltonian systems to a much more general realm. Our results are illustrated with examples occurring in physics such as Schwarz equations or diffusion-type equations.

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Algunos Aspectos Analíticos y Geométricos de la Cuantización Semiclásica

Históricamente, los fenómenos y sistemas de la mecánica cuántica se comenzaron a estudiar mediante el establecimiento de analogías entre ellos y su homólogo clásico, siendo la mayoría de estos modelos iniciales modelos semi-clásicos. Entre las propiedades más destacables de dichos tratamientos semi-clásicos está la capacidad de dar cuenta, de forma relativamente simple e intuitiva, de fenómenos de difícil comprensión y alejados de la realidad clásica, revelando las conexiones entre el movimiento clásico de los sistemas físicos y sus comportamientos cuánticos. En lo referido a la presentación, en particular, se estudiará lo siguiente:

• El método de las representaciones integrales globales para la resolución del problema espectral (cuasimodos).

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Descripción Numérica de Ondas Suaves para el Modelo Degasperis Procesi Generalizado

En este trabajo se demuestra la existencia de soluciones tipo solitón (Ondas viajeras que se propagan sin deformarse) para problemas no lineales esencialmente no integrables que pertenecen al modelo Degasperis-Procesi generalizado. Se describen algunas ondas no suaves y se construye un esquema numérico estable con el cual se realiza un número de simulaciones numéricas.

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Caracterización de Curvas Extremales del Problema Clásico del Cálculo Variacional en Variedades

En base a la geometría intrínseca del haz tangente a una variedad y sus principales objetos geométricos asociados, presentamos una versión invariante de la ecuación de Euler-Lagrange que caracteriza las curvas extremales para el problema clásico del cálculo de variaciones en variedades.

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1. Sobre Modelos Semilocales Alrededor de Subvariedades de Poisson

Uno de los principales problemas en Geometría de Poisson es el problema de linealización en torno a subvariedades invariantes de una estructura de Poisson. A la fecha, se cuentan con modelos linealizados y criterios de linealización alrededor de puntos de rango cero y hojas simplécticas de una estructura dada. Sin embargo, resultados análogos para subvariedades de Poisson aún no son del todo conocidos. En esta plática presentaremos avances respecto a la construcción de un modelo linealizado basado en la teoría de estructuras de Poisson de casi-acoplamiento, un enfoque alternativo al propuesto recientemente por R. L. Fernandes y I. Marcut.

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2. Geometría de Poisson Computacional (con Miguel A. Evangelista Alvarado)

En esta plática presentaremos y daremos un breve tutorial sobre PoissonGeometry, un módulo en Python que permite realizar cálculos (locales) de manera simbólica con objetos fundamentales para la geometría de Poisson, desarrollado de manera conjunta con Pablo Suárez Serrato y Miguel A. Evangelista Alvarado. Así como los avances respecto a una versión numérica del módulo y sus posibles aplicaciones en Geometría de Poisson utilizando técnicas de aprendizaje profundo, por ejemplo.

Transversales de Poisson y Estructuras de Acoplamiento

En Geometría de Poisson, las trasversales de Poisson son subvariedades que cobran lugar en la descripción de la geometría local y semi-local. Por ejemplo, están presentes en la estructura local dada por el Teorema de Splitting de Weinstein. Además, ellas determinan a la estructura de Poisson en un entorno de las mismas salvo isomorfismo.

Similarmente, las estructuras de Poisson de acoplamiento juegan un papel fundamental como modelo semi-local en los entornos de las hojas simpléctcias. Dichas estructuras vienen acompañadas por una foliación regular cuyas hojas son transversales de Poisson.

En esta plática, planteamos la siguiente cuestión: dada una subvariedad transversal de Poisson en una variedad de Poisson, ¿Existe una foliación en un entorno de ella respecto de la cual la estructura de Poisson ambiente es de acoplamiento?

Trabajo en proceso en conjunto con Matías del Hoyo.

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