Claudio C. García Mendoza

Los sistemas Hamiltonianos son sistemas dinámicos que surgen a partir de la formalización matemática de problemas mecánicos. La formulación geométrica de esta clase de sistemas dió origen a la Geometría de Poisson, la cual consiste de una variedad diferencial equipada con un bivector, llamado de Poisson, el cual debe satisfacer la identidad de Jacobi. Dicha identidad para el bivector de Poisson se formula en términos del corchete de Schouten el cual está definido sobre el álgebra de multivectores de la variedad. El bivector de Poisson induce un morfismo del haz cotangente al haz tangente de la variedad el cual permite asignarle a cada función suave un campo vectorial, este recibe el nombre de campo Hamiltoniano. El problema de Hamiltonización es el problema inverso: dado un campo vectorial sobre una variedad, determinar bajo qué condiciones podemos encontrar un bivector de Poisson en la variedad con respecto al cual el campo vectorial sea Hamiltoniano. Una de las propiedades principales de los campos Hamiltonianos es que la función Hamiltoniana es siempre integral primera del campo. De esta forma, una condición necesaria para el problema de Hamiltonización consiste en que el campo vectorial posea una integral primera.

En esta plática se presenta el problema de Hamiltonización en variedades de Poisson de dimensiones bajas (tres y cuatro), así como casos en los cuales se cumple dicho problema.