5. Movimiento de planetas y satélites.

El estudio del movimiento de planetas y satélites tiene un gran interés en distintos campos que van desde la colocación de un satélite en órbita alrededor de la Tierra al envío de sondas espacia- les a otros planetas o fuera de nuestro sistema solar. En la actualidad hay un gran número de saté- lites en órbita alrededor de la Tierra. Sin ellos, por ejemplo, no serían posibles muchas comunica- ciones, la previsión meteorológica, la orientación de embarcaciones, etc.

Los principios de la dinámica y la Ley de la Gravitación Universal nos permiten comprender el movimiento de unos astros respecto de otros. Este es el caso, por ejemplo, de las órbitas de los planetas en torno al Sol y las de los satélites (naturales y artificiales) respecto a los planetas. No obstante en el movimiento de un astro alrededor de otro influyen una gran cantidad de factores que harían su estudio excesivamente complejo, por lo que para facilitar una primera aproxima- ción adoptaremos las siguientes simplificaciones:

Sólo consideraremos la fuerza gravitatoria existente entre el cuerpo en órbita y el cuerpo cen- tral ignorando las fuerzas gravitatorias que ejercen el resto de astros próximos a ellos.
Consideraremos el cuerpo central mucho más masivo (designaremos su masa por M) que el que gira (cuya masa designaremos como m).
Supondremos que se trata de objetos puntuales con toda la masa concentrada en el centro del astro en cuestión.
Cuando estudiemos el movimiento de un satélite cualquiera o de un planeta en torno al Sol, supondremos que la órbita es circular en lugar de elíptica.
Supondremos que las masas son constantes y no tendremos en cuenta (en los lanzamientos desde la superficie terrestre) el efecto de la fricción con la atmósfera.

Las simplificaciones anteriores nos permiten estudiar, por ejemplo, el movimiento de un satélite en torno a un planeta como el de una masa puntual que gira alrededor de otra también puntual situada en reposo en el centro del planeta.

Consideraciones energéticas en el estudio del movimiento de planetas y satélites.

Obtened la energía mecánica (suma de la energía cinética y potencial) de un cuerpo de masa m que se encuentra en el seno del campo gravitatorio creado por otro de masa M mucho mayor, girando con movimiento circular y uniforme alrededor de él, tal y como se indica en la figura adjunta. El objeto más masivo podría ser la Tierra y el menos masivo un satélite artificial.

E = -GMm/r + mv²/2 = -GMm/r + GMm/2r

E = -GMm/2r

El resultado obtenido corresponde a la energía mecánica que posee un cuerpo que se encuentra en órbita con movimiento circular y uniforme alrededor de un astro de una masa mucho mayor y sólo es aplicable en esas condiciones. De dicho resultado se deduce que, cuanto mayor sea el radio de la órbita, mayor ha de ser (menos negativa) la energía mecánica del satélite en movimiento circular y uniforme en torno al centro de un planeta.

¿Cómo podremos calcular la energía necesaria para que un satélite que gira en torno a un plane- ta con MCU cambie de una órbita “A” a otra más externa “B”.

Bastará con obtener

DE = E_B – E_A = (-GMm/2r_B) – (-GMm/2r_A) = (GMm/2r_A ) - (GMm/2r_B)

Esta energía proviene del propio satélite, se trata, por tanto de una disminución de la energía in- terna (de origen químico, o eléctrico) que se traduce en un aumento de energía mecánica.

En el caso de que el estado A corresponda a la situación en la que el satélite se halla en la rampa de lanzamiento sobre la superficie del planeta hay que tener en cuenta que la energía sería única- mente energía potencial gravitatoria (el satélite parte del reposo) y que r_A sería igual al radio del planeta.

El hecho de que la energía mecánica de un satélite en órbita con movimiento circular y uniforme sea negativa constituye un resultado válido también para cualquier órbita cerrada (aunque no sea circular). Es decir, una energía mecánica negativa indica la existencia de un objeto ligado a otro.

Desde la superficie terrestre lanzamos un satélite hacia arriba y cuando se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra, le comunicamos una cierta velocidad horizontal. Teniendo en cuenta que la energía potencial gravitatoria, tal y como ha sido definida, es siempre una canti- dad negativa y la cinética es positiva, analizad qué posibilidades podrán darse en cuanto a la energía mecánica tras el lanzamiento horizontal y qué le ocurriría al satélite.

Una vez realizado el lanzamiento horizontal y considerando el sistema formado por la Tierra y el satélite (sistema aislado), caben tres posibilidades:

a) Que la energía mecánica sea negativa. E = -GMm/r + mv²/2 < 0

En este caso la energía potencial en valor absoluto es mayor que la energía cinética de modo que al sumar las dos obtenemos un valor negativo para E. Al tratarse de un sistema aislado dicho va- lor se mantiene constante aunque el sistema evolucione. Eso significa que cuando el satélite se aleje de la Tierra (aumente su energía potencial) y vaya cada vez más lento (su energía cinética disminuirá), todo ha de ocurrir de forma que la suma de ambas energías se mantenga constante (y negativa); por tanto, existirá una distancia máxima, más allá de la cual no podrá alejarse el satéli- te. Se puede demostrar (mediante razonamientos cuya complejidad excede este nivel) que en esta situación, el satélite seguiría una trayectoria elíptica con el centro de la Tierra en uno de los focos de la elipse. Éste es el caso de los planetas en torno al Sol y de los satélites que se encuentran en órbita alrededor de la Tierra o de las lunas de un planeta. Son objetos que permanecen ligados a otro más masivo y que, aunque se empleara toda su energía cinética en tratar de alejarlos definiti- vamente de él, esto no se conseguiría.

b) Que la energía mecánica sea nula. E = -GMm/r + mv²/2 = 0

En este caso el valor absoluto de la energía potencial ha de coincidir en todo momento con el valor de la energía cinética (que siempre es positivo) de forma que al sumar las dos energías el resultado sea E = 0. Esto puede interpretarse de la forma siguiente: El satélite se puede alejar in- definidamente de la Tierra de modo que cuando su velocidad tiende a 0, también tiende a 0 la energía potencial. En cualquier punto la velocidad que lleve el satélite será tal que sumando las energías potencial y cinética el resultado sea 0. A una distancia infinita de la Tierra la velocidad del satélite sería 0 (no tendría energía potencial ni cinética). En este caso, se puede demostrar que la trayectoria descrita por el satélite sería una trayectoria abierta en forma de parábola. El valor de

2GM

la velocidad horizontal con que sale, se conoce como “velocidad de escape”: ve = .

c) Que la energía mecánica sea positiva. E = -GMm/r + mv²/2 > 0

En este caso la energía cinética siempre supera al valor absoluto de la energía potencial. Ello hace que al satélite le sobre energía cinética para escapar de la atracción gravitatoria terrestre ya que para una distancia infinita (energía potencial nula) todavía tendría energía cinética (que coincidir- ía con el valor de la energía mecánica en cualquier otro punto). Se puede demostrar que en esta situación, el satélite describiría una trayectoria abierta en forma de hipérbola. Para un satélite interplanetario, por ejemplo, se requerirá una energía mecánica positiva. Así ocurrió, con el vehí- culo espacial Pioneer 10, al cual se le comunicó una energía cinética inicial suficiente como para que, tras su lanzamiento el 3 de marzo de 1972, pudiera escapar de nuestro sistema solar. Dicho vehículo atravesó la órbita de Plutón el 14 de junio de 1983 y en la actualidad se encuentra ya muy lejos de nuestro sistema solar, viajando hacia las estrellas.

En la figura siguiente se muestran las posibles trayectorias de un satélite lanzado horizontalmente desde una altura h sobre la superficie terrestre con una rapidez inicial v₀. La trayectoria será una elipse, una parábola o una hipérbola dependiendo de que la energía mecánica E sea negativa, nula o positiva. En los tres casos el centro de la Tierra se encuentra en un foco de la trayectoria. Para una mejor comprensión de la figura conviene que nos planteemos antes la siguiente cuestión:

¿Qué sucede si modificamos la rapidez “v” de un satélite que se encuentra en órbita con movimiento circular y uniforme de radio “r” en torno a un planeta?

Cuando el satélite de masa “m” gira con MCU en torno a un planeta la fuerza resultante que actúa sobre él en el sistema planeta-satélite es F_n = mv²/r. Dicha fuerza es la atracción gravitatoria que el planeta ejerce sobre el satélite y se dirige hacia el centro de giro (centro del planeta). Su valor viene dado por la ley de Newton de la gravitación universal, es decir: F = GMm/r². El sistema formado por el planeta y satélite tiene energía potencial y energía cinética y su suma es una cantidad negativa que vale, según hemos visto: E = -GMm/2r. Su rapidez en esa órbita circular

1. Si la rapidez v del satélite aumenta (v > v_oc), la fuerza gravitatoria (que tiene un valor dado por GMm/r²) es insuficiente para mantenerlo en órbita en esa trayectoria con lo que el satélite se aleja aumentando la distancia r al centro del planeta. En este caso pueden ocurrir dos cosas:

1.1. Si v aumenta pero la suma E = Ec + Ep sigue siendo negativa (sistema ligado) el satélite permanecerá ligado al planeta pero más alejado que antes y describiendo una trayectoria elíptica.

1.2. Si v aumenta de modo que la suma E = Ec + Ep resulta ser igual o mayor que 0, el satélite describe una trayectoria abierta y escapa.

2. Si v disminuye, la fuerza gravitatoria (que tiene un valor dado por GMm/r²) es excesiva, por lo que la distancia al centro de la Tierra disminuye. En este caso describe una trayectoria elíptica pero cuanto menor sea la Ec (es decir cuanto mayor haya sido la disminución de v) tanto más estrecha será la elipse, de modo que, podría incluso intersectar con la Tierra (diríamos entonces que el satélite había “caído”).

Velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de la Tierra

Se conoce como velocidad de escape de la Tierra a la velocidad mínima con que habría que lan- zar un cuerpo desde su superficie para que no vuelva a caer en ella (recordemos que hacemos las simplificaciones de no considerar el rozamiento con el aire ni la interacción con otros cuerpos celestes). Dicha velocidad puede obtenerse aplicando el principio de conservación de la energía al sistema formado por el cuerpo y la Tierra, tomando como estado inicial (A) cuando el cuerpo se lanza desde la superficie terrestre y como estado final (B) cuando el cuerpo llega al infinito (es decir a un punto donde la atracción gravitatoria terrestre es nula) con velocidad cero.